代數曲線 f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0} ，其中 f ∈ F [ x , y ] {\displaystyle f\in F[x,y]} ，因此在探討曲線的雙有理幾何時僅須考慮平面曲線。 射影空間中的曲線可視作仿射曲線的緊化，它們帶有更好的幾何性質。在以上考慮的方程...

代数几何（英語：algebraic geometry）是数学的一个分支，经典代数几何研究多项式方程的零点。现代代数几何将抽象代数，尤其是交换代数，同几何学的语言和问题结合起来。 代数几何的基本研究对象为代数簇。代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。常见的例子有平面代数曲线...

也就是说，它有代数上定义的乘法，并且对该乘法形成阿贝尔群 – 其中 O即为单位元。 若 y 2 = P ( x ) {\displaystyle y^{2}=P(x)\,} ，其中P為任一沒有重根的三次或四次多項式，然後可得到一虧格1的無奇點平面曲線，其通常亦被稱為橢圓曲線。更一般化地，一虧格1的代數曲線，如兩個三維二次曲面相交，即稱為橢圓曲線。...

在代數幾何及數論領域，模曲線是一類緊黎曼曲面，同時也是定義於某數域上的射影代數曲線。模曲線是當代數論、表示理論及代數幾何中重要的課題。 「模曲線」一詞源於以下事實：模曲線參數化了一族橢圓曲線，因而是一種模空間。志村簇是模曲線在高維度的類比。 考慮上半平面 H := { z ∈ C : Im ( z...

四次平面曲线（quartic plane curve）是四次（英语：degree of a polynomial）的平面代數曲線，可以表示為以下的多變數四次方程： A x 4 + B y 4 + C x 3 y + D x 2 y 2 + E x y 3 + F x 3 + G y 3 + H x 2...

三次平面曲线（cubic plane curve）是指用以下三次函數定義的平面代數曲線 C F(x, y, z) = 0 針對射影平面會使用齐次坐标x:y:z，或是在仿射空间中的非齊次版本，會令上述方程中的z = 1。F是以下三次單項（英语：monomial）的非零線性組合 x3, y3, z3,...

在代數幾何中，一個代數群（或群簇）是一個擁有群結構的代數簇，其簇之乘與逆由正則函數提供。以範疇論描述，一個代數群是一個於代數簇範疇 (數學)中的群對象。 在數學中，域 k {\displaystyle k} 上的代數群有幾種等價的描述： 光滑 k {\displaystyle k} -代數簇範疇中的群對象。...

a^{-1}} 。 有理數、實數和複數都是體的例子。 代數一詞亦可用來稱呼不同的代數結構，包含有： 交換環上的代數 集合上的代數 布尔代數 範疇論內的F-代數和F-對偶代數 Σ代數 数学主题 維基教科書中的相關電子教程：代数 代數基本定理 電腦代數系統 Struik, Dirk J. (1987)....

{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}z+cxz^{2}+xz=dz^{3},\,} 在原點有一個普通雙點，因此牛顿三叉曲线是虧格為0的代數曲線。 J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications...

n} 为无理数，曲线在长方形 [ − a , a ] × [ − b , b ] {\displaystyle [-a,a]\times [-b,b]} 中稠密。 若 n {\displaystyle n} 为有理数， 曲线是 2 q {\displaystyle 2q} 次代数曲线若 ϕ ∈ ( 0...

瓦特曲線是指一個六次方程的平面代數曲線，也是圓代數曲線（英语：circular algebraic curve）。是由二個半徑為b ，圓心之間距離為2a（分別在(±a, 0)）的圓所產生，一個長為2c的線段，兩端點分別在二圓上，其線段中間的軌跡即為瓦特曲線，此曲線和詹姆斯·瓦特在蒸汽機上的貢獻有關。...

曲線上的奇點（英語：Singular point）是指曲線上參數無法光滑變化的部份。具体定義要視曲線的具体種類而定。 平面上的代數曲線可以定義為滿足方程f(x, y)=0的點的集合，其中f是多項式函數。 若f展開為以下的形式 f = a 0 + b 0 x + b 1 y + c 0 x 2 + 2...

Kappa曲线（kappa curve）也稱為Gutschoven曲線（Gutschoven's curve），是外形類似希臘字母ϰ的二維代數曲線，Gérard van Gutschoven在1662年就開始研究此一曲線。Kappa曲线是伊萨克·巴罗第一批用rudimentary calculus來判斷曲線...

point）或稱反曲点，是一條连续曲線由凸轉凹，或由凹轉凸的點，或者等價地說，是使切線穿越曲線的點。 決定曲線的拐點有助於理解曲線的外形，這在描繪曲線圖形時特別有用。 若曲線圖形在一點由凸轉凹，或由凹轉凸，則稱此點為拐點。直觀地說，拐點是使切線穿越曲線的點。 若該曲線...

1748年发表，但克拉默所使用的符号之優越性使得這一方法以「克拉默法則」之名為世人所知。他最著名的工作是在1750年發表關於代數曲線方面的權威之作。他最早證明一個第n度的曲線是由 n(n + 3)/2 個點來決定的。 Quelle est la cause de la figure elliptique...

曲线）或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合，该过程就叫做“拟合”，而得到的曲线方程就称为“拟合函数”。曲线拟合又译为：曲線配適、曲線貼合、曲線適插法，均有助理解其选择曲线方程（解析函数）来“模拟吻合”观测数据的过程。 曲線擬合中可以使用插值（需要精確吻合某數據時）或平滑（構造一個平滑的函數曲線...

{\displaystyle G} 的亏格是 G {\displaystyle G} 的任意（连通，无向）凯莱图的最小格。 有个任意代数曲线C的亏格的定义. 当定义C的域是复数，且C无奇点时，该定义和作为黎曼曲面的C的拓扑定义相同（其复数点组成的流形）.代数几何中的椭圆曲线的定义为亏格为1的非奇异曲线。 凯莱图 群 曲面...

在代數幾何中，雙有理幾何（英語：birational geometry）處理的是代數簇在雙有理等價之下不變的性質，也就是由其函數域決定的性質。這些性質包括維度、算術虧格、幾何虧格、小平維度等等。 任何曲線都雙有理等價於一條平滑射影曲線。平滑射影曲線之間的有理映射能延拓為態射，雙有理等價對應到同構；...

尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在。另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或複系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。 高斯一生总共对这个定理给出了四个证明，其中第...

在代数几何上，模问题用于描述代数簇所依赖的参数。对于这样一个参数使用模这一词和模形式相似：一个模形式通常是模空间（Moduli space，即其坐标为模的空间）上的某种微分形式（或者张量密度），因为这些形式通常有一个權重。 在椭圆曲线的情况，有一个模，所以模空间是代数曲线...

贝祖定理是代数几何中，用来描述两个代数曲线的交点个数的定理，定理说明两条互质的曲线X 和Y的交点个数等于它们次数的乘积。 William Fulton. Algebraic Curves (pdf). Mathematics Lecture Note Series. W.A. Benjamin. 1974:...

代數公理下所指之關聯性。實際上，頂點算子代數公設就是物理學家稱為chiral代數或 "chiral對稱代數"的正式代數解釋，而該對稱代數描述了由共形場論給出包含保守不變量的Ward恆等式。其餘頂點代數公理之公式包含博赫茲後續於奇異交換環的工作、由Huang, Kriz等提出於某曲線...

} 有一個特別的无穷远点（標示為∞）。座標會選定為特定的有限域，其特征不等於2或是3，也有可能是更複雜的曲線方程。 由椭圆曲线產生的集合是阿贝尔群，以无穷远点為單位元。此群的結構會繼承以下代数簇中除子的結構： D i v 0 ( E ) → P i c 0 ( E ) ≃ E , {\displaystyle...

代数几何与微分几何中，卡拉比–丘流形（Calabi–Yau manifold）是第一陈类为0的紧n维凯勒流形（Kähler manifolds），也叫做卡拉比–丘 n-流形。其是里奇平坦流形，在理论物理学中有应用；特别是在超弦理论中，时空的额外维度有时被猜测为6维卡拉比-丘流形的形式，从中产生了镜像...

希爾伯特第十六問題，是希爾伯特的23個問題之一。它分成兩個部份： 實代數曲線與曲面的拓撲結構 哈纳克在1876年證明了一個平面上 n {\displaystyle n} 次實代數曲線最多有 n 2 − 3 n + 4 2 {\displaystyle {\frac {n^{2}-3n+4}{2}}}...

數學上，別雷定理（英語：Belyi's theorem）是有關代數曲線的定理，指出任何用代數數係數定義的非奇異（英语：non-singular）代數曲線C，都代表這樣的一個緊黎曼曲面（英语：Compact Riemann surface），這黎曼曲面能作為黎曼球面的分歧覆蓋（英语：ramified...

genus）為0的代數曲線，其外形為類似8或是無限大符號的雙紐線。方程式為 x 4 − x 2 + y 2 = 0. {\displaystyle x^{4}-x^{2}+y^{2}=0.} 卡米爾-克里斯托夫·赫羅諾（英语：Camille-Christophe Gerono）曾研究過此一曲線。 因為曲線...

因此三尖瓣线是四階的代數曲線，在極坐標下為 r 4 + 18 a 2 r 2 − 27 a 4 = 8 a r 3 cos ⁡ 3 θ . {\displaystyle r^{4}+18a^{2}r^{2}-27a^{4}=8ar^{3}\cos 3\theta \,.} 曲線有三個奇點，是對應 t...

describing Plane Curves of the nth degree by Linkwork"，该文章表明，对于任意平面代数曲线，可以构建绘制该曲线的连杆。连杆和代数曲线之间的这种直接联系已被命名为肯普普适定理（英語：Kempe's Universality Theorem）。 Alfred B...

。值得注意的是，将非交换结合代数视作“非交换”空间上的函数代数是一种意义深远的几何直觉，尽管在形式上看像是谬误。 非交换代数几何的主要动机来自物理学，尤其是量子物理，当中可观察量代数被视作函数的非交换类似物，因此有动机观察其几何性质。非交换代数几何还为研究交换代数几何中的对象（如布饶尔群）提供了新技术。 非交换代数...

除了对于a=0以外，隐式方程形式存在一个孤立点(0,0)不存在于极坐标方程形式中。 它们是有理曲线、循环代数曲线、三次曲线。 这些表达式有一个渐近线x=1(a≠0)。离渐近线最远的点是(1+a,0)。(0,0)是一个结点(a<−1)。 曲线和渐近线之间的面积是( a ≥ − 1 {\displaystyle a\geq...