范畴论的元素（英語：element），或点（英語：point），将集合论中集合元素的概念更推广到任何范畴的对象。通常情况下，这一想法重新表述了泛性质态射（如單態射和积）的定义及属性，用更普遍的术语映射其与元素的关系，從而使態射和元素可以互相轉換。米田引理和米切尔嵌入定理（英语：Mitchell's embedding...

範疇論（英語：Category theory）是數學的一門學科，是关于数学结构及其关系的一般理论，以抽象的方法處理數學概念，將這些概念形式化成一組組的「物件」及「態射」。數學中許多重要的領域可以形式化為範疇。使用範疇論可以令這些領域中許多難理解、難捉摸的數學結論更容易敘述證明。 一个范畴...

范畴论中，积（或直积）的概念提取了集合的笛卡儿积、群的积、环的积、拓扑空间的积等概念的共性。本质上讲，一组对象的积是到这些对象都有态射的对象中最具代表性的。 给定范畴C。C中一对象集{Xi | i ∈ I}的积为满足下面泛性质的偶(X, (πi))，其中X为一对象，πi : X → Xi（i ∈...

在公理集合论中，单元素集合的存在性是空集公理和对集公理的结果：前者产生了空集 {}，后者应用于对集 {} 和 {}，产生了单元素集合 {{}}。 若 A 是任意集合，S 是单元素集合，则存在唯一一个从 A 到 S的函数，该函数将所有 A 中的元素映射到 S 的单元素。 在范畴论中，单元素集合上构建的结构通常作为终对象或零对象：...

在範疇論這個數學領域中，集合範疇（標記為 Set）是一個對象為集合的範疇。集合 A 及 B 之間的態射族包含所有從 A 映射至 B 的函數。 集合範疇是許多其他範疇（如其態射為群同態的群範疇）的基礎，這些範疇均是在集合範疇的對象上附加其他結構，並限制其態射為特定函數而成。...

在哲学中，范畴（希臘語：κατηγορια）概念被用于对所有存在的最广义的分类。比如说时间，空间，数量，质量，关系等都是范畴。在分类学中，范畴是最高层次的类的统称。它既不同于学术界对于学问按照学科的分门别类，又有别于百科全书式的以自然和人类为中心的对知识的分类，范畴论...

在範疇論中，範疇此一概念代表著一堆數學實體和存在於這些實體間的關係。對範疇的研究允許其公式化抽象結構及保有結構的數學運算等概念。實際上，範疇在現代數學的每個分支之中都會出現，而且是統合這些領域的核心概念。有關範疇自身的研究被稱做是範疇論。 一個範疇C包括： 一個由物件所構成的類ob(C)...

查看维基词典中的词条「元素」。 元素一般指化學元素。 还可以是: 元素 (數學) 元素 (范畴论) 古典元素 轨道元素 佛教四大元素（大種） HTML元素 CSS概念...

数学中，范畴化是将集合论的定理替换为范畴论类似物的过程。成功的范畴化会将集合替换为范畴，将函数替换为函子，将方程替换为自然变换或函子。 范畴化的逆叫做“去范畴化”，是将范畴内同构的物件在态射意义下视同相等的系统化过程。去范畴化往往比范畴化更简单。李代数的表示论...

数学中，高阶范畴是范畴论在高阶下的情形，一些等式可写成箭头，以便能明确地研究等式背后的结构。高阶范畴论常应用于代数拓扑学（特别是同伦论），用于研究拓扑空间的代数不变量，如其基本弱准范畴。 一个平凡范畴拥有物件与态射两类组分，在高阶范畴论背景下，这些对象统称为1-态射。2-范畴...

数学裡，单纯范畴（simplicial category）或序数范畴（ordinal category）是范畴论中用来定义单纯与余单纯对象的一个构造。 单纯范畴通常记作 Δ {\displaystyle \Delta } ，有时也写成 Ord。这个范畴有多个等价的描述。 Δ {\displaystyle...

莫雷（Morley）证明了著名的范畴定理。即对于可数语言的任何可数完备理论，如果它在某个不可数基数上是范畴的，则它在所有不可基数上都是范畴的。这个定理极大的刺激了模型论的发展，产生了后来對稳定理论（英语：stable theory）的研究。 近来模型论更加着重于对于其它数学分支，尤其是代数和代数几何的应用。...

在範疇論中，一個預可加範疇是使得任兩個對象間的態射集 H o m ( A , B ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)} 帶有交換群結構，並使得態射合成為雙線性運算之範疇。 形式地說，預可加範疇是在交換群的么半範疇上濃化的範疇。預加法範疇有時亦稱Ab-範疇...

解读，这样使得句法派生的同时，又能够构造谓词-论元结构作为语义解读。 在CCG中，范畴指的是这样一个简洁描述：它能够和什么样的论元组合以及与该论元组合之后会生成什么，换言之，就是它的函数类型。 词汇便成了从词汇条目到范畴的映射，意味着每个词汇条目寻求论元的行为。Lambek(1958)这样描述过词汇化的益处：...

theory）、解析数论、微分几何、算子理论、代数组合学和拓扑学的思想和方法 「表示」的概念後來也得到進一步的推廣，例如範疇的表示。表示论所施的代数对象可被视为特定的范畴，而表示本身则是从对象范畴到向量空间范畴的函子。这个表述方式立即指向两种显然的推广：其一，代数对象可换成成更一般的范畴；其二，向量空间范畴也可换成其它较好理解的范畴。...

在數學上，群範疇（表記為Grp或Gp）指的是以群為物件、以同態映射為態射，也因此這是個具體範疇，而研究這範疇的理論即是群論。 群範疇有兩個以群範疇為定義域的遺忘函子，其中一個是映射至幺半群的函子M: Grp → Mon；另一個是映射至集合範疇的函子U: Grp → Set。在這其中，M有兩個伴隨函子，其中一個I:...

。他們將一切與概念對應之存在視為實有，並分為六個範疇（padārtha，句義）：存在、質量、行為、普遍性、特殊性、固有，以此來說明世界各種現象的存在。 他們認為，存在物可能是可見的或不可見的、物質的或非物質的、永恆的或非永恆的。凡是組合的、依靠另一元素的都是變遷的。然而有獨立的、不變的、永恆的簡單物...

在数学领域，预序范畴（记为Ord）指以全体预序集为对象、其上的全体单调函数为态射的范畴。由于任意单调函数的复合还是单调函数，故其满足构成范畴的前提条件。 Ord的单态射为单射单调函数。 Ord的始对象是空集（空集为预序集），终对象为任意单元素预序集。Ord无零对象。 Ord上的积为笛卡儿积和其上的积序所构成的预序集。...

范畴。这个范畴就是拓扑群论研究的对象。 在数学中，拓扑群概念最初是由连续变换群的研究所引起，人们发现在处理许多连续变换群的问题中所出现的群，往往不必考虑作变换群，而只需研究这些群本身，于是产生了连续群的概念。M.S.李是最初对连续群进行系统研究而卓有成就的人。李群就是因他得名。 群论...

在數學裡的範疇論中，極限（英語：Limit）的概念融貫了多種構造，包括和、積等等；範疇論中許多泛性質也可從極限來理解。 極限分為極限與餘極限（又稱上極限），彼此的定義相對偶。在不同場合的別名及英譯如下表： 本條目用語取歸納極限與射影極限。 一範疇 C 中的極限及上極限可用 C 中的圖示來定義。形式上，C...

assistant）工具都建立在類型論的基礎上，如Agda、Coq、Idris、Lean等等。 類型論的核心概念是，每一條合乎語法規則的表達式（或稱「项」）都有其所屬的「類型」。通過結合多個基礎類型，可以定義更加複雜的類型。如此得出的類型可以代表林林總總的數學結構，如自然數、群、拓撲空間等等。在集合論中，這些結構都是含有元素...

元素也唯一。 泛代数观点非常适合范畴论。例如，在范畴论中定义群对象时，若对象可能不是集合，就必须用到等式法则（在一般范畴中是有意义的），而非量化法则（指单个元素）。此外，逆元和单位元在范畴中被指定为态射。例如，拓扑群中的逆不仅必须逐元素...

數學的分支範疇論中，單子（英語：monad），又稱三元組（triple, triad）、標準構造（standard construction）、基本構造（fundamental construction），是一個內函子（英语：endofunctor）（即由某範疇映到自身的函子），連同滿足特定連貫條件（英语：coherence...

在数学领域，范畴C的对象I称为始对象（或初始对象），若对任何对象X，从I到X的态射唯一，或者说，C(I,X)为单元素集合。终对象（或终止对象、终结对象）是始对象的对偶概念。范畴C的对象T称为终对象，若对任何对象X，从X到T的态射唯一。若某对象即是始对象又是终对象，则称其为零对象。 范畴...

在数学中，尤其在范畴论和同伦论中，广群（groupoid，或勃兰特广群，Brandt groupoid）是对群的概念的抽象化。广群可被视为： 以偏函数取代二元运算的群； 所有态射都可逆的范畴。这一类范畴可被视作增加了一种一元运算，与群论中的逆元相对应。 只有一个对象的广群一般是群。...

可表函子是在数学中范畴论里的概念，指从任意范畴到集合范畴的一种特殊函子。这种函子将抽象的范畴表达成人们熟知的结构（即集合与函数），从而使得对集合范畴的了解可以尽可能应用到其它环境中。 从另外一个角度看，范畴的可表函子是随范畴而生的。因此，可表函子理论可以视作偏序集合理论中的上闭集合以及群论中的凱萊定理的极大的推广。...

在數學裡，拓撲空間範疇（通常標記為Top）是一個範疇，其物件為拓撲空間，態射為連續函數。拓撲空間範疇符合範疇的公理，因為兩個連續函數的複合函數依然是連續的。研究拓撲空間範疇及運用範疇論的技術來研究拓撲空間的性質之類的學科稱為「範疇拓撲學（categorical topology）」。...

范畴论被認為是更適合的基礎理論。 集合论是從一個对象 o {\displaystyle o} 和集合 A {\displaystyle A} 之間的二元关系開始：若 o {\displaystyle o} 是 A {\displaystyle A} 的元素，可表示為 o ∈ A...

许多当代数学领域中都有态射的身影。例如，在集合论中，态射就是函数；在群论中，它们是群同态；而在拓扑学中，它们是连续函数；在泛代数（universal algebra）的范围，态射通常就是同态。 对态射和它们定义于其间的结构（或对象）的抽象研究构成了范畴论的一部分。在范畴论...

范畴内的核的本质；参见核 (范畴论)。 设 G 和 H 是群并设 f 是从 G 到 H 的群同态。如果 eH 是 H 的单位元，则 f 的核是单元素集合 {eH} 的前像；就是说，G 的由被 f 映射到元素 eH 的所有 G 的元素构成的子集。核通常指示为“ker f”。或者：...

数学裡，单纯集合（simplical set）是范畴同伦论中一个构造，这是“良态”拓扑空间的一个纯代数模型。历史上，这个模型源自组合拓扑学特别是单纯复形。 拓扑空间可从单形以及它们的接合关系（或准确地说表示为差一个同伦）构造出来，单纯集合是抓住这一点的范畴（即纯代数）模型。这类似于拓扑空间的...