根據海涅-博雷尔定理，欧几里得空间的子集緊緻當且僅當它「閉集且有界」。 注意：某些作者如布尔巴基使用术语“预紧致”，并把“紧致”保留给是豪斯多夫空间并且“预紧致”的拓扑空间。一个单一的紧致集合有时称为紧统（compactum）。在法語的數學著作中，quasi-compact是指緊緻，compact是指緊緻且豪斯多夫，不同於英語。...

仿紧空间，数学中，仿紧空间是指一类拓扑空间，他们的每个开覆盖都有局部有限的（开）加细（精细化）。这类空间的概念于1944年由Dieudonné引入 。每个紧致空间都是仿紧的。每个仿紧的豪斯多夫空间都是正规的。一个豪斯多夫空间是仿紧的当且仅当其任意开覆盖都可以单位分解。仿紧空间有时也被要求为豪斯多夫的。...

拓撲學及數學的相近分支中，局部緊拓撲空間的每小塊，單獨看來，都很類似緊空間的一小塊。準確而言，其每點周圍都有一個緊鄰域。 數學分析尤其關注豪斯多夫的局部緊空間，常以「局部緊豪斯多夫」（英語：Locally Compact Hausdorff）的首字母簡稱為LCH空間。 設 X {\displaystyle X} 為拓撲空間。通常稱...

紧化，更一般的讨论见下。也可以增添两个点 +∞ 和 -∞ 将实数线紧化，得到扩展的实数轴。 拓扑空间 X 作为稠密子集嵌入一个紧空间称为 X 的一个紧化。将拓扑空间嵌入紧空间中经常有用，因为紧空间有一些特殊性质。 嵌入紧豪斯多夫空间可能特别让人感兴趣。因为每个紧豪斯多夫空间是一个吉洪诺夫空间...

的拓扑是任意紧覆盖的凝聚（在以上的意义上），那么它的拓扑就是所有紧致子空间的凝聚。 相似地，紧生成豪斯多夫空间 是紧生成的豪斯多夫空间。与许多紧致性条件类似，“紧生成空间”也经常代指紧生成豪斯多夫空间。 紧生成空间最初被称为k-空间，由德语kompakt 得名。胡列维茨最先研究了紧生成空间...

在数学中，紧致开拓扑是定义在两个拓扑空间之间的所有连续映射的集合上的一种拓扑。紧致开拓扑是函数空间上的常用拓扑之一，在同伦理论和泛函分析中有应用。 设 X、Y 为两个拓扑空间，令C(X, Y) 为所有从X 射到 Y 上的连续映射的集合。对于X 中的一个紧集K 和 Y 中的一个开集U，设V(K, U)...

在數學上, 若一個拓撲空間裏，每個無窮序列都有收斂子序列，則稱該拓撲空間序列緊（英語：sequentially compact）。 雖然對於度量空間，緊等價於序列緊，但是對於一般的拓撲空間來說，緊（英語：compact）和序列緊是兩個不等價的性質。 實數軸上的標準拓撲不是序列緊的，例如 (sn = n)...

在数学分支泛函分析中，一个紧算子(英語：Compact operator)是从巴拿赫空间X到另一个巴拿赫空间Y的线性算子L，使得在L的作用下X的任意有界子集的像集是Y的相对紧子集。这样的算子必然是有界算子，因此是连续的。 任意有限秩的有界算子L是紧算子；事实上，紧算子是有限秩算子在无限维情形下的自然推广。当Y是希尔伯特空间...

艾伦伯格–麦克莱恩空间 芬斯勒空间*第一可数空间 弗雷歇空间 几何空间 哈代空间 齐性空间 柯尔莫果洛夫空间 Lp空間 透镜空间 刘维尔空间 局部有限空间 闭路空间 洛伦兹空间 闵可夫斯基空间 仿紧空间 完美胚空间 平面空间 波兰空间 邻近空间 二次空间 商空间 商空间 (线性代数) 序列空间 谢尔宾斯基空间 索博列夫空间...

每个豪斯多夫空间的积是豪斯多夫的。 每个正则空间的积是正则的。 每个吉洪诺夫空间的积是吉洪诺夫空间。 正规空间的积不一定是正规的。 紧致性 每个紧致空间的积是紧致的（吉洪诺夫定理） 局部紧致空间的积不一定是局部紧致的。 连通性 每个连通（路径－连通）空间是连通的（路径－连通的）。 每个遗传性不连通空间的积是遗传性不连通的。...

中的一个紧集，此函数被称为是紧支撑於空间 X {\displaystyle X} 的。例如，若 X {\displaystyle X} 是实数轴，那么所有在无穷远处消失的函数都是紧支撑的。事实上，这是函数必须在有界集外为 0 {\displaystyle 0} 的一个特例。在好的情形下，紧...

所有度量空间(因此所有可度量空间)是完美正规豪斯多夫空间； 所有伪度量空间(因此所有可伪度量空间)是完美正规正则空间，尽管一般不是豪斯多夫空间； 所有紧致豪斯多夫空间是正规空间； 特别是，吉洪诺夫空间的斯通-切赫緊化是正规豪斯多夫空间； 推广上述例子，所有仿紧致豪斯多夫空间是正规的，而所有仿紧致正则空间是正规的； 所有仿紧...

X/~是一个T1空间当且仅当~的任何等价类在X中闭。 如果商映射开则X/~是一个豪斯多夫空间当且仅当~是乘积空间X×X的一个子集。 连通性 如果一个空间是连通的或道路连通，则所有的商空间也是。 一个单连通或可缩空间的商空间不必具有同样的性质。 紧性 如果一个空间紧，则所有商空间也是。 一个局部紧空间的商空间不必是局部紧的。...

紧致性定理是符号逻辑和模型论中的基本事实，它断言一阶句子的（可能无限的）集合是可满足的（就是说有一个模型），当且仅当它的所有有限子集是可满足的。 命题演算的紧致性定理是吉洪诺夫定理（它声称紧致空间的积是紧致的）应用于紧致Stone空间的结果。 从这个定理可以得出，如果某个一阶句子对于特征值为零的所...

(Y-X)} 的度量空间。 度量空間是個仿緊緻豪斯多夫空間，因此是個正規空間（且實際上是個完美正規空間）。度量空間也是個第一可數空間，因為可使用具有理數半徑的球作為該空間的基。 依據提策擴展定理，每個度量空間都能具有單位分解，且每個定義於度量空間的閉子集上之連續實數值函數均能擴展成整個空間...

Heyting代数都是某个拓扑空间的开集的代数，但是这个空间不需要是预正则的，更少见豪斯多夫空间。 豪斯多夫空间的子空间和乘积是豪斯多夫空间，但是豪斯多夫空间的商空间不必须是豪斯多夫空间。事实上，所有拓扑空间都可以实现为某个豪斯多夫空间的商。 豪斯多夫空间是T1空间，这意味着所有单元素集合是闭集。类似的，预正则空间是 R0空间。...

数学中，一个拓扑群 G 的极大紧子群 K 是一个在子空间拓扑下是紧空间的子群，且是这些子群中的极大元。 一个一般李群不一定有极大紧子群，但半单李群却一定存在，而且他们在理论中有重要地位。极大紧子群一般不是惟一的，但在相差一个共轭的意义下是惟一的——他们是本质惟一的。 一个好例子是正交群 O(2)，是一般线性群...

但是X是正则空间、完全正则空间、正规空间和完全正规空间；尽管是在非常空洞意义上，因为仅有的闭集是∅和X。 X是紧致空间因此是仿紧致空间、林德勒夫空间和局部紧致空间。 所有定义域是拓扑空间而陪域是X的函数都是连续函数。 X是道路连通并因此是连通空间。 X是第一可数空间、第二可数空间和可分离空间。 所有X的子空间都有密着拓扑。...

Lindelöf 空間是每個開覆盖都有可數子覆蓋的拓撲空間。注意緊空間的定義為每個開覆蓋都有有限子覆蓋，因此林德勒夫空間可以視為緊空間的推廣。如果一個拓樸空間的所有子空間都是 Lindelöf 空間，那麼這個拓樸空間我們稱之為可傳 Lindelöf 空間 (Hereditarily Lindelöf...

即它们诱导出相同的拓扑结构（尽管由它们各自定义的度量空间并不相同）。由于欧几里得空间是完备的，我们可以推出每个有限维的赋范向量空间都是巴拿赫空间。实际上对自然拓扑来说，任意有限维的赋范向量空间都同胚于欧几里得空间Rn。 一个赋范向量空间被称为局部紧致的，如果单位球 B = x   |   ‖ x ‖...

所有离散拓扑空间都满足分离公理；特别地，所有离散空间都是豪斯多夫空间。 离散空间是紧致空间，当且仅当它是有限的。 所有离散一致空间或度量空间都是完备空间。 组合上两个性质，所有离散一致空间或度量空间都是全有界的，当且仅当它是有限的。 所有离散度量空间都有界。 所有离散空间都是第一可数空间，并且离散空间是第二可数空间当且仅当它是可数的。...

的拓扑由可数集决定，决定方式与收敛序列决定序列空间或Fréchet空间拓扑的方式相同，则称拓扑空间X 是可数生成的（countably generated）。 可数生成空间准确地说是具有可数胎紧性的空间，因此也可以形容为可数胎紧的。 若无论何时对於X 中的每一可数子空间U 都有集合 V ∩ U {\displaystyle...

空间是完备的。该空间同胚于离散空间S的可数个副本的积。 任一紧致度量空间都是完备的。实际上，一个度量空间是紧致的当且仅当该空间是完备且完全有界的。 完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集。 若X为一集合，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的有界函数f的集合B(X...

列紧 X称为可数紧的，当且仅当其任意点列都包含收敛子列。 伪紧 X称为伪紧的，当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。 可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。...

空间。例如，实直线是在标准欧几里德拓扑下的吉洪诺夫空间。其他例子包括: 所有度量空间是吉洪诺夫空间；所有伪度量空间是完全正则空间。 所有局部紧致正则空间是完全正则的，因此所有局部紧致豪斯多夫空间是吉洪诺夫空间。 特别是，所有拓扑流形是吉洪诺夫空间。 所有全序集合带有序拓扑是吉洪诺夫空间。 所有拓扑群是完全正则空间。...

假設Mt0是t0郝斯多夫維數的紧空间且是互相嵌入的緊空間元素並令參數t為零到無限（0 < t < ∞）。若緊空間中構成這些元素都是t ≥ t0時，這個尺度就能視為與Mt0等價。這時就可以說紧空间Mt0是這個尺度等價集合的洞，而−t0是對應的等價類的負數維度。 1940年代時，拓撲結構科學已有相當程度的發展，對於正維度拓樸空間...

在数学中，阿尔泽拉-阿斯科利定理是泛函分析中的一个定理，给出了从紧致度量空间射到度量空间的函数集合在一致收敛的拓扑意义上是紧集的一個充分必要条件。其中主要涉及的条件是函数集的等度连续性质。 等度连续的概念大约是在十九世纪的八十年代由两位意大利数学家朱利奥·阿斯科利（於1883年－1884年）...

的域之上。許多在數學分析中學到的無限維函數空間都是巴拿赫空間，包括由連續函數（緊緻赫斯多夫空間上的連續函數）組成的空間、由勒貝格可積函數組成的Lp空間及由全純函數組成的哈代空間。上述空間是拓撲向量空間中最常見的類型，這些空間的拓撲都自來其範數。 巴拿赫空間是以波蘭數學家斯特凡·巴拿赫的名字來命名，...

在希尔伯特空间H可分的情况下该猜想相对比较容易证明（也即，如果它又一个不可数正交基。 谱定理表明所有正则算子有不变子空间。 每个紧算子有不变子空间，由Aronszajn和Smith于1954年证明。紧算子理论在很多方面和有限维空间算子理论相类似，所以该结果并不令人惊讶。...

数学中，构型空间（configuration space）是与物理学中的状态空间或相空间密切相关的构造，后者将整个系统的状态描述为高维空间的单点。数学中，这用于描述点集在拓扑空间中的位置分布；更具体地，数学构型空间是几个非碰撞粒子的物理位形空间的特殊例子。 对拓扑空间X和正整数n，令 X n {\displaystyle...

反过来说，一致空间称为完备的，如果所有柯西滤子收敛。任何紧致豪斯多夫空间都是关于兼容于这个拓扑的一致结构的完备一致空间。 完备一致空间享有如下重要性质：如果 f: A → Y 是从一致空间 X 的稠密子集 A 到完备一致空间 Y 的一致连续函数，则 f 可以扩张（唯一的）成在整体...