次一般線性群是 n×n 可逆矩陣的集合，和與之一起的普通矩陣乘法運算。這形成了一個群，因為兩個可逆矩陣的乘積也是可逆矩陣，而可逆矩陣的逆元還是可逆矩陣。叫這個名字是因為可逆矩陣的縱列是線性無關的，因此它們定義的向量／點是在一般線性位置上的，而在一般線性群中的矩陣把在一般線性位置上的點變換成在一般線性位置上的點。...

，是一般线性群 GL ( n , C ) {\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbf {C} )} 的一个子群。 在最简单情形 n = 1 {\displaystyle n=1} ，群 U ( 1 ) {\displaystyle {\text{U}}(1)} 相当于圆群...

n) 的单位群称为在环 R 上 n × n 矩阵的一般线性群，记作 GLn(R) 或 GL(n,R)。所有矩阵群是某个一般线性群的子群。 某些已被证明有研究价值或性质较好的矩阵群是所谓的典型群。当矩阵群的系数环是实数，这些群是典型李群。当底环是一个有限域，典型群是李型群。这些群在有限单群分类中起着重要的作用。...

，因此可以混淆向量组的行列式和线性变换的行列式。 特别地，行列式为1的线性变换保持向量组的行列式，它们构成一般线性群 G L ( E ) {\displaystyle GL(E)} 的一个子群 S L ( E ) {\displaystyle SL(E)} ，称作特殊线性群。可以证明， S L ( E...

酉矩阵组成的群（一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数）。群运算是矩阵乘法。特殊酉群是由 n × n {\displaystyle n\times n} 酉矩阵组成的酉群 U ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {U} (n)} 的一个子群，酉群又是一般线性群 GL ⁡ ( n , C {\displaystyle...

群被稱為矩陣群或線性群。上面提及的二面體群例子可以被看作（非常小的）矩陣群。另一個重要矩陣群是特殊正交群SO(n)。它描述了n維的所有可能旋轉。通過歐拉角，旋轉矩陣被用于計算機圖形學中。 表示理論是對群概念的應用并且對深入理解群是很重要的。它通過群作用於其他空間來研究群。一類廣泛的群表示是線性...

群就是上述的典型李群。 当系数环是有限域时，典型群是李型群。这些群在有限单群的分类中扮演着重要的角色。在群論中，许多线性群有一个「特殊的」子群，常常由行列式为 1 {\displaystyle 1} 的元素组成，大部分有一个伴随的「投影」群，它们是除掉該群中心的商群。 “一般”一词在群...

在数学和抽象代数中，群论（英語：Group theory）研究名为群的代数结构。 群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和向量空间等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。线性代数群（英语：Linear...

639二字母语言代码gl .gl，格陵蘭頂級域名 瑞士格拉鲁斯州的州份代码 一般线性群（英語：general linear group），域 F {\displaystyle \mathbb {F} } 上的一般線性群常記作 G L ( n , F ) {\displaystyle \mathrm...

射影线性群是代数学里群论中的一类群的称呼。射影线性群也叫射影一般线性群（一般记作 PGL），是某个系数域为 K {\displaystyle \mathbb {K} } 的向量空间V上的一般线性群在射影空间 P(V) 上诱导的群作用。具体来说，射影线性群是商群： P G L ( V ) = G L (...

数学上，数域F上的n阶正交群，记作O(n,F)，是F上的n×n 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL(n,F)的子群，由 O ( n , F ) = { Q ∈ G L ( n , F ) ∣ Q T Q = Q Q T = I } {\displaystyle \mathrm {O}...

{\displaystyle n} 阶一般线性群。由于群内每个元素都必须是可逆的，任意的矩阵群都必然是一般线性群的子群。 能够在矩阵乘法和求逆矩阵运算下保持的性质都可以用来刻画一定的矩阵群。例如所有行列式为1的矩阵可以构成一个群，称为 n {\displaystyle n} 阶特殊线性群。所有 n {\displaystyle...

群的名字叫做“龐加萊群”。 在古典物理學中，對應龐加萊群的群叫伽利略群，也是有十個生成元的，伽利略群作用於絕對時空。而在伽利略群中取代直線性洛倫茲變換的是，聯繫兩個共動慣性參考系的錯切變換。 龐加萊群是閔可夫斯基時空的等距同構群。它是一種十維的非緊李群。平移的阿貝爾群是一個正規子群，而洛倫茲群...

F)。由於辛矩陣之行列式恆等於一，此群是SL(2n,F)的子群。 抽象而言，辛群可定義為F上一個2n維向量空間上保存一個非退化、斜對稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的向量空間稱為辛向量空間。一個辛向量空間V產生的辛群記為Sp(V)。 當n=1，有Sp(2,F)=SL(2...

，所以变换 g ( λ A ) = g A {\displaystyle g_{(\lambda A)}=g_{A}} 。因此，可以将起始空间由一般线性群缩小到特殊线性群 S L 2 ( C ) {\displaystyle {\mathcal {SL}}_{2}(\mathbb {C} )} 。而由于有且仅有单位矩阵...

subgroup）。因為這個緣由，勞侖茲群有時也稱作「齊次勞侖茲群」（homogeneous Lorentz group），而龐加萊群被稱作「非齊次勞侖茲群」（inhomogeneous Lorentz group）。勞侖茲變換是線性變換的例子；閔可夫斯基時空中的廣義等距同構變換為仿射變換。 數學中，勞侖茲群可以描述為廣義正交群O(1...

上面的例子都是阿贝尔群的例子。非交换群的例子有各种李群（是拓扑群也是流形）。例如，一般线性群GL(n,R)由所有可逆n×n实系数矩阵组成，可以视为拓扑群，其拓扑定义为将GL(n,R)作为欧几里得空间Rn×n的子空间得到的子空間拓撲。所有李群是局部紧的。 不是李群的拓扑群的一个例子是有理数Q其拓扑从实数继承。这是一个可数空间而...

在数学中，特别是在群论中，李型群这一短语通常指的是与在有限域中取值的约化线性代数群的有理点群密切相关的有限群。李型群这一短语并没有一个被广泛接受的精确定义，但李型有限单群的重要集合却有一个精确的定义，它们构成了有限单群中的大部分群。 之所以称为李型群，是因为它们与（无限）李群关系密切，因为一个紧李群...

群。 所有阿貝爾群的子群都是正規子群，所以每個子群都引發商群。阿貝爾群的子群、商群和直和也是阿貝爾群。 矩陣即使是可逆矩陣，一般不形成在乘法下的阿貝爾群，因為矩陣乘法一般是不可交換的。但是某些矩陣的群是在矩陣乘法下的阿貝爾群 - 一個例子是 2 × 2 {\displaystyle...

0&1\end{array}}\right]} 可逆仿射變換組成仿射群（英语：Affine_group），其中包含具n階的一般線性群為子群，且自身亦為一 n + 1 {\displaystyle n+1} 階的一般線性群之子群。 當A為常數乘以正交矩陣時，此子集合構成一子群，稱之為相似變換。舉例而言，假如仿射變換於一平面上且假如...

在數學的群论中，无限群 是指潜在集合中含有无穷多个元素的群。如果潜在集合中有有限数量的元素，那麼它就是一个有限群。 (R, +) 无限李群 无限一般线性群 Just-infinite群...

数学上的单群（英語：Simple group）是指没有非平凡正规子群的群。任意一个群如果不是单群，都可以作进一步分解而得到一个非平凡正规子群及对应的商群。这个过程可以一直做下去。对于有限群，若尔当-赫尔德定理表明，这个分解过程可以得到该群的唯一的合成列（最多相差一个置换）。在2008年完成的有限單群分類工作是数学史上一个重要的里程碑。...

線性映射（英語：linear map）是向量空間之間，保持向量加法和純量乘法的函數。線性映射也是向量空間作為模的同態。 線性算子（英語：linear operator）與線性轉換（英語：linear transformation，又稱線性變換）是與線性映射相關的慣用名詞，但其實際意義存在許多分歧，詳見相關名詞一節。...

及映至一般線性群之群同態 ρ : G → G L ( V ) {\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (V)} 假設 V {\displaystyle V} 有限維，則上述同態即是將 G {\displaystyle G} 的元素映成可逆矩陣，並使得群運算對應到矩陣乘法。...

在數學裡，有限群是有著有限多個元素的群。有限群理論中的某些部份在20世紀有著很深的研究，尤其是在局部分析和可解群與冪零群的理論中。期望有個完整的理論是太過火了：其複雜性會隨著群變得越大時而變得壓倒性地巨大。 較少壓倒性地，但仍然很有趣的是在有限域上的一些較小一般線性群。群論學家J. L. Alperin...

群。 例如保持向量空间结构的双射算子正是可逆线性算子。 它们构成了一般线性群。 它们算子加法下不是向量空间，例如， id和-id都是可逆的（双射），但它们的和为0，不可逆。 在这样的空间上保持欧几里得度量的算子构成等度群，保持原型不变的子群被称为正交群。正交群中的保角算子构成特殊正交群。...

李群是光滑可微流形，因而可以用微分学来研究，这点与更一般的拓扑群不同。李群理论中的关键是替换掉“全局”的对象，也即群本身，而代之以其“局部”或线性化的版本。这个局部版本被索菲斯·李本人称为该李群的“无穷小群”，而后来以“李代数”为人熟知。 李群在现代几何学中在多个层面扮演了重要的角色。费利克斯·克...

在抽象代数中，正规子群或不变子群指一类特殊的子群。由正规子群，可以引导出商群的概念。埃瓦里斯特·伽罗瓦是最早认识到正规子群的重要性的人。 沒有非平凡正規子群的群叫做單群；所有的子群都是正規子群的群叫做戴德金群，非交換的戴德金群又稱漢彌爾頓群。 如果群G的子群N在共轭变换下不變，N即是一個正規子群...

与 A2 同构于平凡群（也是 SL1(q)=PSL1(q) 对任何 q）。 A4 是说明拉格朗日定理的逆命题一般不成立的最小群：给定一个有限群 G 和 |G| 的一个因子 d，不一定存在 G 的一个 d 阶子群。群 G = A4，阶为 12，没有 6 阶子群。有三个元素的子群...

階可逆矩陣構成的一般線性群 G L ( n ) {\displaystyle GL(n)} 的單位元（單位矩陣明顯可逆，單位矩陣乘自己，仍是單位矩陣）。 這些 n {\displaystyle n} 階矩陣經常表示來自 n {\displaystyle n} 維向量空間自己的線性變換， I n {\displaystyle...

阶置换，其对称群 S M {\displaystyle S_{M}} 称为 n {\displaystyle n} 阶对称群，记为 S n {\displaystyle S_{n}} 。 S n {\displaystyle S_{n}} 的任一子群亦为置换群。 置换群到被置换的元素的应用称为群...