数学中，流形 M 上一个向量值微分形式（vector-valued differential form）是 M 上取值于一个向量空间 V 的微分形式。更一般地，它是取值于 M 上某个向量丛 E 的微分形式。通常的微分形式可以视为 R-值微分形式。向量值微分形式是微分几何中的自然对象并有广泛的应用。 设Μ是一个光滑流形，...

函数的微分（英語：Differential of a function）是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。 微分在数学中的定义：由 y {\displaystyle y} 是 x {\displaystyle x} 的函数(...

在数学中，微分算子（英語：Differential operator）是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数。 最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括： d d x {\displaystyle {\mathrm {d}...

数学上，一个李群G的Maurer-Cartan形式是一个特别的微分形式，它包含关于这个李群的结构的基本的无穷小信息。它被埃里·嘉当多次使用，作为他的移动标架法的基本组成。 设 g = T e G {\displaystyle g=T_{e}G} 是李群在幺元的切空间(它的李代数)。G可以由左平移作用在自身...

由于一個向量空間上 k 個變量的交錯線性形式空間自然同構于那個向量空間上的 k-向量空間的對偶，霍奇對偶也能對這些空間定義。與線性代數的大部分構造一樣，霍奇對偶可以擴張到一個向量叢。這樣的霍奇對偶特別常見的是在余切叢的外代數（即流形上的微分形式）上，可用來從外導數構造余微分...

曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。 从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet...

在数学，特别是微分几何中，一个联络形式（connection form）是用活动标架与微分形式的语言处理联络数据的一种方式。 历史上联络形式由埃利·嘉当在二十世纪上半叶引入，作为他活动标架方法的一部分，也是其主要促进因素之一。联络形式一般取决于标架的选取，从而不是一个张量性对象。在嘉当最初的工作之后...

们可以表述很一般的偏微分方程(PDE)系统。嘉当加入了外导数，作为一个完全几何式的坐标无关的操作。这很自然导致了对于一般的p讨论p-形式的需要。嘉当描述了Riquier的一般PDE理论对他的影响。 基于这些基础，即李群和微分形式，他继续深入完成了大量工作，以及一些通用的技术，例如移动标架法，这些逐渐融入到数学的主流中。...

刘维尔定理揭示了具有初等原函数的初等函数的本质特征。其最早由约瑟夫·刘维尔于十九世纪三四十年代提出，经后人推广到一般的微分域上，并被进一步推广运用在常微分方程组初等首次积分的研究上。 初等函数的原函数并不总是初等函数，例如 e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} 的原函数是误差函数，无法用初等函数表达出来。...

{\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X)} 在微分幾何及微分拓撲中，所論的空間 X {\displaystyle X} 通常是閉流形，此時拓撲不變量 b k {\displaystyle b_{k}} 可以由源自流形微分結構的微分形式計算。具體言之，考慮複形 0 → A 0 ( X ) →...

在微分几何中，第一基本形式（first fundamental form）是三维欧几里得空间中一个曲面的切空间中内积，由 R3 中标准点积诱导。它使得曲面的曲率和度量性质（比如长度与面积）可与环绕空间一致地计算。第一基本形式用罗马数字 I 表示： I ( v , w ) = ⟨ v , w ⟩ ....

{\displaystyle \mathbb {A} } 的微分面积，由曲面向外定义为其方向， Q e n c {\displaystyle Q_{enc}} 为闭合曲面内的电荷， ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} 为真空電容率。 其微分形式为： ∇ ⋅ E → = ρ ε 0 {\displaystyle...

在考虑粒子的散射时，通常引入另一个物理量微分散射截面，而将 σ {\displaystyle \sigma } 称作总散射截面。微分散射截面表达为： d σ / d Ω {\displaystyle d\sigma /d\Omega } 其中 Ω {\displaystyle \Omega } 为出射粒子的空间角。这个微分...

PID控制器（比例-积分-微分控制器），由比例单元（Proportional）、积分单元（Integral）和微分单元（Derivative）组成。可以透過調整這三個單元的增益 K p {\displaystyle K_{p}} ， K i {\displaystyle K_{i}} 和 K d {\displaystyle...

。 換句話說，由於非完整約束無法依照上述方法，來除去其所含廣義座標，完全描述非完整系統，所需要的廣義座標數目，大於自由度。 約束有時可以用微分形式的約束方程式來表示。思考第 i {\displaystyle i} 個約束的微分形式的約束方程式： ∑ j   c i j d q j + c i d t...

微分几何中，埃雷斯曼联络（Ehresmann connection）是应用于任意纤维丛的联络概念的一个版本。 特别的是，它可以是非线性的，因为一般的纤维丛上没有合适的线性的概念。 它适用于主丛这一类特殊的纤维丛，通过联络形式表述，在这种情况联络至少是在一个李群的作用下等变。 埃雷斯曼联络以法国数学家夏尔·埃雷斯曼命名。...

K=\mathbb {R} } 时，且仅当所有的变量都为零时该二次型才为零时，则称该二次型为确定双线性形式，否則称之为迷向二次型。 二次型在许多数学分支，包括在数论、线性代数、群论（正交群）、微分几何(黎曼测度)、微分拓扑(intersection forms of four-manifolds)和李代数(基灵型)中，占有核心地位。...

4=2.8} 。 微分也是一种线性描述函数在一点附近变化的方式。微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分 d x {\displaystyle \mathrm {d} x} ，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。函数...

在现代微分几何中，"曲面"抽象的看来是一个二维微分流形。将这个观点和曲面的经典理论联系起来的是将抽象曲面嵌入到R3中，并用第一基本形式赋予黎曼度量。假设这个嵌入在R3中的像是曲面S。局域等度就是R3中的开区域之间的微分同胚f: U → V，限制到S ∩...

是 p 原像的个数，则 deg2(f) 是 n 模 2。 微分形式的积分给出 （C∞-）奇异同调与德拉姆上同调之间的一个配对：<[c], [ω]> = ∫cω，这里 [c] 是由圈 c 代表的同调类，ω 是代表一个德拉姆上同调类的一个闭形式。对定向 m-维流形之间的一个连续映射 f : X→Y，我们有...

Ðð（eth） Đđ（d with stroke） Ɖɖ（d with tail，又名African D，因為主要用於非洲的語言） 留意以上3个字母，大写的形状完全一样，仅小写有分别。 ∂（数学上的部分微分符号） Δδ（希腊字母Delta） Дд（西里尔字母De） 名稱以「D」開頭的所有条目...

偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。 微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。 泛函分析的主要定理包括： 一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。...

\beta }{}_{;\beta }\,=\mu _{0}J^{\alpha }} 其中分號;代表了協變微分，跟上面在平直時空所用的偏微分相互輝映。方程式的優美不受改變，僅僅需要將偏微分換成協變微分，這在廣義相對論常見的說法。這樣的方程式常被稱作是「彎曲時空下的馬克斯韋方程組」。一樣地，第二個方程式...

微積分學也称為微分积分学（拉丁語：Calculus），主要包括微分學和積分學两个部分，是研究極限、微分、積分和無窮級數等的一個數學分支。本質上，微積分學是一門研究连续變化的學問。 微積分學在科學、商學和工程學領域皆有廣泛的應用，並成為了現代大學教育的重要组成部分，用於有效解决一些僅以代數學和幾何學無法處理的問題。...

在微分几何中，节丛(jet bundle，或称射流丛、射丛)是一种特殊的构造，从给定的光滑纤维丛建立一个新的光滑纤维丛。它使得在纤维丛的截面上用一种不变形式来表达微分方程成为可能。 历史上，节丛归功于埃雷斯曼，它是嘉当的延长方法上的一个进步，该方法通过在新引入的形式化变量上加入微分形式...

博弈论还有很多分类，比如：以博弈进行的次数或者持续长短可以分为有限博弈和无限博弈；以表现形式也可以分为一般型（战略型）或者展开型，等等。 纳什均衡 囚徒困境 重复博弈 大眾定理 信息 帕累托最优 零和博弈 非零和博弈 微分包含式 拍卖博弈 序列賽局 Harold W. K.(editor), 1997,...

在数学中，偏导数（英語：partial derivative）的定義是：一個多變量的函数（或稱多元函數），對其中一個變量（導數）微分，而保持其他变量恒定。 偏导数的作用与价值在向量分析和微分几何以及机器学习领域中受到广泛认可。 函数 f {\displaystyle f} 关于变量 x {\displaystyle...

该材料组织得很广泛，包括追溯到赫尔曼·格拉斯曼的想法，从微分形式理论导致了德拉姆上同调中的想法，以及一些更初等的想法比如楔积（推广了叉积）。 布尔巴基将结论以相当苛刻的方式，完全拒绝向量分析中一种处理方式（四元数方法，即，在一般情形，和李群的关系）。他们转而应用一种...

形式被构造。 令G为一个紧李群，则其被对应的李代数完全确定，因此由李代数来确定李群上同调应为可能的。我们使用如下的构造。注意到李群的上同调是G上的微分形式构成的复形对应的德拉姆上同调，而这个复形可以被替换为等变微分形式的复形，而后者则可以被看作带有一个合适的微分算子的李代数的外代数。这一微分...

{\displaystyle \mathrm {d} x} 相比是無限小的，也就是說，超實數系統包含了一系列各不等同的無限小量。 使用超實數進行微分可以更方便的進行代數操作。在標準微分中，偏微分和高階微分不能通過代數技巧獨立操作。然而，使用超實數，可以建立這樣的系統，只是會使用稍微不同的表示法。 超實數系統另一個關鍵用途是為萊布尼茨所用的積分符號...

for Computer Algebra）中將Risch算法加以摘要，篇幅超過一百頁。Risch–Norman算法（得名自 A. C. Norman）在1976年提出，速度較快但威力較小。 符號積分（英语：Symbolic integration） 积分表 不完全Γ函數 刘维尔定理 (微分代数)...