随机变量是一種数学概念，用来表示随机试验结果的变量。 随机变量通常用大写字母 X {\displaystyle X} 、 Y {\displaystyle Y} 表示。在各种随机试验中，每一个随机事件都可以用一个变量代替任何一个数值。例如擲骰子時擲出的点数是1,2,..,6中的一个，其中的任意一个点数都可以用变量...

分布函数，但这种称法可能会和累积分布函数(CDF)或概率质量函数(PMF)混淆。一般来说，PMF 用于离散随机变量（在可数集上取值的随机变量），而 PDF 用于连续随机变量。 对于一维实随机变量X，设它的累积分布函数是 F X ( x ) {\displaystyle F_{X}(x)} 。如果存在可测函数...

在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望，亦简称期望，物理学中称为期待值）是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和。换句话说，期望值像是随机试验在同样的机会下重复多次，所有那些可能狀態平均的结果，便基本上等同“期望值”所期望的數。期望值可能与每一个结果都不相等。换句话说，期望值是该变量...

CLT）是概率论中的一组定理。在概率论中，中心极限定理 (CLT) 確定的为，在许多情况下，对于独立并同样分布的随机变量，即使原始变量本身不是正态分布，标准化样本均值的抽样分布也趋向于标准正态分布。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从正态分布的条件。 Tijms (2004, p.169) 写到：...

在概率论和信息论中，两个随机变量的互信息（mutual Information，MI）度量了两个变量之间相互依赖的程度。具体来说，对于两个随机变量，MI是一个随机变量由于已知另一个随机变量而减少的“信息量”（单位通常为比特）。互信息的概念与随机变量的熵紧密相关，熵是信息论中的基本概念，它量化的是随机变量中所包含的“信息量”。...

變異數（英語：variance）又稱变异数、變方，在概率论及统计学中，描述的是一个随机变量的离散程度，即一组数字与其平均值之间的距离的度量，是随机变量与其总体均值或样本均值的离差的平方的期望值。方差在统计中有非常核心的地位，其应用领域包括描述统计学、推論統計學、假說檢定、度量拟合优度，以及蒙特卡洛采...

在機率論與統計學中，共變異數（英語：Covariance）用於衡量随机变量間的相關程度。 定義 —  設 Ω {\displaystyle \Omega } 為样本空间， P {\displaystyle P} 是定義在 Ω {\displaystyle \Omega } 的事件族 Σ {\displaystyle...

{\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}}}} 須注意並非所有隨機變量都具有標準差，因為有些隨機變量不存在期望值。 如果隨機變量 X {\displaystyle X} 為 x 1 , ⋯ , x n {\displaystyle x_{1},\cdots...

5，根据大数定理，在多次伯努利实验中，实验频率最后收敛于理论推断的概率值，对于伯努利随机变量，理论推断的成功概率就是期望值，而若对n个相互独立的随机变量的平均值，频率越多则相对越精准。 例如硬币投掷即伯努利实验，当投掷一枚均匀的硬币，理论上得出的正面向上的概率应是1/...

i.i.d.、IID）是指一组随机变量中每个变量的概率分布都相同，且这些随机变量互相独立。 一组随机变量独立同分布并不意味着它们的样本空间中每个事件发生概率都相同。例如，投掷非均匀骰子得到的结果序列是独立同分布的，但掷出每个面朝上的概率并不相同。 设随机变量的取值为 I ⊆ R {\displaystyle...

若k个随机变量 Z 1 {\displaystyle Z_{1}} 、......、 Z k {\displaystyle Z_{k}} 是相互独立且符合标准正态分布的随机变量（数学期望为0、方差为1），则随机变量Z的平方和 X = ∑ i = 1 k Z i...

在概率论和统计学中，一个概率分布的累积量κn(英語：Cumulant)是指一系列能够提供和矩一样的信息的量。累积量和随机变量的矩密切相关。如果两个随机变量的各阶矩都一样，那么它们的累积量也都一样，反之亦然。 对于随机变量 X {\displaystyle X} 而言，一阶累积量等于期望值 E ( x ) {\displaystyle...

相关（correlation）又称相关性、关联，在概率论和统计学中，指一种随机变量或现象与另一种或几种之间变动伴随关系。相关关系又称统计关系，一般会描述这些变量或现象关联程度的强度和方向。 在统计学中，相关的意义是：用来衡量两个变量相对于其相互独立的距离。在这个广义的定义下，有许多根据数据特点用来衡量数据相关性而定义的系数，称作...

布函数，是概率密度函數的积分，能完整描述一個實随机变量 X {\displaystyle X} 的概率分佈。 在標量連續分佈的情況下，它給出了從負無窮到 x {\displaystyle x} 的概率密度函數下的面積。 累積分佈函數也用於指定多元隨機變量（英语：Multivariate random...

如果这些条件成立，则k是泊松随机变量；k的分布是泊松分布。 服从泊松分布的随机变量，其数学期望与方差相等，同为参数 λ {\displaystyle \lambda }  : E ( X ) = V ( X ) = λ {\displaystyle E(X)=V(X)=\lambda } 兩個獨立且服从泊松分布的随机变量，其和仍然服从泊松分布。更精確地說，若...

Distribution）指在概率论和统计学的多维随机变量中，只包含其中部分变量的概率分布。 假设有一个和两个变量相关的概率分布： P ( x , y ) {\displaystyle P(x,y)} 关于其中一个特定变量的边缘分布则为给定其他变量的条件概率分布： P ( x ) = ∑ y P (...

在概率论中，霍夫丁不等式（英語：Hoeffding's inequality）适用于有界的随机变量，提供了有界独立随机变量之和偏离其期望值超过一定数量的概率的上限，即 max P ( X ¯ − E [ X ¯ ] ≥ t ) {\displaystyle \max \mathbb {P} ({\overline...

在概率论裡,一个离散随机变量的概率母函数是指该随机变量的概率质量函数的幂级数表达式。 如果 X {\displaystyle X} 是在非负整数域 { 0 , 1 , . . . } {\displaystyle \{0,1,...\}} 上取值的离散随机变量，那么 X {\displaystyle...

變異、變差（variation）、变率，是指一个分布或随机变量的拉伸或压缩程度。习惯上，“离散”常用来描述数据分布，而“變異”（指：變異數、方差）更常用来描述随机变量的变异程度。[需要解释]用以描述离散程度或變異的量主要有方差、標準差、變異系数和四分位距等。 离散程度与集中趋势相对，因此，离散度就是指各个变量值与集中趋势的偏离程度。...

概率论中有若干关于随机变量收敛（Convergence of random variables）的定义。研究一列随机变量是否会收敛到某个极限随机变量是概率论中的重要内容，在统计概率和随机过程中都有应用。在更广泛的数学领域中，随机变量的收敛被称为随机收敛，表示一系列本质上随机...

reduction）是指在某些限定条件下，降低随机变量个数，得到一组“不相关”主变量的过程。 降维可进一步细分为变量选择和特征提取两大方法。 变量选择假定数据中包含大量冗余或无关变量（或称特征、属性、指标等），旨在从原有变量中找出主要变量。现代统计学中对变量选择的研究文献，大多集中于高维回归分析（英语...

{\displaystyle \sigma } 可解释尺度參數，決定了分布的幅度。 中心极限定理指出，在特定条件下，一个具有有限均值和方差的随机变量的多个样本(观察值)的平均值本身就是一个随机变量，其分布随着样本数量的增加而收敛于正态分布。因此，许多与独立过程总和有关的物理量，例如测量误差，通常可被近似为正态分布。...

随机的信源的熵越大。）来自信源的另一个特征是样本的概率分布。这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息。由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的。事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量...

在贝叶斯统计中，一个随机事件或者一个不确定事件的后验概率（Posterior probability）是在考虑和给出相关证据或数据后所得到的条件概率。同样，后验概率分布是一个未知量（视为随机变量）基于试验和调查后得到的概率分布。“后验”在本文中代表考虑了被测试事件的相关证据。 后验概率是在给定证据...

在機率論以及相关领域中，隨機過程（英語：Stochastic process 或 Random process）通常定义为概率空间中一列随机变量，其中序列的指标集通常可以理解为时间。很多出现随机变化现象的系统可以用随机过程的数学模型所描述，例如菌群数量的变化，由热噪声导致的电流大小的波动，或者气体粒子的运动。随机...

distribution），又名两点分布或者0-1分布，是一個離散型概率分布，為紀念瑞士科學家雅各布·伯努利而命名。若伯努利試驗成功，則伯努利隨机變量取值為1。若伯努利試驗失敗，則伯努利隨机變量取值為0。記其成功概率為 p ( 0 ≤ p ≤ 1 ) {\displaystyle p(0\leq p\leq 1)} ，失敗概率為...

使用時可以有以下兩種含義： 廣義地，它指稱：隨機變量的概率性質——當我們說概率空間 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} 中的兩個隨機變量X和Y具有同樣的分布時，我們是無法用概率 P {\displaystyle...

随机性（英語：Randomness）这个词是用来表达目的、动机、规则或一些非科学用法的可预测性的缺失。 一个随机的过程是一个不定因子不断产生的重复过程，但它可能遵循某个概率分布。 术语随机经常用于统计学中，表示一些定义清晰的、彻底的统计学属性，例如缺失偏差或者相關。随机与任意不同，因为“一个变量...

在概率论中, 对定义在相同样本空间的两个随机变量 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} ，其联合分布是同时对于 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 的概率分布。 对离散随机变量而言，联合分布概率质量函数为 P r...

y;w)}}}.} 我们总是可以通过一定的线性变换去除随机变量之间的相关性, 即便变量间的关系是非线性的。 Cox & Hinkley给出了在总体相关系数中的表达形式。 与此相应的，样本相关系数也存在这样的结论，使得样本相关系数变为0。假设长度为 n 的随机变量被随机采样 m 次。 令 X 是一个矩阵，其中 X...

在概率论中，条件期望是一个实数随机变量的相对于一个条件概率分布的期望值。换句话说，这是给定的一个或多个其他变量的值一个变量的期望值。它也被称为条件期望值或条件均值。 条件期望的概念在柯尔莫哥洛夫的测度理论概率论的定义很重要。条件概率的概念是由条件期望来定义的。 设 X {\displaystyle X}...