ベルの不等式（ベルのふとうしき）とは、隠れた変数理論などの局所実在論が満たすべき相関の上限を与える式である。 1964年にジョン・スチュワート・ベルによって導かれた。この不等式は実験に適していないので、後に多くの研究者がそれとは少し異なる形の不等式を導いた（ベル型の不等式と呼ばれる）。この不等式の...

となる。この改良された不等式から見ると、1927年に発表されたハイゼンベルクの不確定性原理は上式の第1項についてのみ述べていたということになる。 小澤の不等式が示す測定誤差（左辺の第1項）の下限は、ハイゼンベルクの不等式が示していた測定誤差下限よりも第2項、第3項の分だけ小さい。このことは、ハイゼンベルクの不等式...

の立場を取っていたため、量子論が実在論的に完全でない結果を与えることを「パラドックス」であるとした[要出典]。 局所実在性を満たす理論について、ベルの不等式が成立することが知られている。ベル不等式の破れの検証（フリードマン, クラウザー：1972年、アスペ：1982年など）により、ベル不等式の破れが実験的に確認されている。...

1980年代初期にフランスで共同実験者とともにベルの不等式を検証する実験を行った。その実験でアスペは、ベルの不等式の一種であるCHSH不等式（英語版）が破られていることを示した。 彼の実験は多くの物理学者によってベルの不等式が成り立たない、すなわち局所実在論は正しくない、ということを...

ベルの不等式は局所性と実在性という二つの仮定を満たす任意の物理理論において成立するが、同論文においてベルは量子力学ではこの不等式が成り立たないことを示した。局所実在性と量子力学が本質的に相容れないものであることを意味するこの結果は、物理のみならず哲学界にも大きな衝撃を与えた。その後、フランスの...

数学の、特に函数解析学の分野におけるベッセルの不等式（ベッセルのふとうしき、英: Bessel's inequality）は、正規直交列についてのヒルベルト空間のある元 x {\displaystyle x} の係数に関する不等式である・ H {\displaystyle H} をヒルベルト空間とし、...

1972年、スチュアート・フリードマンとともにCHSH-ベル定理の最初の実験的検証を行った。これはベル不等式の破れの最初の実験的観測である。 1974年、マイケル・ホーンとともにベルの定理の一般化により、自然界の全ての局所実在論に厳しい制約が与えられることを示した。この研究で局所実在論により設定された、最初の...

1964年にはジョン・スチュワート・ベルが有名なベルの定理により、実験と合う局所的な隠れた変数理論が存在するなら、ある種の実験で結果は必ずベルの不等式を満たすことを示した。一方、量子もつれが正しければベルの不等式は破られる。隠れた変数を否定する(no-go)定理には他にもコッヘン・シュペッカーの定理（英語版）がある。...

リースの表現定理 バフスカ＝ラックス＝ミルグラムの定理 フレドホルムの定理 フレドホルムの交代定理 ニュートン＝カントロビッチの定理 サードの定理 ベールの範疇定理 開写像定理 ハーン-バナッハの定理 ソボレフ不等式 ポアンカレ不等式 フリードリヒの不等式 ベッセルの不等式 バナッハの不動点定理...

ベルの不等式が成り立つことが知られているが、アスペの実験など様々な実験により、ベル不等式が破れることが検証されており、一連の実験結果は隠れた変数理論を支持していない。そのため、前述のアインシュタインのような主張は、実験的な支持のない哲学的な主張と見なされている。...

アンサンブル解釈（アンサンブルかいしゃく）とは、量子力学の実在主義的な解釈の一つ。統計解釈ともいう。アインシュタインが考案したもので、波動関数は個別の系ではなく、同じ方法で用意された系の集団について記述するためのものであるとする。しかし、ベルの不等式の破れと矛盾することなどから、現在ではこの解釈を支持する科学者は少なくなっている。...

であるという仮定は、等式が成立するために必要である。B が total でないなら、パーセヴァルの等式の等号が by ≥ に変わったベッセルの不等式が成り立つ。このようなパーセヴァルの等式の一般の形は、リース＝フィッシャーの定理を利用することで証明できる。 マルク＝アントワーヌ・パーセバル パーセヴァルの定理 Hazewinkel...

f_{j}\rangle |^{2}} が得られる。さらに {ƒi} (i ∈ I) を H の任意の正規直交系とするとき、I の任意の有限部分集合 J に対して先ほどの不等式を適用すれば、（非負実数の任意濃度の族の和の定義に従って）ベッセルの不等式 ∑ i ∈ I | ⟨ x , f i ⟩ | 2 ≤ ‖ x ‖ 2...

とが線型従属であるとき、かつそのときに限り成立）。 これは数学においてもっとも重要な不等式のうちの一つである。ロシア語の文献ではコーシー＝ブニャコフスキー＝シュワルツの不等式とも呼ぶ。重要性に鑑みて、簡潔な証明を記しておこう: y = 0 のときは自明ゆえ、⟨y, y⟩ は非零とする。このとき λ = ⟨ y ...

} 逆方向の不等式については、1-ノルムと 2-ノルムの間に次の関係が成立することも知られている： ‖ x ‖ 1 ≤ n ‖ x ‖ 2 . {\displaystyle \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}.} この不等式はベースとするベクトル空間の次元 n...

の反例が生じてしまう。つまり対偶を示すことにより同値であることが示せる。 クラウジウスの不等式はカルノーサイクルを連結し合成サイクルを作ることによって、トムソンの法則と、それより導かれるカルノーの定理を用いて示せ、またクラウジウスの不等式において n = 1 としたものはトムソンの法則そのものである。...

ベル（bel, bell, belle, Böll）、べる ベル（英語: bell） - 鐘、鈴。 ベル (bel, B) - 常用対数によって物理量を表すための単位。10分の1のデシベルの形で、音の強さ、利得などに用いられる。 アメリカ合衆国 ベル (イリノイ州)（英語版） - イリノイ州の非法人地域。...

不等式とは、ジョン・スチュワート・ベルが局所実在論的な測定モデルが満たすべき条件として導出したベルの不等式の一種であり、ジョン・クラウザー、マイケル・ホーン（英語版）、アブナー・シモニー（英語版）、リチャード・ホルト（英語版）らによって示された不等式のことである。...

の存在もベルの不等式、グリーンバーガー＝ホーン＝ツァイリンガー状態などの考察を通じて実験で検証されている。 また、量子コンピューターではそのような非古典的重ね合わせを積極的に利用しようと試みられている。 重ね合わせと混同しがちなものとして混合状態がある。状態1と状態2を「混合した状態」の...

Lp × Lq → Lr なる連続双線型写像を定めている。 畳み込みに対するヤングの不等式、循環畳み込みや離散畳み込みなどほかの文脈でも成立する。また、 R 上では先に掲げた不等式はより厳しく評価できる: 先と同様の関係を持つ 1 < p, q, r < ∞ に対し、定数 Bp,q < 1 が存在して...

X ¯ n {\displaystyle {\bar {X}}_{n}} の平均と分散はそれぞれ μ と σ2/n になる。よってチェビシェフの不等式から 0 ≤ P ( | X ¯ n − μ | > ε ) ≤ 1 ε 2 V ( X ¯ n ) = 1 ε 2 σ 2 n → 0 ( n →...

(推測法、1713)は、彼の確率論の偉大な貢献である。ベルヌーイ試行とベルヌーイ数はこの著作から、彼の功績を記念して名づけられた。 ^ Jakob Bernoulli Swiss mathematician Encyclopædia Britannica 関孝和 ベルヌーイの不等式 大数の法則 ネイピア数...

の相関」を表す用語である。後者は前者のある側面を緻密化したものであるが、捨象された部分も少なくない。例えば典型的な非局所効果であるベルの不等式の破れなどは後者の枠組みにはなじまない。 どちらの意味においても、複合系の状態がそれを構成する個々の部分系の量子状態の...

の「乱雑さの尺度」であることが論証された。 クラウジウスは1854年にクラウジウスの不等式として熱力学第二法則を表現していたが、彼自身によって「エントロピー」の概念が明確化されるまでにはそれから11年を要した。不可逆サイクルでゼロとならないこの量をクラウジウスは仕事と熱の間の...

数学の分野におけるグロンウォールの不等式（ぐろんうぉーるのふとうしき、英: Gronwall's inequality）は、ある微分不等式（英語版）あるいは積分不等式をみたす関数を、対応する微分方程式あるいは積分方程式の解によって評価する結果として得られる不等式のことである。微分型のものと積分型の...

クラフトの不等式（クラフトのふとうしき、英: Kraft's inequality）は、符号理論における不等式の1つで可変長符号が一意復号可能である為の必要条件を与える。等号成立条件は符号が完全である事である。クラフトの不等式は可変長符号が一意復号可能である為の十分条件ではないが、クラフトの不等式...

のことである。 局所実在論の例としては、古典力学、古典電磁気学、古典計算機の理論などがある。 局所実在論が満たすべき式であるベルの不等式を量子論が破ることが発見されたことで、量子論は局所実在論を包含する理論であることが明らかになった。 清水明『新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』サイエンス社、2004年。ISBN...

熱として系に流入したエネルギー量や系の温度を過程に際して測定し続けることができたと仮定しよう。このときクラウジウスの不等式は、その中の積分を実際に評価することができ、問題の過程が可逆か不可逆かを決定するためにこの不等式を用いることができる。 クラウジウスの不等式において被積分関数の分母として現れる温度は、系が熱を交換している外部の...

の「物象の状態の量」を計ることと定義付けている。 物理量の大きさ（質量の大きさ、距離の大きさ、力の大きさ等）のことを単に物理量（質量、距離、力、等）ということも多い。特に等式や不等式の中の物理量記号は必ずその大きさも意味している。物理量の値（質量の値、距離の値、力の値、等）という言葉が物理量の...

ベルの不等式の検証実験により、局所的な隠れた変数理論は否定された。したがって現在の物理学では、隠れた変数による決定論の立場を採る学者はほとんどいない。他にも多世界解釈は決定論として知られ、初期状態が与えられれば分岐する各世界の状態は一意に決定される。ただし各世界の観測者はどの世界にいるのか知らないため、確率的な結果が現れる。...

不等式がある。これは存在型ではない。あるいは、積分を持ち込んで微積分学の基本定理で代用することもある。 平均値の定理の特別の場合について、最古の記述はインドのケーララ学派Parameshvara (1370–1460) によるGovindasvāmiおよびバースカラ2世に関する解説の...