x\wedge \mathrm {d} y} 这里 dx、dy 与 dz 是 R3 上的标准正交微分1-形式。霍奇对偶在此情形显然对应于三维中的叉积。 当 n = 4 时，霍奇对偶作用在第二外幂（6 维）上是自同态。它是一个对合，从而可以分解为子对偶与反自对偶子空间，在这两个子空间上的作用分别为 +1 和...

微積分學也称為微分积分学（拉丁語：Calculus），主要包括微分學和積分學两个部分，是研究極限、微分、積分和無窮級數等的一個數學分支。本質上，微積分學是一門研究连续變化的學問。 微積分學在科學、商學和工程學領域皆有廣泛的應用，並成為了現代大學教育的重要组成部分，用於有效解决一些僅以代數學和幾何學無法處理的問題。...

撲學亦被稱為點集拓撲學，被用於其他數學領域（如緊緻性與連通性等主題）之中。 代數拓撲學運用同調與同倫群等代數結構量測連通性的程度。 微分拓撲學研究在微分流形上的可微函數，與微分幾何密切相關，並一齊組成微分流形的幾何理論。 幾何拓撲學主要研究流形與其對其他流形的嵌入。幾何拓撲學中一個特別活躍的領域為「...

在数学，特别是微分几何中，一个联络形式（connection form）是用活动标架与微分形式的语言处理联络数据的一种方式。 历史上联络形式由埃利·嘉当在二十世纪上半叶引入，作为他活动标架方法的一部分，也是其主要促进因素之一。联络形式一般取决于标架的选取，从而不是一个张量性对象。在嘉当最初的工作之后...

为，如股价、随机增长模型或受热涨落影响的物理系统。 SDE具有随机的微分，在最基本的情形下是以布朗运动导数计算的白噪声，更一般地说是半鞅。不过，也可能存在其他随机行为，如莱维过程等跳跃过程或有跳跃的半鞅。随机微分方程还可扩展到微分流形。 隨機微分方程的概念最早以布朗運動的形式，由阿爾伯特·愛因斯坦...

微分几何中，叶状结构（foliation）是n-流形上的等价关系，等价类是连通单射浸入子流形，都具有相同维度p，以实坐标空间 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的分解为标准嵌入子空间 R p {\displaystyle \mathbb {R} ^{p}} 的陪集...

n球面记为Sn 。它是没有边界的紧致拓扑流形的一个例子。球面不必是光滑的；如果它是光滑的，它就不需要与欧几里得球面微分同胚 。 海涅－博雷尔定理表明欧几里德n球面是紧致的。球面是连续函数||x||下单点集的逆象。因此，球面是闭合的。Sn也是有界的；所以它是紧致的。...

本力的实验预测，它是一个规范群为SU(3)×SU(2)×U(1)的规范场论。像弦论这样的现代理论，以及广义相对论的一些表述，都是某种意义上的规范场论。 有时，规范对称性一词被用于更广泛的含义，包括任何局部对称性，例如微分同胚。该术语的这个含义不在本条目使用。 詹姆斯·麦克斯韦的电动力学是最早包含规范对称性的物理理论。...

和它所作用的空间的性质，有时将特征值方程表示为一组微分方程更好。若 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 是一个微分算子，其特征向量通常称为该微分算子的特征函数。例如，微分本身是一个线性变换因为（若M和N是可微函数，而a和b是常数） d d t ( a M + b N ) = a d M d...

(翻路徑的話，會與path integral 相衝，所以，這裡還是以英文原字稱呼) 的 曲線積分 ，用來取代原有的複數空間的 contour積分。因為有時 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 的一階微分為0的點未必就在實數軸上，而就算真在實數軸上，也未必二階微分在 x {\displaystyle...

相同類型的層之間可以定義映射（或称态射），這使得（同類型的）层构成了一個范畴。另一方面，每个连续映射都关联着直像函子（将定义域上的层与态射送到到达域的层与态射）和反像函子（代表相反的运算）。这些函子及其部分变体是层论的重要组成部分。 层由于其普遍性与多功能性，在拓扑学，特别是代数几何与微分几何中有多种应用。 微分...

其中D與其偏微分的值由關鍵點的位置決定，變數 x = ( x , y , σ ) {\displaystyle {\textbf {x}}=\left(x,y,\sigma \right)} 則是到此關鍵點的偏移量。 將上式對 x {\displaystyle {\textbf {x}}} 微分後設為零，便可求出極值...

数学中，特别是在微分几何与数学物理中，规范理论（gauge theory）是对向量丛、主丛、纤维丛上的联络的一般研究。数学中的规范理论不应与物理学中的规范场论相混淆，后者是一种允许规范对称性的场论。数学中，理论指的是数学理论，包括对一系列概念或现象的一般研究，而物理学中，理论是某种自然现象的数学模型。...

同调类都有正倍数，其是光滑子流形的类。而且，流形上的所有积分上同调类都可用“伪流形”（即单纯形，在余维度至少为2的闭子集之外是流形）表示。 对光滑流形X，德拉姆定理表明，具有实系数的X的奇异上同调与X的德拉姆上同调同构，由微分形式定义。上积对应微分形式的积。这解释的优点在于微分...

I Fire Control Computer），從驅逐艦到戰列艦都看得到它的影子。 1930年，現代電腦之父萬尼瓦爾·布希發明微分分析器（英语：differential analyzer），模拟計算機科技至此達到頂峰，大部分的零件都已經被製造出來，終於，宾夕法尼亚大学的摩爾電機工程研究所（英语：Moore...

{\displaystyle i} 的不明確選擇—— x 2 = − 1 {\displaystyle x^{2}=-1} 有二解。可是，共軛值是不可微分的（參見全纯函数）。 一複數 z = r e i ϕ {\displaystyle z=re^{i\phi }} 的「幅角」或「相位」為 ϕ {\displaystyle...

像素就是該輸出像素周遭像素的加權平均，每一個鄰近像素的權重就是根據高斯分布來設計。因為此設計，使得高斯的濾波器比均值濾波器更柔滑且邊緣保存得更好。 若是觀察高斯濾波器的頻率響應，可以發現它是低通濾波器，因此表示著高斯平滑是用來移除圖片中高頻的部分。 利用像是熱方程式的部分微分...

dt}{\partial x \over \partial \theta }{\bigg )}d\theta \,} 接下来我们把时间的微分用角度 θ {\displaystyle \theta } 的微分表示。应用 d θ = ω d t {\displaystyle d\theta =\omega dt\,} 并设...

型向量场。这样 J 在複切丛 (1,0)-向量场上相当于乘以 i，在 (0,1)-向量场上相当于乘以 -i。 和从余切丛的外幂构造微分形式一样，我们可以构造複余切丛的外幂（典範同构于複切丛的对偶空间丛）。殆複结构在每个 r-形式上诱导了分解 Ω r ( M ) C = ⨁ p + q = r Ω ( p...

联处理于编译期而非运行期，因此被称为“静态”。可以用来实现类型安全、运行高效的同质对象集合操作。C++ STL不采用动态多态来实现就是个例子。 对于C++语言，带变量的宏和函数重载机制也允许将不同的特殊行为和单个泛化记号相关联。然而，习惯上并不将这种函数多态、宏多态展现出来的行为称为多态（或静态多态...

代音樂包括了如布列茲的序列音樂、極簡音樂，斯蒂夫·莱奇和菲利普·格拉斯使用簡單三音和弦，皮埃爾·謝弗的具體音樂，哈里·帕奇、阿洛伊斯·哈巴和其他人的微分音音乐，還有約翰·凱吉的机遇音樂。 在現代音樂之前，作為前繼者的歐洲古典音樂家有巴托克·贝拉、馬勒、理察·史特勞斯、普契尼、德布西、艾伍士、艾爾加、...

操作，并将函数的结果返回到这个共享的数据结构，从而被下一个算子（operator）所用。 复合式语义与镜像这种语义的语法（英语：Syntax of programming languages）相组合，使得串接式语言高度服从于程序的代数式操纵；尽管在其中直接书写数学表达式可能会有困难。串接式语言可以...

_{i=1}^{n}(y_{i}-\alpha -\beta x_{i})^{2}} 使用微分法求極值：將上式分别對 α {\displaystyle \alpha } 和 β {\displaystyle \beta } 做一階偏微分，並令其等於0： { n   α + ∑ i = 1 n x i   β =...

確控制的磁場。長度超大於直徑的電磁鐵，可以近似其內部磁場為均勻磁場，近似其外部磁場為零。 在靜磁學裏，安培定律描述磁場與電流之間的關係。其積分形式與微分形式分別為 ∮ C B ⋅ d ℓ = μ 0 I e n c {\displaystyle \oint _{\mathbb {C} }\mathbf...

這裡列出的是在數學領域中的一分支拓撲學所常使用的一些術語。在拓撲學的許多子類中，術語上的使用差異並不是很大，這裡主要針對一般拓撲學（或稱點集拓撲）來編寫。這些術語也是其它學門如代數拓扑、微分拓扑和幾何拓扑中的基本術語。 關於一些基本的定義，請參閱拓扑空間的條目，關於拓撲學的簡史，請參閱拓撲學。關於集合以及函數的基本定義，請參閱樸素集合論...

Shenstone Woods）为大学二三年级学生写的《高等微积分》看。让费曼在完全吃透《高等微积分》前，不要在课堂上影响其他同学。当时的费曼花了不少心思研读这本书，从中掌握了傅立叶级数、贝塞尔函数、积分符号内取微分和椭圆函数等知识。巴德经常在课后与费曼讨论科学，是费曼的还原论思想...

geometry）的旗幟之下。另一個從投影幾何之公理化研究誕生的領域為有限幾何。 投影幾何的領域又可細分成許多的研究領域，其中的兩個例子為投影代數幾何（研究投影簇）及投影微分幾何（研究投影變換的微分不變量）。 投影幾何是一種沒有度量的幾何形式，這意味著投影幾何不具有距離的概念。在二維空間裡，投影幾何從點與直线的配置（英语：Configuration...

密碼學（英語：Cryptography）可分为古典密码学和现代密码学。在西方語文中，密码学一词源於希臘語kryptós“隱藏的”，和gráphein“書寫”。古典密码学主要关注信息的保密书写和传递，以及与其相对应的破译方法。而现代密码学不只关注信息保密问题，还同时涉及信息完整性验证（消息验证码）、信息发布的不可抵赖性（数字签名）...

在清华大学读硕士研究生时经常去杨振宁家串门，那时杨振宁只有8岁。杨振宁后来在西南联合大学读书时也上过陈省身的“微分几何”课。杨振宁的父亲杨武之也是陈省身的媒人和证婚人之一。陈省身曾在文章中写道：“感谢杨武之先生，成就了一段美满的婚姻。” 杨振宁说自己喜欢与简单的人和事打交道，自己也努力成为这样的人。...

這種自發對稱性破缺在基本粒子物理中找到了進一步應用，這裡它的出現与戈德斯通玻色子的出現有关。 有限對稱群比如马蒂厄群被用于編碼理論中，它又用于傳輸數據的糾錯和CD播放器中。另一個應用是微分伽羅瓦理論，它刻畫有已知形式的不定積分的函數，給出何時特定微分方程的解有良好表現的群論判定標準。在群作用下保持穩定的幾何性質在幾何不變量理論中研究。...

义下6阶也是，称为反射旋转。类似的参见欧几里得群。 作为保持距离的同构，正交变换也保角，从而是共形变换，但是不是所有的共形变换都是正交变换。Rn的线性共形映射构成的群记作CO(n)，由正交群和收缩的乘积给出。如果n是奇数，两个子群不相交，他们是直积： CO ⁡ ( 2 n + 1 ) = O ⁡ (...