形式幂级数(formal power series)是一个数学中的抽象概念，是从幂级数中抽离出来的代数对象。形式幂级数和从多项式中剥离出来的多项式环类似，不过允许（可数）无穷多项因子相加，但不像幂级数一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值。形式幂级数在代数和组合理论中有广泛应用。 形式幂级数...

在数学中，幂级数（power series）是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个（见“多元幂级数”一节）。单变量的幂级数形式为： f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( x − c ) n {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty...

求解幂级数的和函数有时需要利用先对各项积分（或求导）以得到一个方便利用已有公式进行求和的形式，在求和后在对各项求导（或积分）。 渐进级数是用来对某些函数的间断点附近的情况进行逼近的级数。渐进级数一般是发散的，它的部分和趋于无穷大，因此可以很好地逼近一个趋于无穷大的函数。但要注意的是，渐进级数提供的...

10的幂是指符合 10 n {\displaystyle 10^{n}} 形式，而 n {\displaystyle n} 也是整數的數，也就是底數為10，指數為整數 n {\displaystyle n} 的幂。 10的冪以十進制表示時，為1000...000、0.000...0001或是1的形式。...

限制在正整數及零的範圍內，因此2的幂包括1、2以及2自乘多次的乘積。 因為2是二進制的底數，因此在常出現二進制的電腦科學中，2的幂也很常見。若將2的幂用二進制表示，會是100…000、0.00…001或是1的形式，類似用十進制表示10的幂的情形。 2 n {\displaystyle 2^{n}} 2 ↑ n {\displaystyle...

为解析形的函数（analytic）。一个函数当且仅当（简单地说，“只有在且只要在”）能够被表示为幂级数的形式时，才是解析形的函数。通常会用泰勒定理来估计级数的餘项，这样就能够确定级数是否收敛于 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。...

在数学中，复变函数f(z)的洛朗级数（英語：Laurent series），是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。洛朗级数是由皮埃尔·阿方斯·洛朗在1843年首次发表并以他命名的。卡尔·魏尔斯特拉斯可能是更早发现这个级数的人，但他1841年的论文在他死后才发表于世。...

貝爾級數是數論上一種研究算術函數的工具。它是形式幂级数。 給定算術函數f和質數p，f模p的貝爾級數為 f p ( x ) = ∑ i = 0 ∞ f ( p n ) x n {\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{i=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}}...

在數學中，艾森斯坦級數是一類可直接表成級數的模形式，由費迪南·艾森斯坦首創。對於一般的約化群，羅伯特·朗蘭茲也發展了相應的理論。 固定整數 k > 1 {\displaystyle k>1} 。對上半平面上的複數 τ {\displaystyle \tau } ，定義艾森斯坦級數 G 2 k {\displaystyle...

调和级数（英語：Harmonic series）是正整數的倒數之和，是发散的无穷级数，表达式为： ∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac...

在数学中，傅里叶级数（英語：Fourier series，/ˈfʊrieɪ, -iər/）是把类似波的函数表示成简单谐波的方式。更正式地说，对于满足狄利克雷定理的周期函数，其傅里叶级数是由一组正弦与余弦函数的加权和表示的方法。傅里叶级数与用来找出无周期函数的频率信息的傅里叶变换有密切的关系。 傅里叶级数...

的复z收敛，并且能从半径为−1/q + 1的圆解析地延拓到半径为1的圆上，而且在z=1处连续，则此处的值被称为级数a0 + ....的欧拉和或是(E,q)和。欧拉在解析延拓被定义前普遍地应用这个概念，并且给出了幂级数解析延拓的精确形式。 欧拉变换的操作能被重复上好几次，它本质上等价于考虑幂级数在z = 1处的解析延拓。...

在数学中，级数展开是将一个函数展开成级数，或无穷和的形式。它是一种计算仅靠基本运算符（加、减、乘、除）无法表达的函数的方法。 由此产生的级数往往可以通过仅取有限项，产生近似。序列中使用的项越少，近似就越简单。由于省略的部分和产生的不精确通常可以用包含大O符号的方程来描述。对于非解析函数，开放区间上的级数展开是一个近似值。...

收敛半径是数学分析中与幂级数有关的概念。一个幂级数的收敛半径是一个非负的扩展实数（包括无穷大）。收敛半径表示幂级数收敛的范围。在收敛半径内的紧集上，幂级数对应的函数一致收敛，并且幂级数就是此函数展开得到的泰勒级数。但是，在收敛半径上幂级数的敛散性是不确定的。 定义幂级数f 为： f ( z ) = ∑...

在不同的引力度规理论中，决定时空度规的场方程具有很大的差异。但是，在弱场和慢运动及低能的情况下，几乎所有度规理论的时空度规都具有相同的结构，都可以写成闵可夫斯基度规加上微擾，并按照由系统的物质变量所定义的各种引力势的幂级数展开。各种度规理论都具有相同形式的度规展开式，它们的区别仅在于展开系数有不同的...

柯西－阿达马公式（Cauchy-Hadamard Formula）为複分析（Complex analysis）中求单複变形式幂级数收敛半径的公式，以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西和雅克·阿达马的名字命名。 对于单一复数变量“z”的形式幂级数 f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( z − a ) n . {\displaystyle...

的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。 母函数的表示一般使用解析形式，即写成关于某个形式变量x的形式幂级数。对幂级数的收敛半径中的某一点，可以求母函数在这一点的级数和。但无论如何，由于母函数是形式幂级数的一种，其级数和不一定对每个x的值都存在。...

在數學中，解析函数（英語：Analytic function）是局部上由收斂冪級數給出的函數。解析函數可分成實解析函數與複解析函數，兩者有類似之處，同時也有重要的差異。两种类型的解析函数都是无穷可导的，但复解析函数表现出一些一般实解析函数不成立的性质。此外在超度量域上也可以定義解析函數，這套想法在當代數論與算...

阿贝尔判别法（Abel test）是一个用于判断无穷级数是否收敛的方法。阿贝尔判别法有两种不同的形式，一个是用来判断实数项级数的收敛，另一个是用来判断复数项级数的收敛。 给定两个实数项数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 和 { b n } {\displaystyle...

数学上的單項式（英語：Monomial）是指只有一項的多項式。如 x 2 {\displaystyle x^{2}} 、 x {\displaystyle x} 都是單項式。 單項式有兩種不同的定義： 單項式，也稱為冪乘積，是各變數自然数幂次的乘積，也可以說是變數之間的乘積，變數可能會重複出現，例如...

{\displaystyle h(gf)(x)} 一定等於 ( h g ) f ( x ) {\displaystyle (hg)f(x)} ），所以會符合冪結合性，因此這兩條「函數冪的指數律」並沒有任何問題。 這跟例如指數拓展到次方為負整數、分數、無理數、複數，以及階乘運算跟排列組合運算 P n m {\displaystyle...

…，由于该数列发散到无穷，所以部分和数列也发散到无穷。因此任何通常求和方法得到的和将是无穷，包括切萨罗求和法和阿贝尔求和法。 另一方面，有一种广义方法使得 1 + 2 + 4 + 8 + … 的和为有限值 -1。相应的幂级数 f ( x ) = 1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x 3 + ⋯...

最简单（仍有点繁琐）的构造始于R上的（可数）无穷多元形式幂级数环 R [ [ X 1 , X 2 , . . . ] ] {\displaystyle R[[X_{1},X_{2},...]]} 。此幂级数环的元素形式上是无穷级数，包含R中系数乘以单项式，后者是有限多变量的有限次幂之积。将 Λ R {\displaystyle...

{\displaystyle D} 上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。 複函數的可微性有比實函數的可微性更強的性質。例如：每一個正則函數在其定義域中的每個開圓盤都可以冪級數來表示： f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( z − z 0 ) n = a 0 + a 1 (...

x^{8}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1+x^{2}}},\qquad |x|<1.\!} 对等式两边积分可得到反正切的幂级数： x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + x 9 9 − ⋯ = tan − 1 ⁡ x , | x | < 1. {\displaystyle...

其中a是實數，m是正偶數，S(t)是k階的冪級數且k>m。m也是F最低階項中非零部份的階數。這些定義已被勒内·托姆及弗拉基米爾·阿諾爾德推廣至以可微函數定義的曲線，若某點鄰域存在微分同胚，將曲線映至以上定義的尖點，則該曲線有尖點。在某些時候，以及以下文章，尖點被限定為二階尖點，也就是說{{{1}}}。一個平面曲線的二階尖點可被微分同胚表為x2...

李善兰恒等式为组合数学中的一个恒等式，由中国清代数学家李善兰于1859年在《垛积比类》一书中首次提出，因此得名。 有幂级数和概率两种证明方法。 ( n + k k ) 2 = ∑ j = 0 k ( k j ) 2 ( n + 2 k − j 2 k ) {\displaystyle {\binom...

設A(z)是z的一個形式冪級數 A ( z ) = ∑ k = 0 ∞ a k z k {\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}} ， 則定義A的博雷爾變換為其等價冪級數 B A ( t ) ≡ ∑ k = 0...

_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k},\,n=0,1,2,\ldots } “形式”是指我们对级数运算时不考虑是否收敛，参见形式幂级数。 人们希望，通过对两组级数做实际卷积的有限和的类推，得到无穷级数 ∑ n = 0 ∞ c n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty...

除此之外，一个函数在一点的泰勒展开表达式唯一地确定了以该点为中心的收敛圆内函数的形式，而渐近级数则不然，详见下一小节的讨论。 在一定的辐角范围内，给定了 {φn(z)} 的具体形式后，一个函数 f(z) 渐近展开的表达式是唯一的，即系数序列 {an} 是唯一的。这是因为系数序列可以由下面的关系完全确定： a m = lim z...

{\displaystyle A[X],A[[X]]} 皆為正則環。 零維的正則局部環是域。 任何離散賦值環都是正則局部環，例子包括了p進數的整數環 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} 。 域上的形式冪級數環是正則局部環，其維度等於變元個數。 正則局部環不一定包含一個域，例如...