丛"。 向量叢定義中的向量空間主要常見的是實空間( R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} )跟複空間( C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} )，分別稱作實向量叢跟複向量叢。複向量丛可以视为一種帶有附加结构的实向量丛。 向量丛是纤维丛的一種。...

数学上，全纯向量丛是指一个在复流形X上的复向量丛，其全空间E为一复流形，丛投影 π : E → X {\displaystyle \pi :E\to X} 是全纯的。重要的全纯向量丛包括复流形上的全纯切丛，以及其对偶全纯余切丛。一阶全纯向量丛也称作全纯线丛。 全纯向量丛的平凡化映射 ϕ U : π...

在数学中，纤维丛上一个联络是一个定义丛上平行移动的装置；即将邻近点连接或等价的一种方法。如果纤维丛是向量丛，则平行移动的概念要求线性。这样的联络等价于一个共变导数，共变导数是一个能对截面关于底流形的切方向求微分的算子。联络在这个意义下，对任意向量丛，推广了光滑流形切丛的线性联络概念，经常叫做线性联络。 向量丛...

数学中，标架丛（Frame bundle）是一个与任何向量丛 E 相伴的主丛。F(E) 在一点 x 的纤维是 Ex 的所有有序基或曰标架。一般线性群通过基变更自然作用在 F(E) 上，给出标架丛一个主 GLk(R)-丛结构，这里 k 是 E 的秩。 一个光滑流形的标架丛是与其切丛相伴的丛。因此它有经常称为切标架丛（tangent...

数学中，流形 M 上一个向量值微分形式（vector-valued differential form）是 M 上取值于一个向量空间 V 的微分形式。更一般地，它是取值于 M 上某个向量丛 E 的微分形式。通常的微分形式可以视为 R-值微分形式。向量值微分形式是微分几何中的自然对象并有广泛的应用。...

丛。 纤维丛的一个特例，叫做向量丛,是那些纤维为向量空间的丛（要成为一个向量丛，丛的结构群—见下面—必须是一个线性群）。向量丛的重要实例包括光滑流形的切丛和余切丛。 另一个纤维丛的特例叫做主丛。更多的例子参看该条目。 一个球丛是一个纤维为n維球面的纤维丛。给定一个有度量的向量丛（例如黎曼流形的切丛），可以构造一个相应的单位球丛...

切丛是称为向量丛（自己是纤维丛的特例）的更一般的构造的特例。直接一点的说，n维流形M的切丛可以定义为一个M上的n阶向量丛，其变换函数由相应的坐标变换的雅可比矩阵给出。 向量场是切丛的截面。 局部向量场是切丛的局部截面。 所有局部向量场的集合构成一个层（sheaf）。 余切丛 测地线 李导数...

微分几何中，流形的余切丛是流形每点的余切空间组成的向量丛。余切空间有一个标准的辛形式，从中可以一个余切丛的非退化的体积形式。因此，本身作为一个流形的余切丛总是可定向的。可以在余切丛上定义一组特殊的坐标系；这些被称为正则坐标。因为余切丛可以视为辛流形，任何余切丛上的实函数总是可以解释为一个哈密顿函数；这样余切丛可以理解为哈密顿力学讨论的相空间。...

的一个截面是在每一点 x ∈ B 上的向量空间 Ex 中有一个元素。特别地，光滑流形 M 上一个向量场是在 M 的每一点选取一个切向量：这是 M 的切丛的一个截面。类似地，M 上一个 1-形式是余切丛的一个截面。 纤维丛一般不一定有如上的整体截面，从而定义局部截面也是有用的。纤维丛的一个局部截面（local section）是一个连续函数...

丛（spinor bundle）。 给定一个可微流形 M，配有一个符号为 (p,q) 的度量，M 上一个旋量丛是 M 上向量丛使其纤维是 Spin(p,q) 的一个旋量表示。这里 Spin(p,q) 是特殊正交群 SO(p,q) 单位分支的二重覆盖。 旋量丛由向量丛 V 上继承一个联络（参见自旋联络）。...

在数学领域之微分几何中，法丛（normal bundle）是一个特殊的向量丛，得自一个嵌入或浸入，是切丛的补。 设 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 是一个黎曼流形， S ⊂ M {\displaystyle S\subset M} 是一个黎曼子流形。对给定的 p ∈...

数学中，线丛（line bundle）表达了空间中在点之间变化的直线的概念。例如，平面中的曲线在每一点都有一条切线，这就确定了一条变化的直线：切丛是组织它们的一种方式。代数拓扑和微分拓扑中，线丛更正式的定义是秩为1的向量丛。 为空间中的每一点连续地选择一个1维向量空间，便确定了线丛...

数学中，希格斯丛是由全纯向量丛E和希格斯场 φ {\displaystyle \varphi } （在E的自同态丛中取值的全纯1-形式，满足 φ ∧ φ = 0 {\displaystyle \varphi \wedge \varphi =0} ）组成的二元组 ( E , φ ) {\displaystyle...

于P的任何纤维丛上一个（埃雷斯曼）联络。特别地，在任何配向量丛上主联络诱导了一个共变导数，一个能对这个丛的光滑截面关于沿着底流形上切方向微分的算子。主联络将光滑流形标架丛上的线性联络推广到任何主丛上。 设π:P→M是光滑流形M上一个光滑主G-丛。则P上一个主G-联络是P上一个取值于G的李代数 g {\displaystyle...

中。换句话说，我们要求确认相配丛映射的像（这其实是一个函子）。 向量丛的例子包括：引入一个度量导致结构群由一个一般线性群约化为正交群 O(n)；一个实丛的复结构的存在性导致结构群由实一般线性群 GL(2n,R) 约化为复线性群 GL(n,C)。 另一个重要的情形实寻找一个秩 n 向量丛 V 的作为秩 k 与秩 n-k 子丛的惠特尼和（英语：Whitney...

≅ M × R n , {\displaystyle E\oplus E'\cong M\times \mathbb {R} ^{n},} 则称丛E'是E的逆丛。紧豪斯多夫基上的向量丛都有逆丛。 Hatcher, Allen, Vector Bundles & K-Theory 2.0, 2003 ...

在数学中，伴随丛（adjoint bundle）是一个自然相配于任何主丛的向量丛。伴随丛的纤维带有李代数结构使得伴随丛成为一个代数丛。伴随丛在联络理论以及规范理论中都有重要的应用。 设 G 是一个李群，李代数为 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ，并设 P 是光滑流形...

t i j ∘ f . {\displaystyle f^{*}t_{ij}=t_{ij}\circ f.} 若E → B是向量丛或主丛则拉回丛f*E也是同类的丛。在主丛的情况，G在f*E上的作用为 ( x , e ) ⋅ g = ( x , e ⋅ g ) {\displaystyle (x,e)\cdot...

当代的张量场思想的数学表达把它分为两步的概念。 首先有向量丛的想法，实际上就是“依赖于参数的向量空间”—参数就是一个流形。例如：依角度变化的一维向量空间可以看起来像默比乌斯带也可以像圆柱。给定M上的向量丛V，相应的场的概念称为丛的一个“截面”：随着m在M上改变，在m点的向量空间Vm上的向量vm的一个选择。...

数学上，一个G主丛(principal G-bundle)是一种特殊的纤维丛，其纤维为拓扑群G的作用的扭子（torsor）（也称为主齐性空间）。主G丛是G丛，因为群G也是丛的结构群。 主丛在拓扑学和微分几何中有重要应用。他们在物理学中也有应用，他们组成了规范理论的基础框架的一部分。主丛为纤维丛...

theory）是对向量丛、主丛、纤维丛上的联络的一般研究。数学中的规范理论不应与物理学中的规范场论相混淆，后者是一种允许规范对称性的场论。数学中，理论指的是数学理论，包括对一系列概念或现象的一般研究，而物理学中，理论是某种自然现象的数学模型。 数学中的规范理论通常涉及规范理论方程的研究，即涉及向量丛或主丛...

丛上，一个主联络是将联络形式自然重新解释为一个张量性对象。另一方面，联络形式作为定义在微分流形上的微分形式与在一个抽象的主丛上相比，有其优越性。从而，尽管它们不满足张量性，联络形式依然被使用，因为利用它们计算相对简单 。在物理学中，联络形式在规范理论中通过规范共变微分也广泛应用。 与向量丛的每个基相伴的联络形式是微分...

(Y)].} 若 E → B {\displaystyle E\to B} 是一个纤维丛，其结构群为 G，我们可以在相伴的主 G-丛上重复同样的定义。 若 E → B {\displaystyle E\to B} 是一个向量丛则我们可以把 ω {\displaystyle \omega } 看作是 1-形式的矩阵，则上面的公式取如下形式：...

丛上装备有一个仿射联络（一个共变导数或联络），那么联络保证我们可以将流形上的向量沿着曲线移动使得它们关于这个联络保持“平行”。其他联络概念也装备了它们自己的平行移动系统。比如，一个向量场上的科斯居尔联络也允许类似于共变导数一样将向量平行移动。埃雷斯曼或嘉当联络提供了从流形到主丛...

theorem）刻画了复射影直线上的全纯向量丛。具体而言，所有 C P 1 {\displaystyle {\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}} 上的全纯向量丛都是全纯线丛的直和。 伯克霍夫-格罗滕迪克定理指出，在 C P 1 {\displaystyle...

向量丛时发现的，所用的是由亚历山大·格罗滕迪克引入的现在称为（一般）K-理论的想法。早期拓扑 K-理论的工作归于迈克尔·阿蒂亚与弗里德里希·希策布鲁赫。 拓扑 K-理论是紧豪斯多夫空间范畴的一种广义上同调理论，将一个空间上的向量丛按稳定等价分类（向量丛称为稳定等价的当且仅当同构的向量丛由向量丛与平凡向量丛的惠特尼和生成）。设...

丛中截面的方向导数，也能用來闡述在 在特定向量方向上叢中截面為平行的概念：截面s沿着向量V平行，如果∇Vs = 0。所以一个协变导数提供了两个觀念：微分算子以及各个方向上的平行。埃雷斯曼联络完全放弃了微分算子，并用截面在各个方向平行的含义来公理化一个联络。精确一点讲，埃雷斯曼联络將纤维丛中的切丛的某些子空间指定为「水平空间」。如果...

的微分以显而易见的方式诱导了从 M 的切丛到 N 的切丛的一个丛映射（事实上是向量丛同态），记为 dφ 或 φ*，满足如下的交换图表： 这里 πM 与 πN 分别表示 M 与 N 切丛的丛投影。 等价地（参见丛映射），φ* = dφ 是从 TM 到 M 上的拉回丛 φ*TN 的丛映射，这可以看成 M 上向量丛 Hom(TM...

注意到这不一定存在，如果存在也不必惟一。 作为一个实例，每个偶数维实向量空间是一个复向量空间的背景实空间：它有一个线性复结构。一个实向量空间有一个殆复结构当且仅当它是一个复向量丛的背景实丛。这是沿着包含 GL(n,C) → GL(2n,R) 的一个约化。 用转移映射的术语来说，一个 G-丛可以约化当且仅当转移映射可以取值于 H。注意术语约化可能有误导性：它暗示...

M {\displaystyle M} 上一个向量丛， [ ⋅ , ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} 是截面 Γ ( E ) {\displaystyle \Gamma (E)} 组成的模上的一个李括号，向量丛同态 ρ : E → T M {\displaystyle...

class，或稱陳氏類）是一类复向量叢的示性类，类比于斯蒂弗尔-惠特尼类（英语：Stiefel-Whitney class）作为实向量叢的示性类。 陈类因陈省身而得名，他在1940年代第一个给出了它们的一般定义。 给定一个拓扑空间X上的一个复向量丛E, E的陈类是一系列X的上同调的元素。E的第k个陈类通常记为ck(E)...