在数论中，线性同余方程是最基本的同余方程，“线性”表示方程的未知数次数是一次，即形如： a x ≡ b   ( mod n )         ( 1 ) {\displaystyle ax\equiv b\ {\pmod {n}}\ \ \ \ (1)} 的方程。此方程有解当且仅当 b {\displaystyle...

\qquad \vdots \\a_{n}x\equiv b_{n}{\pmod {m_{n}}}\\\end{cases}}} 先求解每一个线性同余方程，再用中国剩余定理解方程组。 x 2 ≡ d ( mod p ) {\displaystyle x^{2}\equiv d{\pmod {p}}}...

線性映射（英語：linear map）是向量空間之間，保持向量加法和純量乘法的函數。線性映射也是向量空間作為模的同態。 線性算子（英語：linear operator）與線性轉換（英語：linear transformation）是與線性映射相關的慣用名詞，但其實際意義存在許多分歧，詳見相關名詞一節。...

线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。该定理在中国古代也被称为「韓信點兵」、「求一术」（宋 沈括）、「鬼谷算」（宋 周密）、「隔墻算」（宋 周密）、「剪管術」（宋 杨辉）、「秦王暗點兵」、「物不知數」等。 一元线性同余方程...

在線性代數中，線性泛函（英語：linear form）是指由向量空間到對應純量域的線性映射。在 ℝn中，向量空間的向量以行向量表示；線性泛函則會以列向量表示，在向量上的作用則為它們的矩陣積。一般地，如果 V {\displaystyle V} 是域 k {\displaystyle k} 上的向量空間，線性泛函...

分式方程是指方程分母中至少含有一个未知数的方程。 整式方程与分式方程统称“有理方程”。 根式方程也称作“无理方程”，是指方程被开方式中至少含有一个未知数，而根指数不含未知数的方程。 有理方程与无理方程统称“代数方程”。 超越方程是指包含超越函數的方程，也叫做“非代数方程”。 函数方程是指其中包含未知函數的方程。 微分方程是指其中包含未知函數導數（或微分）的函数方程。...

在数学中，向量空间F中线性映射X→Y的余核（cokernel，也作上核）是F的陪域关于F的像的商空间，即Y/Im(F)。上核的维数称为F的余秩（corank）。 范畴论中，余核与核是对偶的，因而得名。核是域的子对象（核映射到域），而余核是上域的商对象（上核由上域映射到）。 直观地，要求解方程f(x)=y，余核表示使方程...

circle） Stern-Brocot tree（英语：Stern-Brocot tree） 古埃及分數 Engel展開式 蒙哥马利算法 模幂 线性同余方程 逐次代換法（英语：Method of successive substitution） 中國剩餘定理 費馬小定理 費馬小定理的證明 欧拉函数 非互補歐拉商數...

方程组可以很自然地表示为矩阵和向量的形式。 线性代数既是纯数学也是应用数学的核心。例如，放宽向量空间的公理就产生抽象代数，也就出现若干推广。泛函分析研究无穷维情形的向量空间理论。线性代数与微积分结合，使得微分方程线性系统的求解更加便利。线性代数的理论已被泛化为算子理论。 线性...

{\displaystyle T_{q}^{*}Q} （组态空间中的点q上的余切空间）上的余度量。该哈密顿量完全由动能项组成。 若考虑一个黎曼流形或一个伪黎曼流形，使得存在一个可逆，非退化的度量，则该余度量可以简单的由该度量的逆给出。哈密顿-雅可比方程的解就是流形上的测地线。特别的有，这个情况下的哈密顿流就是测地...

所张成的线性空间里面的投影的问题。未知数的个数如果是一般的n个的话，可以想象每个方程代表了n维空间里面的一个超平面。而方程组的解就是所有超平面的公共点。 齐次的线性方程组是指向量 b = 0 {\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {0} } 的情况。这时候方程变成：...

加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。 一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。 对于齐次线性微分方程，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程： f ″ + 4 x f ′ + cos ⁡ (...

是矩阵，它的零空间就是所有向量的空间的线性子空间。这个线性子空间的维度叫做 A 的零化度(nullity)。这可以计算为在矩阵 A 的行阶梯形矩阵中不包含支点的纵列数。秩-零化度定理声称任何矩阵的秩加上它的零化度等于这个矩阵的纵列数。 对应于零奇异值的 A 的右奇异向量形成了 A 的零空间的基。 A 的零空间可以用来找到和表达方程 Ax...

解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则该方程组有解。在这种情况下，如果它的秩等于方程的数目那么该方程组有唯一的一个精确解。如果增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，则方程组是不一致（Inconsistent）的。 在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的，或可观察的。 证明: 对不等式...

，并对所谓的高斯整数进行了研究，得到了代数数论的一些基本成果。 第一部分：同余概论。建立了到今天仍在使用的同余的概念和记号。 第二部分：主要研究线性同余方程，给出了算术基本定理、辗转相除法、中国剩余定理等初等数论的基本结果。 第三部分：“幂剩余论”。讨论了费马小定理、原根的存在性和威尔逊定理。...

在数学上，特别是线性代数中，对于一个给定的方阵 A {\displaystyle A} ，它的特征向量（eigenvector，也譯固有向量、本征向量） v {\displaystyle v} 经过这个线性变换之后，得到的新向量仍然与原来的 v {\displaystyle v} 保持在同一條直線上，但其长度或方向也许會改变。即...

广泛认为是自由边界研究的开创性工作之一。此外，他还对拟线性蜕化椭圆和抛物型方程的理论作出了贡献。 自1975年开始，姜礼尚专注于有限元法的研究，并与合作者研究了四阶椭圆型方程的变分算法。独立提出了混合有限元方法，成功地利用线性元给出了双调和方程Dirichlet问题新的计算格式，并证明了收敛性。此...

f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right]} 。 哈密顿-雅可比运动方程有一个使用泊松括号的等价表示。这可最直接地用坐标系表示。假设 f ( p , q , t ) {\displaystyle f(p,q,t)} 是流形上一个函数，则我们有...

如果把矩阵A当作从Rn到Rm的线性变换，则矩阵的列空间等于这个线性变换的像，一种对向量x（原像）的运算、坐标变换。行空间则是从Rm到Rn的线性变换。 以行空间为例，设A为一n阶可逆方阵，给定一个线性方程组Ax=b，则该方程可理解为一种坐标变换： 某个n维向量在某个坐标系下（实际是以A的列向量的最大线性...

同痕与辛同痕的概念重合。 测地线的方程可以表述为一个哈密顿流（英语：Geodesics as Hamiltonian flows）。 从一个流形到自身的辛同胚组成一个无限维伪群。相应的李代数由辛向量空间组成。哈密顿辛同胚形成一个子群，它的李代数由哈密顿向量场给出。后者同构于光滑函数关于流形上泊松括号的李代数模去常数。...

方程解上的雅可比行列式可能从非零变为零。雅可比行列式为零的点称为临界点或分支点，是方程的解改变性质的地方。和线性方程组类似，当雅可比行列式的值为零时，方程组会出现局部多值的情况。寻找分支点和分支方向的研究是非线性方程求解的一大问题。 数学主题 多重线性映射 矩阵论 伴随矩阵 结式 子式和余子式...

形成一系列新的粒子。这种碰撞可以解释为结果粒子状态和入射粒子状态线性组合的标量积。其中的线性组合可以表达为一个矩阵，称为S矩阵，其中记录了所有可能的粒子间相互作用。 矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运...

3x^{2}+0x+7} 。 多项式方程是指多项式函数构成的方程。给定多项式 P = a 0 + a 1 X + ⋯ + a n X n {\displaystyle P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}} ，则对应的多项式函数可以构造方程： f P ( x ) = a 0...

可逆上（下）三角矩阵的集合构成了一个群。它是一般线性群的一个子群。2×2的上（下）三角矩阵构成的群同构与系数域的加法群。当系数域是复数时，就成为了抛物线型莫比乌斯变换。3×3的上三角矩阵构成了海森堡群。 上三角阵代数在泛函分析中有一个自然的推广，即无穷维希尔伯特空间上的套代数。 矩阵方程 L x = b {\displaystyle...

因爲仿射密碼仍爲單字母表密碼, 其依舊保留了該類別加密之弱處。當 a = 1 {\displaystyle a=1} ，仿射加密為 凱撒密碼 ，因該加密方程可簡化為線性移動。 考慮加密英文。(即： m = 26 {\displaystyle m=26} )，不計26易凱薩密碼，總共有286非易仿射密碼。此數值...

也被称为最小二乘平差。依据经典测量平差求得的估计值是测量对象的最优线性无偏估计。 平差的函数模型是描述观测量与未知量之间的数学关系的模型。这些数学关系即可是几何关系，也可是物理关系。例如，大地测量中的测量控制网和摄影测量中的共线方程描述的是几何关系，而在重力测量、卫星定轨或是形变监测中使用的模型描...

(M,ω) 是一个辛流形。因为辛形式 ω 非退化，诱导了切丛 T M {\displaystyle TM} 与余切丛 T ∗ M {\displaystyle T^{*}M} 的一个线性同构 ω : T M → T ∗ M {\displaystyle \omega :TM\to T^{*}M} 以及逆...

同于夸张的曲线。然而，阿波罗尼奥斯的工作接近于解析几何，但他没能完成它，因为他没有将负数纳入系统当中。在此，方程是由曲线来确定的，而曲线不是由方程得出的。坐标、变量、方程不过是一些给定几何题的脚注罢了。 十一世纪波斯帝国数学家欧玛尔·海亚姆发现了几何与代数之间的密切联系，在求三次方程...

定义在域k上的有限维酉结合代数A若有非退化双线性形式σ : A × A → k，满足方程σ(a·b, c) = σ(a, b·c)，则称作弗罗贝尼乌斯代数。这一双线性形式被称作代数的弗罗贝尼乌斯形式。 等价地，我们可以给A加上线性泛函λ : A → k，使λ的核不包含A的非零左理想。 若σ是对称双线性形式，或等价地，λ满足λ(a·b)...

{\displaystyle P(x)} 的一个根、余式必定为零。 相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知 r {\displaystyle r} 和 s {\displaystyle s} 这两个，那么可以先从 P ( x ) {\displaystyle P(x)} 中除掉线性因子 x − r {\displaystyle...

來近似導數，並配合一些代數處理（等號兩側同乘以h，再加上u(x)），可得 u ( x + h ) = u ( x ) + h ( 3 u ( x ) + 2 ) . {\displaystyle u(x+h)=u(x)+h(3u(x)+2).\,} 最後的方程式即為有限差分方程，求解此方程則可得到原方程的近似解。...