質數，又名素数，是一個除1與自身之外沒有其他因數的正整数。欧几里得定理說明質數沒有上限，不少數學家與嗜好者故一直尋找大質數。 不少大質數為梅森素数，定義為2的冪減去1的正整數。截至2024年10月 (2024-10)[update]，首七個已知大質數皆為梅森素数。近十八次最大質數紀錄皆為梅森素数。所有梅森素数的二进制表示中，所有數字皆為1。...

质数被证明可是无限多的，而它們能以不同的質數公式生成。以下，列出了當中的首500個質數，並以英文字母順序將不同種類的質數中的第一批次列出。 以下共有20列，25行，每行20個連續質數。（OEIS數列A000040） 哥德巴赫猜想證明研究報告聲稱可用來計出1018內所有質數...

超大質數是指十進位中至少有一百萬位數的質數。 其他表示大質數的有泰坦尼克素數，由塞繆爾·耶茨在1980年代創造，指至少1000位數的質數，和巨大質數（至少有10000位數的質數）。 截止2025年5月17日，已知的超大質數有3354個，其位數超過一百萬位數，第一個被發現的是2^6972593-1，...

是否為一質數。此類形式的質數稱之為階乘質數。其他具p+1或p-1之類形式的質數還包括索菲·熱爾曼質數（具2p+1形式的質數，其中p為質數）、質數階乘質數、費馬質數與梅森質數（具2p − 1形式的質數，其中p為質數）。盧卡斯-雷默質數測試對這類形式的數特別地快。這也是為何自電腦出現以來，最大已知質數總會是梅森質數的原因。...

質數P，總存在一個整數n，使得gn ≥ P。（可選定n，使得pn為小於P# + 2 的最大質數）另外，依據《質數定理》，質數的密度會隨著數值增大而趨近於0，亦可知存在任意大的質數間隙。實際上，依《質數定理》，P# 的值約略為 exp(P)的大小，且於 exp(P)附近，相鄰質數的「平均」間隙為...

  GIMPS發現的梅森素数   拉斐爾·米切爾·羅賓遜發現的梅森質數   亞歷山大·赫維茲發現的梅森質數   Donald B. Gillies發現的梅森質數   Walt Colquitt和Luke Welsh發現的梅森質數 下表列出所有已知的梅森素数： A000668 註：现在还不知道第49个梅森素数（M57...

楔形数指可以表示成三个不同质数的积的正整数。将任何楔形数带入默比乌斯函数，结果都得+-1. 注意以上的定义比要求一个数只含有三个不同的质数因子更严格。比如60 = 22 × 3 × 5只有3个质数因子，但它不是楔形数，又比如44 = 22 × 11，是三個質數的積，但它不是楔形數。 所有的楔形數都是無平方數因數的數。...

1是已知最大的孪生素数，有388,342个数位。 数学：截至2023年4月 (2023-04)[update]，3,267,113# – 1是已知最大的質數階乘質數，有1,418,398个数位。 数学 - 文学：豪尔赫·路易斯·博尔赫斯笔下的《巴别图书馆》至少包含251,312,000 ≈ 1.956...

計算正则表达式的差集。 有些數論中的上限是雙重指數，例如有n個相異質數的奇完全數的上限為： 2 4 n {\displaystyle 2^{4^{n}}} 自從Miller和Wheeler在1951年利用EDSAC找到79位數的質數之後．利用電腦找到的已知最大質數和年份之間的關係為雙重指數函數。 Aho, A. V...

已知的最大的形如 n#+1 的质数阶乘质数是 392113#+1 ，它有 169966 位数，由Daniel Heuer发现。 質數階乘質數也能用來證明質數是無限的。 首先，假設前n個質數是唯一存在的質數。如果pn# + 1或pn# − 1是質數階乘質數，這意味著有比第n個質數更大的質數...

113。然而當項指標增大時，費波那契質數越來越稀少。在10,000之內的1,229個質數p中，僅有26個對應到費波那契質數Fp（見上方例子n = 3, 4, 5, 7, ..., 9677，共26個）。 截至2014年8月 (2014-08)[update]，已知最大的費波那契質數為F81839，共有17103位數。其為質數的結果是由David...

{dt}{\ln \,t}}} （对数积分），而關係式右邊第二項是誤差估計，詳見大O符號。 定義 π(x) 為素数计数函数，也就是小於等於x 的質數個數。例如 π(10)=4，因為共有 4 個質數小於等於 10，分別是 2、3、5、7。質數定理的敘述為：當 x 趨近無限，π(x) 和 x ln ⁡ x {\displaystyle...

在數論中，算數數列中的質數的研究範圍包括任何包含至少三個在等差數列中彼此相鄰的質數的數列。一個這樣的序列的例子是 ( 3 , 7 , 11 ) {\displaystyle (3,7,11)} ，而這序列可由 a n = 3 + 4 n {\displaystyle a_{n}=3+4n} 在 0 ≤...

形式如 ( 2 n + 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {(2^{n}+1)}{3}}} 的質數稱為瓦格斯塔夫質數，首幾項為： 3, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 768614336404564651...

唯一素数（Unique prime）是指一個不為2、5（在十進位時），且有以下性質的質數p：不存在其他質數q，其倒數1 / q的循环節長度和1 / p的循环節長度相等。唯一素数是在1980年代由Samuel Yates所提出。 可以證明素数p其倒數的循环節長度為n若且唯若存在一自然數c使得下式成立（下面内容仅限于十进制范畴）：...

算术基本定理，又称为正整數的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2個或以上的質數的积，而且这些質因子按大小排列之后，写法僅有一種方式。 例如： 6936 = 2 3 × 3 × 17 2 {\displaystyle 6936=2^{3}\times 3\times...

截至2017年8月 (2017-08)[update]，這些質數中最大的10223·231172165+1，同時也是已知前十大質數中唯一不是梅森質數的質數，也是最大已知的非梅森質數。 這些數字的長度堪比中篇小說的幅度。此計畫希望在以下五個數列中找尋質數： k·2n+1, for k = 21181, 22699...

p_{n}=1213266377\times 2^{35000}+2429,\quad p_{n-1}=p_{n}-2430,\quad p_{n+1}=p_{n}+2430.} n（其在所有素數序列中的排名）的值是未知的。 強質數，一个大於其兩个相鄰素数的算术平均值的素数。 弱質數，一个小於其兩个相鄰素数的算术平均值的素数。...

R_{n}} 是質數， n {\displaystyle n} 必須是質數。 現在已知 n = 2 , 19 , 23 , 317 , 1031 {\displaystyle n=2,19,23,317,1031} 時， R n {\displaystyle R_{n}} 是質數，而 n = 49081...

(647,653,659), (727,733,739), (941,947,953), (971,977,983) 六質數三元組中間的一定是平衡質數 截至2006年4月，最大已知六素数三元组由肯·戴维斯找到，有5132位： p = (84055657369 · 205881 · 4001# · (205881...

大搜索找到该数。除前八个不超过十位外，后面的结果都非常长，最长的已有数千万位；下表仅列出前后各六位，中间以省略号表示。   GIMPS發現的梅森素数   最小未驗證梅森素數   梅森猜測的梅森質數   古代知道的梅森素数   拉爾夫·歐內斯特·鮑爾斯發現的梅森素数   唐納德·吉利斯發現的梅森質數...

因為二連續質數之間不可能有另一個質數，因此interprime本身不會是質數。 質數有無限多個，所以interprime也會有無限多個，2009年時已知最大的interprime是100355位數的n = 65516468355 · 2333333，n ± 1即為已知最大的雙生質數。 質數間隙 雙生質數 表兄弟素数...

大質數間隙進行計算，他藉由下列公式來計算質數間隙與克拉梅爾猜想相契合的程度： R = log ⁡ p n p n + 1 − p n {\displaystyle R={\frac {\log p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}} 他寫道「即使對於已知最大的質數間隙，...

不使用6或9的頻閃質數是二面體質數。這包括純位質數和僅包含數字0、1和8的所有其他回文素數（在二進制中，所有回文素數都是二面體的）。似乎不知道是否存在無限多個二面體素數，但這是從推測有無限多個循環素數得出的。 已知最大二面素數 10180054 + 8×(1058567−1)/9×1060744...

環狀質數（英語：Circular prime）是在環狀排列後仍然是質數的質數。例如1193本身是質數，而其環狀排列後，產生的1931、9311及3119都是質數，因此1193是環狀質數。考慮十進位的環狀質數，若超過一位數的環狀質數，只會由1、3、7、9四個數字組成，因為其中若有偶數，偶數排到個位數...

AKS質數測試（又稱Agrawal–Kayal–Saxena質數測試和Cyclotomic AKS test）是一個決定型質數測試演算法 ，由三個來自印度坎普爾理工學院（英语：Indian Institute of Technology Kanpur）的計算機科學家，曼寧德拉·阿格拉瓦爾（英语：Manindra...

換句話說，哥德巴赫猜想主張每個大於等於4的偶數都是哥德巴赫數——可表示成兩個質數之和的數。哥德巴赫猜想也是二十世纪初希爾伯特第八問題中的一個子問題。 其實，也有一部分奇數可以用兩個質數的和表示，大多數的奇數無法用兩個質數的和表示，例如：15=2+13、19=2+17，而23、35等數则無法用兩質數的和表示。...

Davis發現，位數為11594位。 已知最大的表兄弟可能質數為 474435381 · 298394 − 1 474435381 · 298394 − 5. 其位數為 29629位，是由Angel, Jobling及Augustin。其中第一個數已證實為質數，但目前還找不到素性测试法可以證明第二個數為質數。 孿生質數...

都尚未成功，因此這個問題也被多數人懷疑不在P中。 但判定一個整數是否是質數比分解該整數簡單許多。AKS算法証明前者可以在多項式時間中解決。 測試一個數是否為質數是RSA演算法中非常重要的一環，因為它在一開始的时候需要找很大的質數。 一個特別的因數分解算法的運行時間依賴它本身的未知因子：大小，類型等...

{\displaystyle p_{n+1}-p_{n}\ } 是質數間隙。他的論文是孿生質數猜想的重大進展，因為在此之前，“是否存在無窮多對質數，每对相差均小於某個常數”，這問題就連其中的常數存在與否也未解決，更毋論給出一個合乎條件的常數；而當常數為2时称为孿生質數猜想，即 lim inf n → ∞ ( p n...

之間，至少有一個質數。此猜想是蘭道問題（1912年）中有關質數的一個問題。截至2023年 (2023-Missing required parameter 1=month!)[update]為止，還沒有人可以證明此猜想成立，也沒有人找到此猜想的反證。 若勒讓德猜想為真，那麼在大O符号的意義下，質數p及相鄰質數的最大間隙就會是 O ( p...