1]中）。这就是所谓概率测度。见概率论公理。 其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。 外测度（Outer measure） 幾乎處處（Almost everywhere） 勒贝格测度（Lebesgue measure） 勒貝格積分...

王虹（1991年—），广西桂林人，是一位中國数学家， 其研究領域涉及傅立葉分析、幾何測度論（英语：Geometric measure theory）及相關問題。她以2022年獲頒「瑪麗安·米爾札哈尼新前沿獎（英语：Breakthrough_Prize_in_Mathematics#Maryam_M...

測度論裡可以用来定义所谓的“可测集合”，是测度论的基础概念之一。 σ-代数的概念大约起始于1900~1930年，它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数（得名于法国数学家埃米·波莱尔），以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度...

0\leq t\leq 1.} 延森不等式可以用測度論或概率論的語言給出。這兩種方式都表明同一個很一般的結果。 假設 μ {\displaystyle \mu } 是集合 Ω {\displaystyle \Omega } 的正測度，使得 μ ( Ω ) = 1 {\displaystyle...

{\displaystyle \varphi } 相對於某拉東測度的勒贝格积分。 當講到「狄拉克δ函數」時，一般指的是分佈，而不是測度。因此一些文獻也會稱之為「狄拉克δ分佈」。測度論中相對應的概念則稱為狄拉克測度。 在n維歐幾里得空間Rn中，狄拉克δ函數可以定義為一個測度，使得對於所有緊支撐連續函數f，滿足 ∫ R...

數學的測度論中，拉東（Radon）測度，是在豪斯多夫空間上的博雷爾測度，且具有局部有限及內部正則性質。 設m是豪斯多夫空間X的博雷爾集的σ-代數上的測度。m稱為 內部正則，若對任何博雷爾集B，其測度m(B)等於B的所有緊緻子集K的測度m(K)的最小上界； 外部正則，若對任何博雷爾集B，其測度...

theorem）的這兩個基本結果等價；此外這公理對無限群的研究有巨大的影響，也對環論與序理論的研究造成影響（見布爾素理想定理）；然而就幾何測度論（英语：Geometric measure theory）、位勢論、傅立葉級數和傅立葉變換而言，決定公理及依賴選擇公理的加總是足夠的，而在決定公理及依賴...

在测度论中，勒贝格测度（Lebesgue measure）是欧几里得空间上的标准测度。对维数为1，2，3的情况，勒贝格测度就是通常的长度、面积、体积。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予勒贝格测度的集合称为勒贝格可测集；勒贝格可测集 A 的测度记作 λ (A) 。一般來說，我們允許一个集合的勒贝格测度为...

測度（Borel measure）是σ代數上對區間[a, b]給出值b-a的測度。 博雷爾測度並不完備，因此習慣使用勒貝格測度：每個博雷爾可測集都是勒貝格可測的，並且它們的測度值吻合。 在抽象測度理論中，設E為局部緊豪斯多夫空间。E上的一個博雷爾測度是 E的博雷爾代數 B (...

在實數範圍內有理數和無理數都有無窮多個，兩者似乎是「同樣多」的。但從高等數學裏的「測度論」的角度來理解的話，無理數的測度要大於有理數的測度，所以無理數要比有理數「多一些」。如：根據測度論，在閉區間[0,1]內，有理數的測度為0，而無理數的測度為1。所以，在閉區間[0,1]內，無理數的個數要「遠多於」有理數的個數。...

若尔当测度（英語：Jordan measure）是面積測度方式，數學家卡米尔·若尔当所提出。设E是 R n {\displaystyle R^{n}} 中的一个有界集，而f是在E上取值为1的函数，如果f在E上可积，则称E为Jordan可测的（可求体积的）。并且记 ∫ E 1 d x = μ ( E )...

测度空间是测度论的基本概念，可以看做是面積概念的推廣，由一个基本的集合 X {\displaystyle X} 以及基于这集合的某些子集合所构成的一個新的集合 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} ，這新集合會滿足 σ-代数的性質，直覺的講，對 A {\displaystyle...

在數學中，極性集是位勢論裡的一個重要概念，地位有比零測度集之於測度論，極性集合在位勢論中也代表一類特別「小」的集合，通常可以忽略不計。 R n ( n ≥ 2 ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(n\geq 2)} 裡的極性集可以如下定義： E {\displaystyle...

测度收敛是测度论中的一个概念： 假设可测空间上有一个有趣却很难直接构造的测度μ，我们希望能找到一列相对容易构造或分析的测度 μ n {\displaystyle \mu _{n}} ，随着 n {\displaystyle n} 的增大， μ n {\displaystyle \mu _{n}} 的性质与...

∞ {\displaystyle \int _{A\times B}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty } ， 其中A和B都是σ-有限测度空间， A × B {\displaystyle A\times B} 是 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle...

σ-有限测度是测度论中的一个概念。對测度空间 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )} 來說，若测度 μ {\displaystyle \mu } 其對任意 A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } 的取值 μ (...

在測度論裡，若說一個性質為幾乎處處成立，即表示不符合此性質的元素組成的集合為一零測集，即其測度等於零的集合。當使用在實數的性質上時，若沒有另外提起則假定為勒貝格測度。 一個有全測度的集合是一個其補集為零測度的集合。 除了說一個性質幾乎處處成立之外，偶爾亦可以說一個性質是對幾乎所有元素成立的，即使幾乎所有這一詞有著其他的意義。...

在测度论中，内测度是定义在某个给定的集合的幂集上的一个函数，满足一些限制。内测度可以直观地理解为一个集合大小的下界。 内测度是一个对某个集合X的所有子集有定义的一个函数 φ : 2 X → [ 0 , ∞ ] , {\displaystyle \varphi :2^{X}\rightarrow [0...

数学分析中，哈尔测度（Haar measure）是赋予局域紧致拓扑群一个“不变体积”并从而定义那些群上的函数的一个积分的一种方法。 这个测度由匈牙利数学家哈爾·阿爾弗雷德于1933年发明 。哈尔测度用于数学分析，数论，群论，表示论，估计理论和遍历理论的很多方面。 对于一个局域紧致豪斯多夫拓扑群（G...

可测空间（英語：measurable space）是测度论的基本概念，由一个集合和基于这个集合定义的σ代数构成。 可测空间与测度空间的区别在于，测度空间包含了定義在σ代数上的测度，而可测空间不包含测度。 定義 — 若 Σ X {\displaystyle \Sigma _{X}} 是集合 X {\displaystyle...

數學中，調和測度是調和函數理論中出現的一個概念。给定了一个解析函数的模在一个区域 D 边界上的界，能用调和测度去估计函数在区域内部的模。在一个非常相关的领域，一个伊藤扩散 X 的调和测度描绘了 X 撞击 D 边界的分布。 设 D 是 n-维欧几里得空间中一个有界开区域，n ≥ 2，记 ∂D 为 D...

維納空間是測度理論中的空間，在無限維度的向量空間中用來建立局部有限的正值測度。它是美国数学家諾伯特·維納在1923年研究抽象布朗运动时首先引进的。这牵涉到对维纳测度和积分，预期平移(非随机平移)，随机平移的介绍。 設定 H {\displaystyle H} 為可分離的希爾伯特空間， E {\displaystyle...

1]区间射到实数上的连续函数空间C([0, 1]; R)中，处处不可导的函数的集合是稠密的（关于一致范数的拓扑）。 在测度论意义上：在配备了经典维纳测度γ的连续函数空间C([0, 1]; R)中，至少有一处可导的函数所构成的集合的测度是0，也就是说和处处不可导的函数相比是可以“忽略”的。 B.R. Gelbaum、J.M.H...

integral）的概念。 测度论的目的是为各种不规则物体的长度、面积、体积等概念建立严格化的理论基础，并将其推广到比欧几里德空间更抽象的空间中。20世纪初，有关测度论的研究发展迅速，但各种特定的测度理论都存在一些不够尽善尽美的地方。从若尔当测度到勒贝格测度，新出现的测度论...

可测函数和对这些函数积分的理论 最初测度理论是用来对欧几里得空间中直线的长度，以及更广义地，欧几里得空间的子集的面积和体积进行仔细分析发展出来的。它尤其可以为 R {\displaystyle R} 的哪些子集拥有长度这个问题提供一个系统性的回答。后来发展的集合论证明，实际上不可能为 R {\displaystyle...

Kunen，1943年8月2日—2020年8月14日），美国數學家，威斯康辛大學麥迪遜分校名譽教授，研究領域為集合論和其在各數學領域（如集合論拓撲學和測度論）中的應用。丘嫩也研究非結合代數系統（如擬群），且使用Otter之類的電腦軟體來推導定理。 本科就读于加州理工學院，1968年获史丹佛大學哲學博士...

{\displaystyle {\mathfrak {c}}} 的實值可測基數存在當且僅當勒貝格測度具有擴展到任意實數集的可列可加擴展，亦當且僅當某個非空集的冪集上，存在一個無原子 (測度論)（英语：atom (measure theory)）的概率測度。 Solovay (1971) 證明了 ZFC 中可測基數的存在性，ZFC...

在概率论中，随机测度是测度值的随机元素。 随机测度可应用于随机过程理论中，随机测度形成了许多重要的点过程，例如泊松点过程和考克斯过程（英语：Cox process）。 随机测度可以定义为转移核或随机元素。对于一些标准情况（其中的具体要求如可测空间是博雷尔空间），这两种定义是等价的。 对于可测空间 (...

数学中，给出可测空间和其上的测度，可以获得积可测空间和其上的积测度。概念上近似于集合的笛卡儿积和两个拓扑空间的积拓扑。 设 ( X 1 , Σ 1 ) {\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})} 和 ( X 2 , Σ 2 ) {\displaystyle (X_{2}...

分。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。 对积分概念的推广来自于物理学的需要，并体现在许多重要的物理定律中，尤其是电动力学。现代的积分概念基于测度论，主要是由昂利·勒貝格建立的勒贝格积分。 积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发...

因此我们就可能要猜想，有理数集就是没有质量的。 解决方法是使用测度论。在这个背景下，勒贝格测度把质量b − a分配于区间[a, b]，而把质量0分配于有理数集。任何一个有确定质量的集合都称为“可测”的。从勒贝格测度的构造（例如，使用外测度），仍然不能明显看出有没有不可测的集合。 如果x和y是两个实数，且x...