}(-1)^{n+1}\,a_{n}} 的级数（an ≥ 0）。格兰迪级数是交错级数中 a n = 1 {\displaystyle a_{n}=1} 的特殊情况。 关于交错级数，有一个审敛法：若各項非負的数列 a n {\displaystyle a_{n}} 单调递减且趋于零，则级数 ∑ n = 0 ∞ ( −...

_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!} 其中所有的an 非负，被称作交错级数，如果当n趋于无穷时，数列an的极限存在且等于0，并且每个an小于或等于an-1（即，数列an是单调递减的），那么级数收敛．如果L是级数的和 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n = L {\displaystyle...

，如果被取和的序列是有穷序列，相對應的級數被称为有穷级数；反之，称为无穷级数。常见的级数包括等差数列和等比数列的级数。 級數本身也是一種序列（代表加到第 n {\displaystyle n} 項）。就跟普通序列一樣，级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数，但某序列要能定義相應級數...

调和级数（英語：Harmonic series）是正整數的倒數之和，是发散的无穷级数，表达式为： ∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac...

=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{z}}},} 上述級數只有在實部大於0的複數z才會收斂，若令z = 0，即為格蘭迪級數。 不同於幾何級數，狄利克雷级数對於1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和沒有什麽幫助。即使在右半平面上，上述的 η (...

}b_{n}} 收敛。 具有以下形式的级数 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!} 。其中所有的 a n {\displaystyle a_{n}} 非负，被称作交错级数。如果当 n {\displaystyle...

…表示以由小到大的接续正整數，依次加後又減、減後又加，如此反复所構成的無窮級數。它是交錯級數，若以Σ符号表示前m项之和，可写作： ∑ n = 1 m n ( − 1 ) n − 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}} 此无穷级数发散，即其部分和的序列（1, −1, 2, −2...

反之，如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。:193 簡單來說，你可以藉由調換數列的其中幾項，使得這個新數列的級數的極限與原數列的不同；但是，這個方法可行的前提是原級數條件收斂，如果原級數絕對收斂的話，那麼這個方法就行不通。 交错调和级数是条件收敛级数的一个经典的例子：...

对于两个级数为条件收敛时，结论未必成立。如下反例所示： 考虑下述两交错级数： a n = b n = ( − 1 ) n n + 1 , {\displaystyle a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\,,} 它们都是收敛的（其绝对值构成的级数...

{\displaystyle N} 其中M是某个常数，那么级数 ∑ n = 1 ∞ a n b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}} 收敛。 狄利克雷判别法的一个推论，是更加常用的交错级数判别法： b n = ( − 1 ) n ⇒ | ∑...

+ 4 − 8 + …是一個无穷级数，它的每一项都是2的幂而加減號則是交錯地排列。作为几何级数, 它以 1 为首项，-2为公比。 ∑ k = 0 n ( − 2 ) k {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}} 作为实数级数...

趋向于0。这表明 ( S n ) n = 1 , 2 , … {\displaystyle (S_{n})_{n=1,2,\ldots }} 是一个柯西序列，因此收敛于一个极限值。因此 ∑ a n {\displaystyle \sum a_{n}} 绝对收敛。 审敛法 比值审敛法 根值审敛法 交错级数审敛法...

\over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1).} 因此能将其扩展到整个复数域。 大多数交错级数的串行加速技术都可应用在η函数的求值上。一个特别简单，合理的方法是应用交错序列的欧拉变换，得到： η ( s ) = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 ∑ k = 0 n ( −...

在數學內，墨卡托級數（Mercator series）或者牛頓-墨卡托級數（Newton–Mercator series）是一個自然對數的泰勒級數： ln ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ . {\displaystyle \ln(1+x)\;=\;x\...

{a}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}} 如果 r {\displaystyle r} 在上述范围之外，则该级数不是发散级数就是交错级数。 序列 K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence. Mathematical methods for physics...

在数学中，“1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·”这个无穷级数是绝对收敛的交错级数中的一个较为简单的例子。 因为“1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·”是一个首项为1/2、公比为−1/2的几何级数，所以将它求和有： 1 2 − 1 4 + 1 8 − 1 16 +...

代入，便得莱布尼兹公式(1的反正切是π ⁄ 4)。这种推理产生的一个问题是1不在幂级数的收敛半径以内。因此，需要额外论证当x = 1时级数收敛到tan−1(1)。一种方法是利用交錯级数判别法，然后使用阿贝尔定理证明级数收敛到tan−1(1)。然而，也可以用一个完全初等的证明。 考虑如下分解 1 1 +...

\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=\infty ,} 那么就称这个无穷级数 A = ∑ n a n {\displaystyle A=\sum _{n}a_{n}} 是一个条件收敛的无穷级数。:149 给定一个在区间 [ a , ∞ ) {\displaystyle [a,\infty...

（OEIS數列A028296） 部份作者會把數列中的奇數項移除，只替偶數項編序，並且把負號轉為正號。这里依從上段所用的慣例。 歐拉數在正割sec x和雙曲正割sech x的泰勒級數出現。雙曲正割就是定義中使用的函數。組合數學也會用到歐拉數。此外，在关于自然数负幂的交错和中也涉及到欧拉数。 歐拉多項式是以歐拉數構造。...

民政府中央对山东省的统治。1937年七七事变后，韩复榘放弃抵抗以保存实力，被蒋介石处决。此后，山东省内国民党政权、日伪政权、中共政权并立，其辖区犬牙交错。 1945年8月，抗日战争胜利后，国民党政权、中共政权依然并存。1947年5月在山东省中部沂蒙山区的孟良崮战役中，国军最精锐的王牌七十四师被中共的...

数个沉积盆地，包括西南部的阿基坦盆地和北部肥沃的巴黎盆地。法国的沿海沿河地区风景各异，如蔚蓝海岸的山地、阿尔巴特海岸（英语：Côte d'Albâtre）止于断崖的高原，索洛涅地区的森林湿地以及朗格多克的宽阔平原。 法国境内河流众多，纵横交错...

该站为高架车站，岛式站台设计，其屋顶为黑灰两色各占一半，与房山线其他高架车站不同。 站台两端设有主题艺术墙《数理空间》和《科技奇想》。《数理空间》以尺规为主体，辅以莱布尼茨交错级数、质能方程、三角函数不定积分、硝酸制备方程等理工科常用算式；《科技奇想》则为一个大键盘和“FUNHILL”七个按键的组合（FUNHILL为房山区政...

以色列位于亚欧大陆交界处，其国家位处阿拉伯半岛西北角、地中海东岸和红海亚喀巴湾北岸，与巴勒斯坦领土（约旦河西岸地区、加沙地带）交错相邻，北接黎巴嫩，东北邻叙利亚，东与约旦接壤，西南则为埃及西奈半岛。 最初领土面积為1.52万平方公里，经过5次中东战争后，目前实际控制面积约2...

湖、全国第四大淡水湖。内蒙古自治区湖泊生态系统较为脆弱，湖水浅、淡水湖少、盐湖多、易盐化、易干枯。由于气候变化和人类活动，内蒙古的湖泊受到威胁。农牧交错区主要的人为因素是灌溉用水，而牧区的主要原因是煤炭开采用水。据研究，自1987年至2010年间内蒙古湖泊总面积减少30...

of Developments. Springer. 2004: 325. ISBN 3-540-21058-X.  孙长军. 负二次幂函数与排列数的交错级数型线性微分方程. 山东理工大学学报(自然科学版) (连云港职业技术学院数学教研室). 2004, (05): 85–89. CNKI SDGC200405019...

忽，乃守其志，终始不回，卓然为汉忠臣，独见称于后世。庙食玉泉，至今不绝。四方祈谒，灵应如响，不亦盛乎！及考其事迹本末具存，国志所不载者散在众籍，文字交错，难用检寻，览之者无不病焉。」（《新编实录序》） 張珣：“忆昔天下初三分，猛将并驱谁轶群。桓桓胆气万人敌，卧龙独许髯将军。威吞曹瞒欲迁许，中兴当日推...

中国大陆目前的乡级行政区分為兩種。宪法法定的行政区划，按省级、县级、乡级三级行政区划制度划分，属于第三级地方行政单位；民政部登记的行政区划，按省级、地级、县级、乡级四级行政区划制度划分，属于第四级地方行政单位。乡级行政单位类型包括乡（及民族乡）、镇、街道，内蒙古自...

中華民國成立后，以原钱塘、仁和县（即原杭州府府城內的兩個附郭縣）地置杭县，为浙江省省会。1913年，满人的杭州驻防城被没收充公并拆除，随后开辟纵横交错的近代马路，称为“新市场”。其中南北走向的延龄路（今延安路）与东西走向的迎紫路（今解放路西段）迅速发展成为近代杭州新兴的商业中心。此后，杭州一度为军...

选督皖。1925年陈调元督皖。1926年底陈调元归顺北伐国民革命军。1937年全面抗战爆发。安徽成了日本人、汪精卫政权、国军和中国共产党的新四军势力交错的地方。1941年在安徽发生国共冲突的皖南事变。1945年日本投降后，民国政府把安徽省会从安庆迁往合肥。1948年到1949年，安徽是第二次国共内战期间徐蚌會戰的主战场。...

\cosh } 得出，通過把它變為交錯級數，而 sin {\displaystyle \sin } 函數可來自將 sinh {\displaystyle \sinh } 變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數 i {\displaystyle i} ，從三角函數的級數的項中去掉交錯因子 ( − 1 ) n {\displaystyle...

城际快客总站线、东站线和西站线，票价20元；去往平阴的线路2条；去往齐河的线路5条；去往泰安的线路1条，多级票价，全程15元。其中去往章丘、济阳、泰安的线路号多为K9开头的三位数，大部分实行多级票价。 2020年，济南轨道交通集团有限公司党委书记、董事长陈思斌在介绍济南轨道交通建设情况时提到，济南轨...