在数学中，如果在某个集合 X {\displaystyle X} 上定义的具有实数或复数值的某个函数 f {\displaystyle f} 的值域是有界集合，则函数 f {\displaystyle f} 被称为有界的（或有界函数）。换句话说，存在实数 M > 0 {\displaystyle M>0} ，使得对于集合...

有界可以指： 有界集合 有界函数 有界变差 有界算子 有界格...

的子集是有界的。但是， S {\displaystyle S} 可以是在字典序下有界，而不关于欧几里得距离有界。 序数的类被称为是无界的，或共尾的，在给定任何序数的时候，总是有这个类的某个成员大于它。所以在这种情况下，“无界”不意味着自身是无界的而是作为序数类的子类是无界的。 完全有界空间 局部有界性 有界函数...

} 。 有界線性算子一般不會是有界函數；後者需要對所有的v，L(v)的範數是有界的，但這只有在Y 為零向量空間時才有可能。然而，有界線性算符為局部有界函數。 一個線性算子為有界的，若且唯若其為連續的。因此有界线性算子也被称为连续线性算子。 任何在兩個有限維度賦範空間之間線性算符皆是有界的，且此類算符可以被視為某些固定矩陣的乘積。...

有界變差（英語：Bounded variation）是函數的一個性質，它指的是總變差為有限的函數。 有界變差的理論對黎曼－斯蒂尔杰斯积分有相當的用處。 設 Δ f ( x i ) = f ( x i ) − f ( x i − 1 ) {\displaystyle \Delta...

R} 或 R n {\displaystyle R^{n}} 上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。 一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足 f X ( x ) = f X ( − x ) {\displaystyle...

在數學中，解析函数（英語：Analytic function）是局部上由收斂冪級數給出的函數。解析函數可分成實解析函數與複解析函數，兩者有類似之處，同時也有重要的差異。两种类型的解析函数都是无穷可导的，但复解析函数表现出一些一般实解析函数不成立的性质。此外在超度量域上也可以定義解析函數...

在数理逻辑和计算机科学中，递归函数或μ-递归函数是一类从自然数到自然数的函数。直觉上递归函数是"可计算的"。事实上在可计算性理论中已经证明了它确实是图灵机的可计算函数。递归函数与原始递归函数相关，而且递归函数的归纳定义（见下）建立在原始递归函数之上。但不是所有递归函数都是原始递归函数——其中最著名的是阿克曼函数。...

{\displaystyle e^{it\Delta }} 。 这里的「范围」是指允许的函数类型。博雷尔函数演算比连续函数演算更通用，其侧重点也不同于全纯函数演算。 更准确地说，博雷尔函数演算允许将任意博雷尔函数作用于一个自伴算子，同时对于多项式函数有与多项式函数演算一样的行为。 设 T {\displaystyle T} 是有限维内积空间...

累积分布函数（英語：cumulative distribution function，CDF）或概率分布函数，简称分布函数，是概率密度函數的积分，能完整描述一個實随机变量 X {\displaystyle X} 的概率分佈。 在標量連續分佈的情況下，它給出了從負無窮到 x {\displaystyle...

函数存在的时候，累積分佈函數是概率密度函数的积分。概率密度函数有时也被称为概率分布函数，但这种称法可能会和累积分布函数(CDF)或概率质量函数(PMF)混淆。一般来说，PMF 用于离散随机变量（在可数集上取值的随机变量），而 PDF 用于连续随机变量。 对于一维实随机变量X，设它的累积分布函数是...

状态。它区别于更为普遍的图灵机在于尽管磁带最初被认为是无限的，只有其长度是初始输入的线性函数的有限临近部分可以被读写磁头访问。这个限制使 LBA 成为在某些方面比图灵机更接近实际存在的计算机的精确模型。 线性有界自动机是一个非确定型图灵机，并遵循以下三个条件： 其输入字母表中包括两个特殊符号“[”“]”，作为左右端点的标记。...

S型函数（英語：sigmoid function，或稱乙狀函數）是一種函数，因其函數圖像形状像字母S得名。其形狀曲線至少有2個焦點，也叫“二焦點曲線函數”。S型函数是有界、可微的实函数，在实数范围内均有取值，且导数恒为非负，有且只有一个拐点。S型函数和S型曲线指的是同一事物。 逻辑斯谛函数是一种常见的S型函数，其公式如下：...

界或下确界的函数。粗略的说，这些函数把一个集合的上确界／下确界映射到这个集合的像的上确界／下确界。依赖于满足这种性质函数所在集合的类型，它可以保持有限、有向、非空或仅为任意的上确界或下确界。其中的每个要求都自然和经常的出现在序理论的很多领域中，在这些概念和其他概念比如单调函数之间有...

本质上确界和本质下确界的概念与上确界和下确界有关，但前者与测度论的关联性更大，其中通常要涉及不是处处都成立的命题，而是几乎处处，也就是说，除了在测度为零的集合以外。 设(X, Σ, μ)为测度空间，并设f : X → R为定义在X上的实函数，它并不一定是可测的。实数a称为f的上确界...

函数式编程，或称函数程序设计、泛函编程（英語：Functional programming），是一种编程范型，它将电脑运算视为函数运算，并且避免使用程式状态（英语：State (computer science)）以及可變物件。 在函数式编程中，函数是头等对象即头等函数，这意味着一个函数...

\Gamma \,} 函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果 n {\displaystyle n} 為正整數，則： Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} 根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上：...

极值定理强化了有界性定理，它表明函数不仅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。 我们来证明f 的上界和存在最大值。把这个结果应用于函数–f，也可推出f 的下界和存在最小值。 我们首先证明有界性定理，它是证明极值定理中的一个步骤。 假设函数f在区间[a,b]内連續且没有上界，那么对于每一个自然数n，都存在[a...

贝塞尔函数（Bessel functions），是数学上的一类特殊函数的总称。通常单说的贝塞尔函数指第一类贝塞尔函数（Bessel function of the first kind）。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数 y ( x ) {\displaystyle...

初等函数（基本函數）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数。 一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。 初等函数...

凸函数（英文：Convex function）是指函数图形上，任意兩點連成的線段，皆位於圖形的上方的实值函数，如單變數的二次函数和指数函数。二階可導的一元函數 f {\displaystyle f} 為凸，当且仅当其定義域為凸集，且函數的二階導數 f ″ {\displaystyle f''}...

\sigma (\tau _{Z})} 可測函數。 两个可测的实函数的和与积也是可测的。 可数个實可测函数的最小上界也是可测的。 可测函数的逐点极限是可测的。（连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件，例如一致收敛。） 卢辛定理 勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R，使得对于每一个实数a，集合...

雙曲函數示意圖 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是雙曲正弦函数 sinh {\displaystyle \sinh } 和雙曲餘弦函数 cosh {\displaystyle \cosh } ，从它们可以导出双曲正切函数 tanh {\displaystyle...

在数学中，以数学家格奥尔格·康托尔命名的康托尔函数，是一个一致连续，却不绝对连续的函数。 康托尔函数 c : [0,1] → [0,1] ，对于x∈[0,1]，其函数值c(x)可由以下步骤得到： 以三进制表示x。 如果x中有数字1，就将第一个1之后的所有数字换成0。 将所有数字2换成数字1。...

速降函数空间（Schwartz space）是数学中一类函数的总称，也称为施瓦茨空间，指的是当X值趋向于无穷大时，函数值f(X)趋近0的速度“足够快”的函数。速降函数空间的一个重要性质是傅里叶变换对于这个空间是一个自同构，也就是说，速降函数进行傅里叶变换之后仍然会是速降函数。这个性质使得可以对 S...

\Omega } 上的L2函数也是 Ω {\displaystyle \Omega } -局部可积的函数。 局部可积函数都是几乎处处有界的函数 ( X , d μ ) {\displaystyle (X,d\mu )} ，也可以类似地定义其上的局部可积函数。 复数值的函数 f {\displaystyle...

\arccos(k)} 互為同界角。 但是有例外，如正切和餘切，由於其週期不為360度，如正切函數的周期為180度（即 π {\displaystyle \pi } ），因此相同的函數值未必互為同界角。 同界角通常有無窮多個，因此在計算一些角度或三角函數抑或是一些週期函數的解時，會取最接近零的同界角。這類同界...

凹函数（英語：Concave function）是指下境圖（英语：Hypograph (mathematics)）为凸集的一类函数。 注意：中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。Concave...

在可计算性理论中，原始递归函数（英語：primitive recursive functions）对计算的完全的形式化而言是形成重要构造板块的一类函数。它们使用递归和复合作为中心运算来定义，并且是递归函数的严格的子集，它们完全是可计算函数。通过补充允许偏函数和介入无界查找运算可以定义出递归函数的更广泛的类。...

整函数（英語：Entire function）是在整个复平面上全纯的函数。典型的例子有多项式函数、指数函数、以及它们的和、积及复合函数。每一个整函数都可以表示为处处收敛的幂级数。而对数函数和平方根都不是整函数。 整函数 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 的阶可以用上极限定义如下：...

x^{2}+y^{2}-1=0} 確定的函數。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如 y = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle y=\cos(x)} 。 隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會給出定義良好的隱函數。 隐函数的一个常见类型是反函数。若 f {\displaystyle...