{B}}M} 这唯一一个对象的单位态射存在。可以将范畴这一概念视作幺半群之延伸概念。 任意有向图蕴含一个自然的小范畴，以图的顶点为对象，有向路径为态射，路径串联为态射复合。这被称作由有向图产生的「自由范畴」。 若I是一個集合，「在I上的具體範疇」會是個小範疇，其物件為I的元素，而態射則只有單位態射。當然，其態射複合的公理是必然滿足的。...

範疇論（英語：Category theory）是數學的一門學科，是关于数学结构及其关系的一般理论，以抽象的方法處理數學概念，將這些概念形式化成一組組的「物件」及「態射」。數學中許多重要的領域可以形式化為範疇。使用範疇論可以令這些領域中許多難理解、難捉摸的數學結論更容易敘述證明。 一个范畴...

由于范畴的存在，我们才能够将经验转化为知识，并提出一个范畴体系，分为四类（量、质、关系和样式）范畴。 範疇 (數學)，数学上一堆數學實體和存在於這些實體間的關係。 范畴论，數學的一門學科，指那些类似的数学对象以及它们之间的保持结构的映射。 范疇 (作家)，相關著作有《與中國無關》、《中國是誰的？從台北看北京》、《台灣是誰的？》等書。...

在範疇論這個數學領域中，集合範疇（標記為 Set）是一個對象為集合的範疇。集合 A 及 B 之間的態射族包含所有從 A 映射至 B 的函數。 集合範疇是許多其他範疇（如其態射為群同態的群範疇）的基礎，這些範疇均是在集合範疇的對象上附加其他結構，並限制其態射為特定函數而成。 已知一數學...

張量範疇（tensor category），或曰幺半範疇（monoidal category）， 直覺地講，是個配上張量積的阿貝爾範疇（abelian category），可當作環的範疇化。 數學中，一個張量範疇（tensor category，或稱幺半範疇 monoidal...

應用數學（英語：Applied Mathematics）是以應用為目的的明確的數學理論和方法的總稱，研究如何應用數學知識到其他範疇（尤其是科學）的數學分支，可以說是純數學的相反，應用純數學中的結論擴展到物理學等其他科學中，應用數學的發展是以科學為依據，作為科學研究的後盾。包括線性代數、矩陣理論、向...

在數學中，n-範疇是範疇在高階情形的推廣。（小）n-範疇組成的範疇 n-Cat 以下述方式遞迴定義： 0-Cat是集合範疇 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } (n+1)-範疇是全體在 n-Cat 上濃化的範疇組合的範疇，其張量範疇之結構由合成導出。 特例是小範疇及其間函子組成的範疇...

在數學中，阿貝爾範疇（或稱交換範疇）是一個能對態射與對象取和，而且核與上核存在且滿足一定性質的範疇；最基本的例子是阿貝爾群構成的範疇Ab。阿貝爾範疇是同調代數的基本框架。 阿貝爾範疇的公理版本繁多，在此僅取其一（見外部連結）。 一個範疇 A {\displaystyle {\mathcal {A}}}...

在數學中，一個範疇C的子範疇是一個範疇S，其物件為C內的物件，態射為C內的態射，且有相同的單位態射與態射複合。直觀上來看，C的子範疇是一個從C中「移去」部份物件和態射的範疇。 令C為一範疇。C的子範疇S給定於 C中物件的子類，標記為ob(S)， C中態射的子類，標記為hom(S)。使得...

在數學上，群範疇（表記為Grp或Gp）指的是以群為物件、以同態映射為態射，也因此這是個具體範疇，而研究這範疇的理論即是群論。 群範疇有兩個以群範疇為定義域的遺忘函子，其中一個是映射至幺半群的函子M: Grp → Mon；另一個是映射至集合範疇的函子U: Grp → Set。在這其中，M有兩個伴隨函子，其中一個I:...

純粹數學（pure mathematics）又称基础数学、理论数学，是一門專門研究數學本身，不以应用为目的的學問，相對概念为應用數學。 純粹數學被人視為严格、抽象和美丽，以數論、数理逻辑為其代表。自18世纪以来，純粹數學成为数学研究的一个特定种类，并随着探险、天文学、物理学、工程学等的发展而发展。...

数学是研究數量、结构以及空间等概念及其变化的一門学科，屬於形式科學的一種。數學利用抽象化和邏輯推理，從計數、計算、量度、對物體形狀及運動的觀察發展而成。數學家們拓展這些概念，以公式化新的猜想，以及從選定的公理及定義出發，嚴謹地推導出一些定理。 基礎數學的知識與運用是生活中不可或缺的一環。對數學...

儘管範疇論已成為現代數學的基礎，但在《數學原本》開始編寫時尚未出現，後來也沒有補回，因此《數學原本》不能使用範疇的語言。在最新一卷《代數拓撲》首次提到範疇，但甚為簡略，僅給出範疇和函子的定義，用作定義廣群，並無建立範疇論。在《譜理論》卷新出版的兩本分冊中，預告了正在準備《範疇論》等三卷。...

數學分支範疇論中，兩個範疇 C , D {\displaystyle {\mathcal {C,D}}} 之積，是集合的笛卡兒積的延申。乘積以 C × D {\displaystyle {\mathcal {C\times D}}} 表示，其結果又稱積範疇（英語：product category）。定義雙函子及多函子時，要用到積範疇。...

《數學評論》（英語：Mathematical Reviews）是美國數學學會發行的一份雜誌兼線上資料庫，內含數學、統計學與計算機科學領域出版品的摘要或評價。部份評論也有發行單行本。 《數學評論》於1940年創刊，旨在評審所有的數學研究出版品。至2007年11月為止，已收集超過220萬筆資料。作者群由...

在數學裡，具體範疇一般被認為是這樣的一種範疇，其物件為結構性的集合，態射為結構保持的函數，而態射複合則為函數複合。其形式定義並不和此直觀完全吻合。 集合與函數的範疇Set 當然為一具體範疇，因為每個集合都可以被認為戴有一個「當然結構」。更重要的例子還包括了拓樸空間和連續函數的範疇Top與群和同態的範疇Grp。...

在數學裡，拓撲空間範疇（通常標記為Top）是一個範疇，其物件為拓撲空間，態射為連續函數。拓撲空間範疇符合範疇的公理，因為兩個連續函數的複合函數依然是連續的。研究拓撲空間範疇及運用範疇論的技術來研究拓撲空間的性質之類的學科稱為「範疇拓撲學（categorical topology）」。...

在數學上，關係範疇（記做Rel）指的是以集合為物件、以二元關係為態射的範疇。 在這個範疇中，其態射 R : A ⟶ B {\displaystyle R:A\longrightarrow B} 是 A {\displaystyle A} 與 B {\displaystyle B} 之間的關係，因此...

群結構的代數簇，其簇之乘與逆由正則函數提供。以範疇論描述，一個代數群是一個於代數簇範疇 (數學)中的群對象。 在數學中，域 k {\displaystyle k} 上的代數群有幾種等價的描述： 光滑 k {\displaystyle k} -代數簇範疇中的群對象。 S p e c ( k ) {\displaystyle...

在集合論及其數學應用中，類（英語：class）是一組集合（或其他數學物件）所構成的整體。有些類是集合（例如由所有偶數構成的類），但有些則不是（如所有集合所構成的類），不是集合的類被稱之為真類（英語：proper class）。有些公理化集合论是以類為出發點來定義集合的，如冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论。...

日），英國數學家兼科學哲學家。他和赫爾曼·格拉斯曼發明了現在稱為幾何代數的範疇。數學物理上的克利福德代數以他命名。 先後入讀倫敦大學國王學院、劍橋大學三一學院。1867年，他在年終考試排第二。1871年，成為倫敦大學學院數學和力學教授，1874年成為英國皇家學會院士。1875年和小說家露西·藍恩結...

實際上，用文字形式寫成的數學證明，在大多數情況都可以視為非形式邏輯的應用。在證明論的範疇內，則考慮那些用純形式化的语言写出的證明。這個区别导致了对過往到現在的數學实践、數學上的擬經驗論（英语：Quasi-empiricism in mathematics）和民俗数学（英语：Folk mathematics）的大部分检验。...

金融數學（英語：Financial Mathematics）又称計量金融学（英語：Quantitative Finance）、数学金融学（英語：Mathematical Finance），是專為金融市場而設的应用数学。其本義上與金融經濟學的範疇有密切的關係，然而前者所涉及的領域比較狹隘，理念也比後者...

在數學的拓撲學領域中，同倫範疇是處理同倫問題時格外便利的範疇論語言。它的對象是拓撲空間，態射是連續函數的同倫類，這是商範疇的一個例子；由於同倫關係在映射的合成下不變，同倫範疇的定義是明確的。所有拓撲空間構成的同倫範疇通常記為 h T o p {\displaystyle \mathbf {hTop}...

在数学领域，预序范畴（记为Ord）指以全体预序集为对象、其上的全体单调函数为态射的范畴。由于任意单调函数的复合还是单调函数，故其满足构成范畴的前提条件。 Ord的单态射为单射单调函数。 Ord的始对象是空集（空集为预序集），终对象为任意单元素预序集。Ord无零对象。 Ord上的积为笛卡儿积和其上的积序所构成的预序集。...

數學物件（Mathematical object）是数学中的抽象概念。用數學的普通語言來說，對象是任何可以或已經用演绎推理和数学证明正式定義的物件。一般地，一個數學物件可以是一個能代入变数的值，從而可以用於公式裡。 經常遇到的數學物件包括数、集合、函数、表示式、几何形状、其他數學...

dispersion），各个变量值与集中趋势的偏离程度。 離散群，一個擁有離散拓樸的群。 離散範疇，一種唯一的態射是恆等態射的範疇。 離散數學，数学的几个分支的总称，專門研究一些沒有連續概念的數學結構。 离散优化，应用数学和计算机科学中优化问题的一个分支。 離散機率分布，一種機率分布擁有可數的隨機變數。 離散訊號，是在连续信号上采样得到的信号。...

在數學裡，Y 內一點y 在函數f : X → Y 之下的纖維是指單元素集合{y} 在f 之下的逆像，亦即指 f − 1 ( { y } ) = { x ∈ X : f ( x ) = y } {\displaystyle f^{-1}(\{y\})=\{x\in X:f(x)=y\}} 。也有人稱「f...

國際數學奧林匹亞（英語：International Mathematical Olympiad），簡稱IMO，是國際科學奧林匹亞歷史最長的賽事。1894年，匈牙利創辦全世界最早的中學數學競賽。1934年和1935年，蘇聯在其國內的列寧格勒和莫斯科舉辦中學數學競賽，並率先把这种数学...

Science）是中国大陆的一个数学类专业名，隶属于运算科学范畴。1987年运算数学专业更名为“运算数学及其应用软件”，1998年中国教育部将其更名为信息与计算科学，是以信息领域为背景，数学，统计学与信息学，计算机科学相结合的数学类专业。该专业培养的学生具有良好的数学...

在数学、尤其是同伦论中，模型范畴是带有弱等价、纤维化和上纤维化这三类态射的范畴，是从传统的拓扑空间或链复形的同倫範疇（即导出范畴）中抽象化得来。模型范畴的概念最初由丹尼尔·奎伦引入。 近年来，模型范畴的语言应用到了代数K理论和代数几何的部分研究中。在这些分支中，使用同伦论的研究方法得出过深刻的结果。...