在數學中，經常通过定義已知對象的直積（direct product）來給出新對象。常见的直积有：集合的直積，群的直積，環的乘積和其他代數結構的直積。拓撲空間的直積是另一個例子。 如果我們認 R {\displaystyle \mathbb {R} } 為實數的集合，則直積 R × R {\displaystyle...

在數學中，特別抽象代數裏的群論中，半直積（英語：semidirect product）是從其中一個是正規子群的兩個子群形成一個群的特定方法。半直積是直積的推廣。半直積是作為集合的笛卡爾積，但帶有特定的乘法運算。 令 G {\displaystyle G} 为群， N {\displaystyle N}...

2\right\}\times \left\{3,4\right\}=\left\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\right\}} …和…的直積 集合論 向量積 u × v {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}} 表示向量 u...

在数学中，两个集合 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 的笛卡儿积（英語：Cartesian product），又称直积，在集合论中表示为 X × Y {\displaystyle \,X\times Y} ，是所有可能的有序对組成的集合，其中有序對的第一个对象是...

注意類似於直積，這里的每個 g 可以唯一的表達為 g = (h1,h2, ..., hi, ..., hn)。 因為 hi * hj = hj * hi 對於所有 i ≠ j，可推出在直和中的元素的乘積同構於對應的在直積中的元素的乘積；因此對於子群的有限集合，∑Hi 同構於直積 ×{Hi}。 直和對於群不是唯一的；例如在克萊因四元群...

范畴论中，积（或直积）的概念提取了集合的笛卡儿积、群的积、环的积、拓扑空间的积等概念的共性。本质上讲，一组对象的积是到这些对象都有态射的对象中最具代表性的。 给定范畴C。C中一对象集{Xi | i ∈ I}的积为满足下面泛性质的偶(X, (πi))，其中X为一对象，πi : X → Xi（i ∈...

积为1。 各种代数结构中的对象可以通过定义不同的二元运算得到不同的积。比如说，平面向量可以定义点积，三维向量可以定义叉积和混合积。常见的积还包括： 向量空间中两个向量的内积 矩阵集合中矩阵的乘积 矩阵的阿达马乘积 矩阵的克罗内克乘积 张量的外积 张量的张量积 两个函数的...

在群論中，圈積( wreath product)是一個基於半直積專門應用於兩個群的乘積。圈積專門應用於置換群的歸類，並提供一些方法建構有趣的例子。 給定兩個群A和H ，則存在兩種圈積的變化: 未限制圈積( unrestricted wreath product )A Wr H(也叫做 A ≀ H)，以及限制圈積...

f(x_{1})<f(x_{2})} 的全序集。 有序数的全序集的直积的字典序是全序的，例如按字典序排序的任何单词表——长为 n {\displaystyle n} 的单词可视为字母表集合的直积自乘 n {\displaystyle n} 次所得结果集合中的元素。 拥有小于（ < {\displaystyle...

函数（英語：function）是數學描述對應關係的一種特殊集合；粗略地說，從集合 X {\displaystyle X} 到集合 Y {\displaystyle Y} 的函數將 Y {\displaystyle Y} 的一個元素恰好分配給 X {\displaystyle X} 的每個元素。集合 X {\displaystyle...

{\displaystyle G} 可以從 G / N {\displaystyle G/N} 和 N {\displaystyle N} 重構為一個直積或半直積。判定何時成立的問題叫做擴張問題。不成立的一個例子如下。 Z 4 / { 0 , 2 } {\displaystyle \mathbb {Z} _{4}/\{0...

群範疇是完全範疇（英语：Complete category），也同時是餘完全範疇（英语：Cocomplete category）。其範疇─理論積即是群的直積；而其餘積（英语：Coproduct）則是群的自由積。這個範疇的零對象則是當然群，也就是只包含單位元的群。 阿貝爾群範疇Ab是群範疇的完全子範疇。Ab是一個交換範疇，但群範疇...

在拓扑学的相关领域中，积空间是指一族拓扑空间的笛卡儿积與其配备的自然拓扑结构，這個自然拓扑结构被稱為积拓扑（英語：Product topology）。 直觀動機上，一族拓扑空间笛卡儿积，最「自然」的拓撲，應該是使投影映射都是連續函數的最粗拓撲；換句話說，設有集合族 X {\displaystyle {\mathcal...

集合啦！動物森友會》成功塑造了一個活生生的世界。在日本，遊戲發售3天共售出超過188萬套。发售仅6周后游戏的全球销量已经达到1341万份，超过前作《来吧！动物森友会》累積8年的总销量。 並於2020年日本遊戲大獎中獲得年度作品部門大獎，其開發團隊獲得日本經濟產業大臣獎。 《集合...

是不相交的，則自由積 G * H 有展示 <S,T|R,Q>。 如果 G 有展示 <S|R> 而 H 有展示 <T|Q>，并有著 S 和 T 是不相交的，則 G 和 H 的直積有展示 <S,T|R,Q, [S,T]>。這里 [S,T] 意味著來自 S 的所有元素與來自 T 的所有元素的交換子集合。 凱萊圖...

函子本身亦可視為函子範疇中的對象，該範疇中的態射是函子間的自然變換。近來有以「函子的態射」取代術語「自然變換」的趨勢。 函子也經常以泛性質定義，例子包括了張量積，模或群的直和、直積，自由群與自由模的構造；許多構造可以統合於正極限與逆極限的概念下。 泛建構也往往給出一對伴隨函子。 本質滿射函子：使得值域中任意對象皆同構於某個...

在數學中，n 次一般線性群是 n×n 可逆矩陣的集合，和與之一起的普通矩陣乘法運算。這形成了一個群，因為兩個可逆矩陣的乘積也是可逆矩陣，而可逆矩陣的逆元還是可逆矩陣。叫這個名字是因為可逆矩陣的縱列是線性無關的，因此它們定義的向量／點是在一般線性位置上的，而在一般線性群中的矩陣把在一般線性位置上的點變換成在一般線性位置上的點。...

的行构成基，相反地，整格的每个基都可表示为这种形式。 每个集合都可以说一个自由阿贝尔群的基，在群同构的意义下是唯一的。给定基集的自由阿贝尔群可通过几种等价手段构造得来：整数份基元素的直和；整值函数族；有符多重集；或是通过群的展示。 群的直积包含积中各组元素形成的数组，以及逐指数加法。两个自由阿贝尔群的直积...

在此一章節中將不提及圓群的拓撲結構，而只專注於其代數結構。 圓群T是一個可除群。其撓子群是由所有n次單位根所組成之集合，且會同構於Q/Z。可除群的結構定理表示T會同構於Q/Z和一串Q的直積。這一串Q的數目必須為c（連續勢）為了使直積的勢會是正確的。但c個Q的直積會同構於R，R如同是在Q上的c維向量空間。因此 T ≅ R ⊕ ( Q / Z...

(f)=(-1)^{n-O(n)}} 其中n-O(n)表示置换f的轮换指数，O(n)表示置换f的轨道（orbit）数。群Sn是An和由一個單一對換生成的任何子群的半直積。 轮换指一种置换f，使得对集合{1,...,n}中的某个x，x, f(x), f2(x), ..., fk(x) = x是f作用下不映射到自身的所有元素。比如说，以下的置换h...

真但結論為假的狀況。對於形式邏輯的系統，演繹有效性的概念可以用語義學中已明確理解的概念嚴格地陳述出来。另一方面，歸納的有效性則要求必須定義對某一觀察集合的「可靠廣義化」。此定義可以用各種不同的方式來達成，有的方式會比其他的方式不那麼形式化；有些定義也許會用到機率的數學模型。...

范畴化的一种形式采用了以集合论描述的结构，将集合解释为范畴内物件的“同构类”。例如自然数集可视作有限集的势的集合（任意两个有相同势的集合都视作同构）。这时，对自然数集的操作，如加法、乘法等运算可以视作对有限集范畴的副积和积。这里的思想不太抽象地说，是操作由具体物件组成的集合，并取副积（并集）或积...

个数的序列理解为一个 n {\displaystyle n} 维空间中的位置。当 n = 4 {\displaystyle n=4} 时，所有这样的位置的集合就叫做四维空间。四维空间和人居住的三維空間不同，因為多了一個維度。 愛因斯坦在他的廣義相對論和狭义相對論中提及的四维时空（閔可夫斯基時空）建立在黎曼...

是個庸俗平凡的胖子，但從其治理國家的成就、採用的手段及培育了強大的守護靈獸來看，他似乎是個精明、強悍的國家領導人。其守護靈獸看似十分恐怖，外型像身上集合多個生殖器官的土蜘蛛。 回鍋肉國王的正妻們在表面上不分高低（然而護衛兵的數量及權限有所差異），且子女的性別對他們的王位繼承順序沒有影響。 溫瑪（ウンマ，Unma）...

\supset } B，意味着在集合B中的所有元素都在集合A中，并且两个集合不等同。 设图像为集合A包含"全集"中所有偶数（二的倍数），集合B包含"全集"中所有三的倍数。则两个集合的交集（在集合A AND B中所有的元素）将是"全集"中所有六的倍数。 集合A的补集（所有不在集合A中的元素）是"全集"中所有的奇数。...

这里有一些类似范畴中推出的例子。以下每种情形只构造推出同构类中的一个对象；如上所述，可能有其它构造方法，但是它们都是等价的。 假设 X 和 Y 是集合。如果记它们的交为 Z，则由包含给出态射 f : Z → X 与 g : Z → Y 。f 与 g 的推出是 X 与 Y 的并集附加从X 和 Y的包含态射。...

{\displaystyle -1} 構成，則凱萊圖是環圖 C n {\displaystyle C_{n}} 。 群的直積的凱萊圖（新生成集取為原生成集之笛卡爾積），是對應的凱萊圖的笛卡爾積（英语：Cartesian product of graphs）。因此阿貝爾群 Z 2 {\displaystyle...

n-1} 。 另一個例子是，某測度空間上，可測函數（類）組成的向量空間，或勒貝格可積函數（類）組成的向量空間。此處等價關係為「幾乎處處相等」。 許多數學構造是以某性質來刻劃其定義（經常是泛性質），如直積、張量積、自由積。選定所需性質後，可能有多種方法構造出具該性質的結構，各結構嚴格而言，固然是不同的...

數學上，超積（英語：ultraproduct）是常見於抽象代數和數理邏輯（尤其模型論和集合論）的構造。超積是一族無窮多個结构之直積的商結構，不過要求該族結構具有相同的表徵（英语：signature (logic)）。超冪（英語：ultrapower）則是超積中各因子為同一個結構的特殊情況。...

于唐代。唐代散文的题材，除了一些例外，许多作品并非纯创作而是取材于现实，这个传统一直维持到現代。 中国神话一般指的是关于上古传说、历史、宗教和仪式的集合体，通常它会通过口述、寓言、小说、仪式、舞蹈或戏曲等各种方式在上古社会中流传。某方面而言，上古神话会被假定是历史真实的一部份，关于中国神话的最初文字...

環（英文：Ring）是一種帶有兩個二元運算（抽象化的「加法」和「乘法」）、並且符合特定運算規則的集合。它抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函數、算子等等的代數結構。它是環論的主要研究對象，並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。 環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於...