數學中的對稱多項式（英語：Symmetric polynomial）是一种特殊的多元多项式。假设一个n元多項式P(X1, X2, ..., Xn)，當其中的n個不定元任意交換後，多項式仍維持不變，就称其为对称多项式。严格的说法是，如果对任意的n元置换σ，都有P(Xσ(1), Xσ(2), ...,...

{\displaystyle S_{n}} 作用下的不變量構成一個子環，由基本對稱多項式生成，由於基本對稱多項式彼此代數獨立，此不變量環本身也同構於另一多項式環。Chevalley-Shephard-Todd 定理刻劃了其不變量環同構於多項式環的有限群。晚近的研究則更關切算法問題，例如計算不變量環的生成元，或給出其次數的上界。...

在數學中，齊次多項式是指各項的總次數均相同的多項式 ，例如 x 5 + 2 x 3 y 2 + 9 x 1 y 4 {\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9x^{1}y^{4}} 就是一個五次的雙變數齊次多項式，其各項的總次數都是五。 齊次多項式...

数学中，牛頓恆等式（英語：Newton's identities）描述了冪和對稱多項式和初等對稱多項式此兩種对称多项式之間的關係。 牛顿在不知道阿爾伯特‧吉拉德（英语：Albert Girard）先前的成果下，於約1666年發現這些恆等式。這些恆等式目前已被应用在许多數學领域，如伽罗瓦理论、不變量...

代数组合学中，对称函数环是n趋近于无穷大时，n元对称多项式环的特定极限。此环是一种通用结构，其中对称多项式间的关系可用一种与n无关的方式表达（但其元素不是多项式也不是函数）。此环也在对称群表示论中起着重要作用。 对称函数环可给出余积和双线性形式，使其成为正定自伴分次霍普夫代数，其是交换的也是余交换的。 对称...

是因式。 交错多项式乘以对称多项式仍是交错多项式，于是 v n {\displaystyle v_{n}} 的所有倍数都是交错多项式。 相反，两交错多项式相除是（可能有理的）对称多项式（不必是多项式），而交错多项式除以范德蒙多项式是多项式。舒尔多项式就是这样定义的，即交错多项式除以范德蒙多项式。 因此，用...

x_{1}\right)} ，f是对称函数。最常见的对称函数类型是多项式函数，由对称多项式给出。 一个相关概念是交错多项式，其在变量互换后只有符号改变。除多项式函数外，作为多个向量的函数的张量也可以是对称的，实际上向量空间V上的对称k-向量空间同构于V上的k次齐次多项式空间。对称函数同奇函数与偶函数是不同的概念。...

斜對稱矩陣自身相乘的積是對稱矩陣。 任意矩陣 A {\displaystyle A} ， A T − A {\displaystyle A^{T}-A} 是斜對稱矩陣。 若 A {\displaystyle A} 是斜對稱矩陣， x {\displaystyle...

對稱軸或線對稱指一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合。更廣泛的對稱形式為旋轉對稱。 若函数 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 有对称轴且为 A x + B y + C = 0 {\displaystyle Ax+By+C=0} ，则有 y − 2 B...

L_{n}^{(1/2)}(x^{2})} 这里的Hn表示乘上了exp(−x2)的埃爾米特多項式（所谓的“物理学家形式”）。 正因为这样，广义拉盖尔多项式也在量子谐振子的量子力学处理中出现。 拉盖尔多项式可以用超几何函数来定义，具体地说，是用合流超几何函数定义： L n ( α ) ( x ) =...

theory）研究伪微分算子時用到。 每個卡西米爾算子，都對應伴隨表示的對稱代數（英语：Symmetric algebra） ad g . {\displaystyle {\mbox{ad}}_{\mathfrak {g}}.} 的對稱齊次多項式。換言之，任何一個卡西米爾算子都具有下列形式： C ( m )...

是要讓所有的根的組合都恰好出現一次。 事實上，等號的左邊被稱作是初等對稱多項式。 因為 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} 是一元 n 次多項式 M ( x ) = a n x n + a n − 1 x n −...

{\displaystyle n(n+1)} 。 下表列出了前11阶（n 从0到10）勒让德多项式的表达式： 前6阶（n 从0到5）勒让德多项式的曲线如下图所示： 在求解三维空间中的球对称问题，譬如计算点电荷在空间中激发的电势时，常常要用到勒让德多项式作如下形式的级数展开： 1 | x − x ′ | = 1 r 2 +...

4 {\displaystyle n>4} 時，一般的n次多項式無根式解（「一般」意謂將多項式係數視為獨立變元）（几年前尼尔斯·阿贝尔用相似方法独立证明了这一点，这就是阿贝尔-鲁菲尼定理），并得到了检验多项式是否根式可解的方法。原因是對稱群 S n {\displaystyle S_{n}} 在 n...

polynomial） Matrix determinant lemma（英语：Matrix determinant lemma） 牛頓恆等式：描述了冪和對稱多項式以及初等對稱多項式之間的關係 帕塞瓦尔恒等式： ∑ n = − ∞ ∞ | c n | 2 = 1 2 π ∫ − π π | f ( x ) | 2 d...

 an 是实数，令 σ k {\displaystyle \sigma _{k}} 表示 a1, a2, ..., an 上的 k 阶基本对称多项式。那么基本对称均值 S k = σ k ( n k ) {\displaystyle S_{k}={\frac {\sigma _{k}}{\binom...

f(x)=ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h\,} 其中 a≠0。換句話說，七次函數也就是階數為 7 的多項式，若 a=0，則多項式最多只為是六次函數。 若將令七次函數 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} ，即可得到七次方程。 七次方程的係數...

球對稱位勢乃是一種只與徑向距離有關的位勢。許多描述宇宙交互作用的基本位勢，像重力勢、電勢，都是球對稱位勢。這條目只講述，在量子力學裏，運動於球對稱位勢中的粒子的量子行為。這量子行為，可以用薛丁格方程式表達為 − ℏ 2 2 μ ∇ 2 ψ + V ( r ) ψ = E ψ {\displaystyle...

Fourier series）進行函數逼近，也就是用以正交多項式為基礎的級數來進行逼近。 計算機科學中有一個問題和逼近理论有關，就是在數學函式庫中如何用計算機或計算器可以執行的功能（例如乘法和加法）儘可能的逼近某一數學函數，一般會用多項式或有理函數（二多項式的商）來進行。...

L是NL的子集，NL是可以被非確定型圖靈機利用對數空間解决的判定问题集合。利用薩維奇定理的建構式證明，可得證NL包含在复杂度P之內，也就是可以被確定型圖靈機在多項式空間解决的判定问题集合中。 存在几个已知的NL-完全问题，如2SAT（英语：2-satisfiability）。 根据萨维奇定理，我们已知有以下重要性质：...

\right\}} 在平面直角坐标系中，该图像为一条直线。这是因为，该函数的导数为常数 k {\displaystyle k} 。 对于二次或更高次的多項式函数，或者其他的非線性函數，其图像则会呈现为一条曲线。这是因为其導函數不是常數函數。 例如，三次函数 f ( x ) = x 3 − 9 x   {\displaystyle...

。這種正七邊形畫法誤差十分小，即使繪製外接圓半徑1公里大的正七邊形誤差也僅有1.1毫米。 正七邊形具有14階的Dih7二面體對稱（英语：Dihedral_symmetry），由於7是一個質數，因此其只有一個子群：Dih1以及2個環形對稱群：Z7和Z1。 若一正七邊形邊長為a、最短對角線為b、最長對角線為c，其滿足等式 a < b...

此機率分佈可做為一大小接近無限的隨機對稱矩陣，其特徵值(Eigenvalues) 的分布限制範圍。 它是一個經過縮放的Β分布(Beta Distribution)。精確而言：當Y值有B分布(α = β = 3/2)時，則其X = 2RY – R值具備上述分佈特性。 第二種切比雪夫多項式(Chebyshev...

許多（也許是最多）數學問題都在某些程度上與代數方程理論有關。主要有： 解線性方程組的解，引領了線性代數的發展。 試圖找出高次一般多項式方程的公式解，因而發現了群可以作為對稱的抽象表示。 二次以上的丟番圖方程之算術研究，直接影響了環與理想等概念的形成。 許多抽象代數的教科書會從各類代數結構的公理化定義...

的兩個極限過程，先令h → 0以及先令k → 0。這兩個過程未必交換（參見極限運算的交換）：看最先作用的那個一階項。可以構造出二階導數的對稱性不成立的病態例子。若導數作為施瓦茲分布是對稱的，這類例子屬于實分析中的精細理論，逐点值在其中起作用。当看作一个分布的时候，二阶导数值可以在任意点集中的改变，只要Lebesgue测度为...

多項式可以把它們串起。 如果把多次式的次數再增加到3： y = a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\;} 那麼只要給定x值各異的4點，總會有次數不多於3的多項式可以把它們串起。 更準確而言，這條多項式能夠符合任何4個限制。限制可以是一點(x...

在數學的歷史中，群論原本起源於對高于四次的一元多项式方程無一般的公式解之證明的找尋，最終随着伽羅瓦理论的提出而确立。可解群的概念產生於描述其根可以只用根式（平方根、立方根等等及其和與積）表示的多項式所对应的自同構群所擁有的性質。 一個群被稱為可解的，若它擁有一個其商群皆為阿貝爾群的正規列。或者等價地說，若其降正規列...

对称性；如在空間對稱群的哪些變換下，面积或角度會保持不變，就是在研究立体几何的对称性。 抽象群的現代概念是從多個數學領域發展出來的。群論的最初動機是為了求解高於4次的多項式方程。十九世紀法國數學家埃瓦里斯特·伽罗瓦，擴展了保罗·鲁菲尼和约瑟夫·拉格朗日先前的工作，依據特定多項式方程的根（解）的對稱...

\right)=0\!\ } 称多项式 p(λ) 为矩阵的特征多项式。上式亦称为矩阵的特征方程。特征多项式是关于未知数 λ 的 N 次多项式。由代数基本定理，特征方程有 N 个解。这些解的解集也就是特征值的集合，有时也称为“谱”（Spectrum）。 我们可以对多项式 p 进行因式分解，而得到 p (...

的第k差分，亦即： 每一多項式 ( t k ) {\displaystyle {\tbinom {t}{k}}} 在整數參數時均是整數值（可在 k {\displaystyle k} 上，用帕斯卡法則以歸納法証明）。故此，二項式係數多項式的整數線性組合亦為整數值。反之，(3.5)表達了任何整數值的多項式...

对称的图，例如佩特森图，不同的特征值的数目很少（佩特森图有3个不同的特征值，在直径相等的图中是最少的）。凯莱图的谱与群的结构直接相关，尤其是与不可约特征标相关。 最后，代数图论的第三个分支研究图不变量的代数性质，尤其是色多项式、Tutte多项式与扭结不变量。例如，图的色多项式计算了顶点着色的个数。佩特森图的色多项式为...