线性代数中，初等矩阵（又稱為基本矩陣）是一个与单位矩阵只有微小区别的矩阵。具体来说，一个 n 阶单位矩阵 E 经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为 n 阶初等矩阵。 初等矩阵分为3种类型，分别对应着3种不同的行/列变换。 两行（列）互换： R i ↔ R j {\displaystyle...

{\textstyle B} 均为满秩矩阵）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。 因为对矩阵 A {\displaystyle A} 施以初等行变换（初等列变换）就相当于在 A {\displaystyle A} 的左边（右边）乘以相应的初等矩阵，所以我们可以同时对 A...

即是说一个高斯矩阵的逆是将其非对角线上元素加上负号后得到的矩阵。 一个同时是上三角矩阵和下三角矩阵的矩阵必然是对角矩阵。单位矩阵是唯一同时为单位上三角矩阵和单位下三角矩阵的矩阵。 分别计算乘积A*A 与 AA*的系数并进行比较后就可以发现：一个同时为三角矩阵和正规矩阵的矩阵也必然是对角矩阵（因为正规矩阵满足A*A=AA*，其中...

在数学中的矩阵论裡，置换矩阵（英語：permutation matrix）是一种系数只由0和1组成的方块矩阵。置换矩阵的每一行和每一列都恰好有一个1，其余元素都是0。在线性代数中，每个n阶的置换矩阵都代表了一个对n个元素（n维空间的基）的置换。当一个矩阵乘上一个置换矩阵时，所得到的是原来矩阵的横行（置换矩阵...

。方程组唯一确定增广矩阵，通过增广矩阵的初等行变换可用于判断对应线性方程组是否有解，以及化简求原方程组的解。 增广矩阵通常用于判断矩阵的有解的情况，下列 A {\displaystyle A} 为线性方程组的系数矩阵， ( A | B ) {\displaystyle (A|B)} 为增广矩阵： 若 rank...

矩阵后来被称为埃尔米特矩阵。弗罗贝尼乌斯对矩阵的特征方程、特征根、矩阵的秩、正交矩阵、矩阵方程等方面做了大量工作。1878年，在引进了不变因子、初等因子等概念的同时，弗罗贝尼乌斯给出了正交矩阵、相似矩阵和合同矩阵的概念。同年，他探讨了矩阵...

方塊矩陣，也称方阵、方矩陣或正方矩陣，是行數及列數皆相同的矩陣。由 n × n {\displaystyle n\times n\,} 矩陣組成的集合，連同矩陣加法和矩陣乘法，构成環。除了 n = 1 {\displaystyle n=1\,} ，此環並不是交换環。 M(n, R)，即實方塊矩陣環，是個實有单位的結合代數。M(n...

a_{n}} 均不為零。 單位矩陣 I n {\displaystyle \mathbf {I} _{n}} 及零矩陣恆為對角矩陣。 對角矩陣是對稱矩陣、上三角矩陣及下三角矩陣。 (定义)若对角矩阵主对角线上的元素都相等，则又称其为数量矩阵。(性质)数量矩阵可表示為單位矩陣及一个系数 λ {\displaystyle...

在線性代數中，么正矩陣（又译作幺正矩阵，英語：unitary matrix）指其共軛轉置恰為其逆矩陣的複數方陣，數學描述如下： （數學定義） U ∗ U = U U ∗ = I n {\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I_{n}} ， （推論） U − 1 = U ∗ {\displaystyle...

通过有限步的行初等变换，任何矩阵可以变换为行阶梯形矩阵。由于行初等变换保持了矩阵的行空间，因此行阶梯形矩阵的行空间与变换前的原矩阵的行空间相同。 行阶梯形矩阵的结果并不是唯一的。例如，行阶梯形矩阵乘以一个标量系数仍然是行阶梯形矩阵。但是，可以证明一个矩阵的简化行阶梯形矩阵是唯一的。 如果一个线性方程组的增广矩阵...

\\2-i&1\end{bmatrix}}} 就是一个埃尔米特矩阵。 显然，埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数，其特征值也是实数。对于实矩阵，如果它是对称矩阵，则它也满足埃尔米特矩阵的定义，即，实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。 对于矩阵 A ∈ C n × n {\displaystyle A\in...

矩阵分解（decomposition, factorization）是将一个矩阵拆解为数个矩阵的乘积的运算。其依使用目的的不同，可分为几类。 在数值分析，矩阵分解常常用来实现一些矩阵运算的快速算法。 例如，当对线性方程组 A x = b {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf...

在线性代数裡，正定矩阵（英語：positive-definite matrix）是埃尔米特矩阵的一种，有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质類似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（複域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。 一个 n × n {\displaystyle...

的转置矩阵。 任何一个正规矩阵，都是某个正规算子在一组标准正交基下的矩阵；反之，任一正规算子在一组标准正交基下的矩阵都为正规矩阵。 矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法：任意正规矩阵都可在经过一个酉变换後变为对角矩阵，反过来所有可在经过一个酉变换後变为对角矩阵的矩阵都是正规矩阵。...

在線性代數中， n {\displaystyle n} 階單位矩陣，是一個 n × n {\displaystyle n\times n} 的方形矩陣，其主對角線元素為1，其餘元素為0。單位矩陣以 I n {\displaystyle I_{n}} 表示；如果階數可忽略，或可由前後文確定的話，也可簡記為...

多项式矩阵，也称为λ－矩阵、矩阵系数多项式（不是矩阵多项式），是数学中矩阵论里的概念，指系数是多项式的方块矩阵。使用“λ－矩阵”的名称时，说明系数多项式以λ为不定元。 给定自然数n和系数环 R {\displaystyle \mathbf {R} } ，一个n阶多项式矩阵A为如下形式:120： A...

在線性代數中，矩陣A的轉置（英語：transpose）是另一个矩陣AT（也寫做Atr, tA, At或A′）由下列等價動作建立： 把A的行寫為AT的列 把A的列寫為AT的行 形式上說，m × n矩陣A的轉置是n × m矩陣 A i j T = A j i {\displaystyle A_{ij}^{\mathrm...

斜厄米矩阵主对角线所有元素都一定是纯虚数。 如果A是斜厄米矩阵，那iA是厄米矩阵。 如果A，B是斜厄米矩阵，那么对于所有实数a，b，aA + bB也一定是斜厄米矩阵。 如果A是斜厄米矩阵，那么对于所有正整数k，A2k都是厄米矩阵。 如果A是斜厄米矩阵，那A的奇数次方也是斜厄米矩阵。 如果A是斜厄米矩阵，那eA是酉矩阵。...

数学中，不变因子是λ-矩阵理论中的概念。不变因子定义为λ-矩阵的若尔当标准型中主对角线上出现的非零元素。对矩阵进行初等变换不会影响不变因子，所以两个等价的矩阵拥有相同的不变因子。在不变因子的概念上可以进一步定义初等因子的概念。 λ-矩阵是以不定元λ的多项式作为元素的矩阵。例如： A ( λ ) = [...

在線性代數中，反對稱矩陣（或稱斜對稱矩陣）指轉置矩陣和自身的加法逆元相等的方形矩陣。其滿足： AT = − A 或寫作 A = ( a i j ) {\displaystyle A=(a_{ij})} ，各元素的關係為： a i j = − a j i {\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}\...

数学中，矩阵乘法（英語：matrix multiplication）是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算，第三个矩阵即前两者的乘积，称为矩阵积（英語：matrix product）。设 A {\displaystyle A} 是 n × m {\displaystyle n\times m} 的矩阵，...

在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵（英語：adjugate matrix）是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。 A {\displaystyle \mathbf {A} } 的伴随矩阵记作 a d j...

每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積，每個複方形矩陣都可寫作兩個複對稱矩陣的積。 若對稱矩陣 A {\displaystyle A} 的每個元素均為實數， A {\displaystyle A} 是實對稱矩陣。 一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣若且唯若所有元素都是零。 如果X是對稱矩陣，那麼 A...

非奇异矩阵 (又称 可逆矩阵 或 正则矩阵) 是一种存在逆元的方块矩阵。相反的，若方阵不存在逆元，则称为 奇异矩阵。 方阵 A {\displaystyle A\,} 非奇异与以下论述等价： A {\displaystyle A\,} 是可逆的。 A T A {\displaystyle A^{T}A\...

可对角化矩阵是可化簡為对角矩阵的方阵。矩阵對角化后大幅降低了某些属性的計算難度，比如其行列式就是对角線上所有數字的乘積，而对角線上的數字就是其特征值。 可對角化也使该线性变换的几何意义更直觀，因為每個线性变换都可以對應到一個矩陣，所以将矩阵对角化等價於找到一组基底，使的线性变换的作用僅僅是伸缩基底向...

在線性代數中，餘因子是一種關於方陣之逆及其行列式的建構，餘因子矩陣的項是帶適當符號的子行列式。 對一個 n × n {\displaystyle n\times n} 矩陣 A {\displaystyle A} ，在 ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 的子行列式（余子式）...

幂零矩阵（英語：nilpotent matrix）是一个n×n的方块矩阵M，满足以下等式： M q = 0 {\displaystyle M^{q}=0\,} 对于某个正整数q。类似地幂零变换是一个线性变换L，满足 L q = 0 {\displaystyle L^{q}=0} 对于某个整数q。...

n<m} 这个向量组必然线性相关。 计算矩阵A的秩的最容易的方式是高斯消去法，即利用矩阵的初等变换生成一个行阶梯形矩阵，由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，因此A的行阶梯形矩阵有同A一样的秩。经过初等变换的矩阵的非零行的数目就是原矩阵的秩。 例如考虑4 × 4矩阵 A = [ 2 4 1 3 − 1 −...

在數學的矩陣理論中，一個分塊矩陣或是分段矩陣就是將矩陣分割出較小的矩形矩陣，這些較小的矩陣就稱為區塊。換個方式來說，就是以較小的矩陣組合成一個矩陣。分塊矩陣的分割原則是以水平線和垂直線進行劃分。分塊矩陣中，位在同一行（列）的每一個子矩陣，都擁有相同的列數（行數）。 通过将大的矩阵...

m} 的矩阵Q，使得 A = Q B P {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {QBP} } 这时称两个矩阵A和B是等价矩阵。矩阵之间的等价和矩阵的相似关系有所不同。如果两个矩阵A和B相似，那么它们一定是等价矩阵，因为按照矩阵相似的定义，可以找到一个可逆矩阵P，使得...

osition），又称谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。 N 维非零向量 v 是 N×N 的矩阵 A 的特征向量，当且仅当下式成立： A v = λ v {\displaystyle...