在微分几何中，拉回是将一个流形上某种结构转移到另一个流形上的一种方法。具体地说，假设 φ:M→ N 是从光滑流形 M 到 N 的光滑映射；那么伴随有一个从 N 上 1- 形式（余切丛的截面）到 M 上 1-形式的线性映射，这个映射称为由 φ 拉回，经常记作 φ*。更一般地，任何 N 上共变张量场——特别是任何微分形式——都可以由...

微分形式和它们的上同调类 参见： 拉回 (微分几何) 拉回 (上同调) 拉回作为纤维积的概念最终导致了非常广泛的范畴的拉回，但有一些重要的特例：代数几何中的逆像（和拉回）层，以及代数拓扑和微分几何中的拉回丛。 参见： 拉回 (范畴论) 逆像层 拉回丛 纤维范畴 两种拉回的概念的关系可能最好是用纤维丛的截面来解释：如果...

這是微分几何主題列表： 曲線話題列表（英语：List of curves topics） 弗莱纳公式 曲线的微分几何 線素（英语：Line element） 曲率 曲率半徑（英语：Radius of curvature (mathematics)） 密切圓（英语：Osculating circle）...

达布定理 是数学领域微分几何中关于微分形式的一个定理，部分地推广了弗罗贝尼乌斯定理。它是包括辛几何在内多个领域的基石。这个定理以让·加斯东·达布 命名，他在解 Pfaff 问题 时建立了这个定理。 这个定理的推论之一是任何两个同维数的辛流形是局部辛同胚的。这就是说，任何 2n-维辛流形能局部的看作带标准辛形式的线性辛空间...

数学中，流形 M 上一个向量值微分形式（vector-valued differential form）是 M 上取值于一个向量空间 V 的微分形式。更一般地，它是取值于 M 上某个向量丛 E 的微分形式。通常的微分形式可以视为 R-值微分形式。向量值微分形式是微分几何中的自然对象并有广泛的应用。 设Μ是一个光滑流形，...

在每一点的微分是切空间之间的一个线性变换。从而在某些选定的局部坐标下，它表示为相应的从 Rm 到 Rn 光滑映射的雅可比矩阵。一般情形，微分不要求可逆。如果 φ 是一个局部微分同胚，那么在 x 点的前推是可逆的，其逆给出 Tφ(x)N 的拉回。 另外，局部微分同胚的微分是切空间之间的线性同构。 微分经常有其他一些记法，比如...

畴中，如果X是Z的子集，那么对任何g : Y → Z，拉回X ×Z Y是X在g下的逆像。 同构态射也不变，因此X ×X Y ≅ {\displaystyle \cong } Y对任何映射Y → X成立。 拉回的范畴对偶称为推出。 微分几何中的拉回。 关系代数中的相等连接。 Adámek, Jiří,...

度规张量的值完全由理论决定。 迴圈量子引力可以从广义相对论的ADM表示法推导。ADM表示法的正则变数为三维空间的度规张量 q a b {\displaystyle q_{ab}} 以及其正则动量 P a b {\displaystyle P^{ab}} 。使用狄拉克约束处理方法可得ADM表示法有两个第一类约束： 微分同胚约束:...

在数学微分几何领域，一个光滑纤维丛的铅直丛（vertical bundle）是切丛的一个子丛，由所有和纤维相切的向量组成。更具体地，如果 π:E→M 是一个光滑流形 M 上一个光滑纤维丛，设 e ∈ E 满足 π(e)=x ∈ M，则在 e 处的铅直空间（vertical space） VeE 是纤维...

是一个辛同胚如果它是一个微分同胚且 ω2 在 f 下的拉回等于 ω1： f ∗ ω 2 = ω 1 . {\displaystyle f^{*}\omega _{2}=\omega _{1}.\,} 辛同胚的例子包括经典力学与理论物理中的典范变换，与任何哈密顿函数相伴的流，余切丛上由流形的微分...

在數學中，阿蒂亞-辛格指標定理斷言：對於緊流形上的橢圓偏微分算子，其解析指標（與解空間的維度相關）等於拓撲指標（決定於流形的拓撲性狀）。它涵攝了微分幾何中許多大定理，例如陳-高斯-博内定理和黎曼－罗赫定理，在理論物理學中亦有應用。 此定理由邁克爾·阿蒂亞與艾沙道尔·辛格於1963年證出。 X 是緊微分流形。 E 與 F 是 X...

在微分几何中，拉普拉斯算子可以推广为定义在曲面，或更一般地黎曼流形与伪黎曼流形上，函数的算子。这个更一般的算子叫做拉普拉斯－贝尔特拉米算子（Laplace–Beltrami operator）。与拉普拉斯算子一样，拉普拉斯–贝尔特拉米算子定义为梯度的散度。这个算子作为共变导数的散度，可以延拓到张量...

谷超豪的主要研究方向有偏微分方程、微分几何、数学物理、孤立子等。 1950年代初，谷超豪的研究兴趣主要是古典微分几何，是苏步青领导的中国微分几何学派的骨干。博士论文《无限连续变换拟群》被视为继几何学家E.嘉当之后该领域的重要进展。 1959年毕业回国后，学术兴趣从微分几何...

微分几何中，流形的余切丛是流形每点的余切空间组成的向量丛。余切空间有一个标准的辛形式，从中可以一个余切丛的非退化的体积形式。因此，本身作为一个流形的余切丛总是可定向的。可以在余切丛上定义一组特殊的坐标系；这些被称为正则坐标。因为余切丛可以视为辛流形，任何余切丛上的实函数总是可以解释为一个哈密顿函数；...

这里∗是霍奇对偶，从而最后一个形式∗(1)强调体积形式是流形上常数映射的霍奇对偶。 尽管希腊字母ω经常用于表示体积形式，但是这个记法很难通用，符号ω在微分几何中经常有其它意思（比如辛形式），所以一个公式中的ω不一定就表示体积形式。 一个流形如果既是辛的又是黎曼的，如果流形是凯勒的那种方式定义的体积形式相等。...

有直接关系，所以零特征域上的朗兰兹纲领不能直接用来获得“古典”信息。 希钦系统诞生于于微分几何学家奈杰尔·希钦对希格斯场(Higgs field)的研究。他发现由希格斯场构成的模空间上有一个完全可积系统。在代数几何的观点下，希格斯场的模空间可以理解为 B u n G {\displaystyle \mathrm...

在微分幾何中，李导数（Lie derivative）是一個以索甫斯·李命名的算子，作用在流形上的張量場，向量場或函数，將該張量沿著某個向量場的流做方向導數。因為該作用在座標變換下保持不變，因此，該李導數在一般的流形上都是定義良好的。 所有李导数组成的向量空间对应于如下的李括号构成一个无限维李代数。 [...

数学上，特别是在代数拓扑和微分几何中，陈类（英語：Chern class，或稱陳氏類）是一类复向量叢的示性类，类比于斯蒂弗尔-惠特尼类（英语：Stiefel-Whitney class）作为实向量叢的示性类。 陈类因陈省身而得名，他在1940年代第一个给出了它们的一般定义。 给定一个拓扑空间X上的一个复向量丛E...

要在流形上研究几何，通常必须用附加的结构来装饰这些空间，例如上面的微分流形所加入的微分结构。根据所需要的不同的几何，有许多其它的可能性: 复流形: 复流形是建模在Cn上的流形，在坐标图的重叠处以全纯函数为变换函数。这些流形是复几何研究的基本对象。一个一维复流形称为黎曼曲面。...

幾何創始人，複分析創始人之一。在实分析领域，他最著名的贡献是第一个严格的积分公式：黎曼积分以及他关于傅立叶级数的工作。他在1859年發表的關於素數計數函數的著名論文包含了黎曼猜想的原始陳述，其被認為是解析數論中最具影響力的論文之一。通過對微分幾何的開拓性貢獻，黎曼奠定了廣義相對論數學的基礎。...

。上同调类衡量了丛的“扭曲”程度，表征丛是否有截面；示性类是一种全局拓扑不变量，衡量了局部积结构与全局积结构的偏差。它们是通用于代数拓扑、微分几何与代数几何的几何概念之一。 示性类的概念源于1935年Eduard Stiefel与哈斯勒·惠特尼关于流形上向量场的研究。 令G为拓扑群，对拓扑空间X，记...

在微分几何中，对一个给定的结构群 G，n 维流形 M 上一个 G-结构是 M 的切标架丛 FM（或 GL(M)）的一个 G-子丛。 G-结构的概念包括了许多流形上其它结构，其中一些是用张量场定义的。例如，对正交群，一个 O(n)-结构定义了一个黎曼度量；而对特殊线性群，一个 SL(n,R)-结构就是一个体积形式；对平凡群，一个...

微分几何中，埃雷斯曼联络（Ehresmann connection）是应用于任意纤维丛的联络概念的一个版本。 特别的是，它可以是非线性的，因为一般的纤维丛上没有合适的线性的概念。 它适用于主丛这一类特殊的纤维丛，通过联络形式表述，在这种情况联络至少是在一个李群的作用下等变。 埃雷斯曼联络以法国数学家夏尔·埃雷斯曼命名。...

截面当且仅当它是平凡的。另一方面，一个向量丛总有一个整体截面，即零截面。但只有当它的欧拉类为零时，才有在任何地方都不为零的整体截面。关于向量场的零点可参见庞加莱-霍普夫定理。 截面，特别是对主丛和向量丛，是微分几何中的重要工具。在这种情形，底空间 B 是一个光滑流形 M，而 E 总假设是 M 上一个光滑纤维丛（即...

如果將光滑嵌入的定義中，f為光滑映射的條件放寬為Ck映射，其中k是正整數，而其餘條件不變，則f稱為Ck嵌入。 在黎曼幾何中，設(M,g), (N,h)是黎曼流形，一個等距嵌入是一個光滑嵌入f: M→N，令黎曼度量保持不變，即將h由f拉回等於g，就是 g = f ∗ ( h ) {\displaystyle g=f^{*}(h)}...

几何力学有联系。另外，还包含较新的跨领域学科，如生物信息学和神经信息学，它们的解释用到了来自原传感器成像方式（如磁共振成像）的元数据。其关注待测区域的解剖结构，而非成像设备。这与计算语言学的精神类似。 在计算解剖学中，微分同胚群主要通过坐标变换研究不同坐标系，坐标变换由...

，生於当時属奧匈帝国，现于捷克共和国境內的波希米亞斯特拉乔夫。 切赫在1912年進布拉格查理大學學習數學。因為第一次世界大戰，1915年他被徵召參戰而中斷了學業。1918年回校完成學位，並任教中學。1920年取得博士。 切赫的興趣在射影微分幾何，在1921年至1922年他往意大利向傅比尼學習，還合...

在微分幾何中，指數映射是微積分中定義的指數函數在任意黎曼流形上的推廣。李群上的指數映射是一類重要的情形。 設 M {\displaystyle M} 為微分流形， ∇ : T M → T ∗ M ⊗ T M {\displaystyle \nabla :TM\to T^{*}M\otimes TM}...

= ∑ i p i d q i   . {\displaystyle \theta =\sum _{i}p_{i}dq^{i}\ .} 在差一个全微分（恰当形式）的意义下，相空间中的任何“保持”典范 1-形式结构的坐标系，可以称之为典范坐标；不同典范坐标之间的变换称为典范变换。 典范辛形式由 ω =...

微分几何中，辛流形是装备了闭非退化2-形式ω的光滑流形M，ω称为辛形式。辛流形的研究称为辛几何或辛拓扑。辛流形作为经典力学和分析力学中流形的余切丛自然出现，例如在经典力学的哈密顿表述中（这该领域的主要动机之一），系统所有可能构型的空间可以用流形建模，流形的余切丛描述了该系统的相空间。...

Péluse，1746年5月10日—1818年7月28日），法国数学家，画法几何创始人，（画法几何被广泛应用于工程制图当中），微分几何之父。在法国大革命期间，他曾担任海军部长一职，同时他也积极改革法国的教育系统（曾参与巴黎綜合理工學院的创办）。 蒙日生于法国博訥，是一位商人的儿子。他曾就读于奥拉托利教会（英语：Oratory of...