积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程，与微分方程相对。许多数学物理问题需通过积分方程或微分方程求解。 积分方程最基本的形式为第一类弗里德霍姆方程： f ( x ) = ∫ a b K ( x , t ) ϕ ( t ) d t , {\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x...

拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学、熱力學和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写电場、引力場和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。...

分式方程是指方程分母中至少含有一个未知数的方程。 整式方程与分式方程统称“有理方程”。 根式方程也称作“无理方程”，是指方程被开方式中至少含有一个未知数，而根指数不含未知数的方程。 有理方程与无理方程统称“代数方程”。 超越方程是指包含超越函數的方程，也叫做“非代数方程”。 函数方程是指其中包含未知函數的方程。 微分方程是指其中包含未知函數導數（或微分）的函数方程。...

在数学中，线积分（英語：Line integral）是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是被称为积分路径的特定曲线。 在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。當被積函數是純量函數時，积分的值是積分路径各点上的函数值乘上該點切向量的長度，在被积分函数是向量函数时，積分值是積分...

{d}}x\\&=\int h\ {\rm {d}}k+\int k\ {\rm {d}}h\\\end{aligned}}} 移项整理，得不定积分形式的分部积分方程 ∫ d h d x k   d x = h k − ∫ h d k d x   d x {\displaystyle \int {\frac...

Fredholm，1866年4月7日—1927年8月17日），瑞典数学家，积分方程理论的创始人之一。 弗雷德霍姆分两种情形处理积分方程得到的结果就是著名的弗雷德霍姆择一定理，该定理表明积分方程要么具有唯一解，要么相应的齐次积分方程具有非零解。著名数学家和数学史家迪尔多内称弗雷德霍姆的积分方程工作为泛函分析的四项奠基性工作之一，可见其对泛函分析建立的重要性。...

黎曼积分 达布积分 勒贝格积分 黎曼-斯蒂爾吉斯积分 數值積分 一种确定的实数值 本条目中主要介绍定积分，不定积分的介绍参见不定积分条目，无说明的情况下，下文中的“积分”一词均指“定积分”。 比如说，路径积分是多元函数的积分，积分区间不再是一条线段，而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。...

蛙跳积分法是一个二阶的方法因此通常要好于一阶的欧拉方法。不同于欧拉方法，它对振荡运动稳定，只要满足 Δ t < 1 / ω {\displaystyle \Delta t<1/\omega } . 蛙跳积分法的方程可写为： x i + 1 = x i + v...

廣義積分，又称为反常积分、异常积分（英語：Improper integral ），是对普通定积分的推廣。 广义积分可以分成兩類，第一類又稱為無窮積分，指積分區間的上限或下限為無窮的積分。第二類稱為瑕積分，指被積函數在積分區間中含有不連續點的積分。 第一類反常積分是無窮積分，指積分區間的上限或下限中含有無窮...

积分因子（英語：integrating factor）是一种用来解微分方程的方法。 考虑以下形式的微分方程： y ′ + a ( x ) y = b ( x ) . . . . . . ( 1 ) {\displaystyle y'+a(x)y=b(x)......(1)} 其中 y = y ( x...

n元函数f(x1, x2,…, xn)在定义域D上的多重积分通常用嵌套的积分号按照演算的逆序标识（最左边的积分号最后计算），后面跟着被积函数和正常次序的积分变量（最右边的变量最后使用）。积分域或者对每个积分变量在每个积分号下标识，或者用一个变量标在最右边的积分号下： ∫ … ∫ D f ( x 1 , x 2...

数学上，曲面积分，也称为面积分（英語：Surface integral），是在曲面上的定积分（曲面可以是空间中的弯曲子集）；它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面，可以在上面对标量场（也就是實数值的函数）进行积分，也可以对向量场（也就是向量值的函数）积分。 面积分在物理中有大量应用，特别是在电磁学的經典物理學中。...

{z}}}}=\phi (z,{\bar {z}})} 其中f=u+iv，φ=(α+iβ)/2。 若φ是Ck的，则在有界区域D中方程显式可解，只要φ在D的闭包上连续。实际上，按照柯西积分公式， f ( ζ , ζ ¯ ) = 1 2 π i ∬ D ϕ ( z , z ¯ ) d z ∧ d z ¯ z −...

在实分析中，由黎曼创立的黎曼积分（英語：Riemann integral）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。 讓函數 f {\displaystyle f} 為定義在區間 [ a , b ] {\displaystyle...

方程获得对化学结构的量子力学解释，也是量子化学计算方法第一次实际完成。在第一次成功之后，伴随着电脑技术的迅猛发展，HF方程与量子化学一道获得长足发展，在HF方程的基础上，人们发展出了高级量子化学计算方法，使得计算精度进一步提高，通过对HF方程电子积分...

u_{xx}+xu_{yy}=0.\,} 当x > 0时该方程为椭圆型，x = 0时为抛物线型，x < 0时则为双曲型。其特征线为 x d x 2 + d y 2 = 0 , {\displaystyle x\,dx^{2}+dy^{2}=0,\,} 积分后可得 y ± 2 3 x 3 / 2 = C ,...

复杂反应速率方程可能以更复杂的形式出现，包括含多项式的分母。 上述速率方程的一般形式是速率方程的微分形式，它可以从反应机理导出，而且能明显表示出浓度对反应速率的影响，便于进行理论分析。将它积分便得到速率方程的积分形式，即反应物／产物浓度 [ X ] {\displaystyle [X]} 与时间...

由于列表比较长，积分表被分为以下几个部分： 有理函数积分表 无理函数积分表 指数函数积分表 对数函数积分表 高斯函数积分表 三角函数积分表 反三角函数积分表 双曲函数积分表 反双曲函数积分表 ∫   ( a x + b ) n d x = ( a x + b ) n + 1 a ( n + 1 ) +...

數學及隨機微分方程中。伊藤微积分的中心概念是伊藤积分，是將傳統的黎曼－斯蒂爾傑斯積分延伸到隨機過程中，隨機過程一方面是一個隨機變數，而且也是一個不可微分的函數。 藉由伊藤积分，可以將一個隨機過程（被积分函数）對另一個隨機過程（積分變數）進行積分。積分變數一般會布朗运动。從 0 {\displaystyle...

波动方程或稱波方程（英語：wave equation）是一种二阶线性偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象—正如它们出现在经典物理学中—例如机械波，包括声波、光波、引力波、无线电波、水波、和地震波。波动方程抽象自声学、波动光学、电磁学、电动力学、流体力学、广义相对论等领域。...

在这种极限下也没有定义。 要求朗之万方程在这种情况下的解释，可参见条目伊藤积分。 经典力学有一个对一般朗之万方程的形式推导 。这个一般方程在临界动力学 和非平衡统计力学的其他领域扮演了核心角色。上述描述布朗运动的方程是一般朗之万方程的特殊情况。 一个推导一般朗之万方程...

{\displaystyle g} 在碰撞中守恒，所以最后一项为零。 令 g = m {\displaystyle g=m} ，即粒子质量，积分后的玻尔兹曼方程化为质量守恒方程： ∂ ∂ t ρ + ∂ ∂ x j ( ρ V j ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial...

方程则與時間無關，描述了定態量子系統的物理性質；該方程的解就是定態量子系統的波函數。量子事件發生的機率可以用波函數來計算，其機率幅的絕對值平方就是量子事件發生的機率密度。 薛定諤方程所屬的波動力學可以數學變換為維爾納·海森堡的矩陣力學，或理察·費曼的路徑積分表述。薛定諤方程是個非相對論性方程...

在数值分析中，數值積分（英語：Numerical integration）是计算定積分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定積分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的積分公式得到精确值。数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。...

{(k|z|)}} 待定系数C由边界条件给出。此为海伦(英語：Hallen)积分方程。利用矩量法可以求得两个方程的数值解。 对于截面为圆形，半径远小于工作波长的细空心天线，可以近似认为其上的电流成轴对称分布，可对角度变量进行积分，方程转化为： ∫ − L / 2 L / 2 I ( z ′ ) ( exp...

Roothaan方程是Hartree-Fock分子轨道模型的扩展，有时也称为Hartree-Fock-Roothaan方程或简称HFR方程。与它的原型HF方程不同，HFR方程中，会将分子轨道展开成一组基函数的线性组合，这组基函数可以是原子轨道，也可以是以原子为中心的数学函数，如Slater函数，G...

部分分式积分法，即通过将原函数拆分为部分分式来简化积分步骤，是计算积分时的一个常用技巧。任何有理函数都可拆分为多个多项式和部分分式的和，每个部分分式中的分子次数小于分母，然后根据积分表及利用其他积分技巧，将每个部分分式积分，就得到原函数的积分。 以下是一个简单的例子。计算 ∫ 10 x 2 + 12...

Enflo给出了一个反例。 紧算子理论的起源于积分方程理论，积分算子给出这样算子的具体例子。 典型的Fredholm积分方程给出函数空间上的紧算子K；紧性由等度连续性得出。利用有限秩算子近似是数值求解这种方程的基本方法。Fredholm算子的抽象概念也由此得出。 有界算子T:X→Y是紧的，当且仅当以下任一项为真...

在实分析或数学分析中，达布积分（英語：Darboux integral）是一种定义一个函数的积分的方法，它是通过达布和构造的。达布积分和黎曼积分是等价的，也就是说，一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的，并且积分的值相等。达布积分的定义比黎曼积分简单，并且更具操作性。达布积分的名字来自于数学家让·加斯东·达布。...

路徑積分表述也把量子現像和随機現像联系起來，為1970年代量子場論和概括二級相變附近序參數波動的統計場論統一奠下基礎。薛定諤方程式是虛擴散系數的擴散方程，而路徑積分表述是把所有可能的随機移動路徑加起來的方法的解析延拓。因此路徑積分表述在應用於量子力學前，已經應用在布朗運動和擴散問題上。...

{-y'}{y^{2}}}.} w ′ + 2 x w = x 2 {\displaystyle w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}} 它可以用积分因子的方法来解出。 M ( x ) = e 2 ∫ 1 x d x = x 2 . {\displaystyle M(x)=e^{2\int {\frac...