抽象代数学の分野である環論におけるイデアル（英: ideal, 独: Ideal）は環の特別な部分集合である。整数全体の成す環における、偶数全体の成す集合や 3 の倍数全体の成す集合などの持つ性質を一般化したもので、その部分集合に属する任意の元の和と差に関して閉じていて、なおかつ環...

数学、特に抽象代数学の一分野である環論における可換環（かかんかん、英: commutative ring）は、その乗法が可換であるような環をいう。可換環の研究は可換環論あるいは可換代数学と呼ばれる。 いくつか特定の種類の可換環は以下のようなクラスの包含関係にある。 可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解環 ⊃ 単項イデアル整域...

イデアルを使って剰余環を作り、単純環に帰着するなど）。こういった抽象的な性質に加えて、環論では可換環と非可換環を様々な点で分けて考える（前者は代数的数論や代数幾何学の範疇に属する）。特に豊かな理論が展開された特別な種類の可換環として、可換体があり、独自に体論...

ウィキブックスに環論関連の解説書・教科書があります。 数学において、環論（かんろん、英: ring theory）は（加法と乗法が定義され、整数の持つ性質とよく似た性質を満足する代数的構造である）環を研究する学問分野である。環論の研究対象となるのは、環の構造や環の表現（環上の加群）などについての一般論...

素イデアル（そイデアル、英: prime ideal）は、環のイデアルで、ある条件を満たすものである。歴史的には、素数（素元）の概念の拡張としてデデキントによって代数体の整数環に対して定義された。整数環（一般にデデキント環（英語版））のすべてのゼロでない（整）イデアルは、素イデアル...

の数論の拡張にむけて多大な努力が支払われた。また19世紀後半にダフィット・ヒルベルトは、多項式イデアルが有限生成であることを示し、ラスカー、ジェームズ・マコーレーは、多項式イデアルの準素イデアル分解に関する研究をおこなった。その後、日本の園正造は、可換環論の抽象化に邁進するとともにデデキント環...

環 R の極大左イデアル（きょくだいひだりいである、英: maximal left ideal）とは、R 以外の左イデアルの中で（集合の包含関係に関して）極大なもののことである。すなわち、左イデアル I を真に含む左イデアルが R しかないときに I を R の極大左イデアルという。極大右イデアル...

イデアル類群（イデアルるいぐん、英: ideal class group）あるいは類群（るいぐん、英: class group）とは、イデアルの類（英: ideal class）と呼ばれる(分数)イデアルの同値類と、それらの間の積によって定まる群のことであり、主に整数論において用いられる。イデアル...

代数学において単項イデアル整域（たんこうイデアルせいいき、あるいは主イデアル整域、英: principal ideal domain; PID）あるいは主環（しゅかん、仏: anneau principal）とは、任意のイデアルが単項イデアルである（可換）整域のことである。 より一般に、任意のイデアルが単項イデアル...

数学、とくに可換環論において可換環のクルル次元（クルルじげん、英: Krull dimension）とは、素イデアルのなす減少列の長さの上限である。ヴォルフガング・クルルに因んで名づけられた。文脈から明らかなときには単に次元と呼ぶことも多い。 以下、環はすべて可換とする。環 R における素イデアル p {\displaystyle...

数学、特に可換環論において、分数イデアル（英: fractional ideal）の概念は整域の文脈で導入され、特にデデキント整域の研究において成果が多い。ある意味で、整域の分数イデアルは分母が許されたイデアルのようなものである。分数イデアルと普通の環のイデアルがともに議論に出てくるような文脈では、明確にするために後者を整イデアル...

環であればよく、その意味で環上の加群の概念は重大な一般化になっている。可換環論における重要な概念であるイデアルおよび剰余環は、いずれも環上の加群とみることができ、イデアルや剰余環に関するさまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。非可換環論では、イデアル...

1983) Vorlesungen の1879年と1894年の版は環論で基本的なイデアルの概念を導入する補遺を含んだ（環 (Ring) という単語は後にヒルベルトによって導入され、デデキントの仕事には現れない）。デデキントはイデアルを、数の集合の部分集合であって、整数係数の多項式方程式を満たす代数...

主イデアル（英: principal ideal）、あるいは単項イデアルとは、環 R の単一の元 a により生成された R のイデアル I のことを言う。（要するに、単元生成されたイデアルを主イデアルと言う。） R の左主イデアル (left principal ideal) は、Ra = {ra :...

抽象代数学において，環 R 上の加群 M に伴う素イデアル（英: associated prime）あるいは M の素因子とは，M の（素）部分加群の零化イデアルとして生じる R の素イデアルのタイプである．素因子全体の集合は通常 AssR(M) と書かれる． 可換環論において，素因子は可換ネーター環におけるイデアル...

数学の一分野である可換環論において、イデアル I の根基（英: radical）とは、イデアルであって、何乗かすれば I の元となるような元全体の集合である。根基イデアル（あるいは半素イデアル、被約イデアル）とは、自分自身の根基と等しいようなイデアルのことである（これは「根基化」と呼ばれるイデアル...

数学において、単項右（左）イデアル環、主右（左）イデアル環 (principal right (left) ideal ring) は環 R であってすべての右（左）イデアルがある x ∈ R に対して xR (Rx) の形であるようなものである。（1つの元で生成されたこの形の右と左のイデアルは単項イデアル...

環 Z や体上の多項式環 K[x] などは一意分解環である（中学で学習する多項式の因数分解とは、通常有理数体 Q 上の一変数多項式環における素元分解のことである）。これらの環はユークリッド環にもなっているが、一般にユークリッド整域は単項イデアル整域であり、単項イデアル整域は一意分解環になる。...

f(y)]} と整合している線型写像を言う。リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} とイデアル I が与えられると、環の理論のように、イデアルはちょうど準同型の核であり、商代数 (factor algebra) g / I {\displaystyle {\mathfrak...

環は可除環、斜体、あるいは体と呼ばれる。 環として、体は整域の特別なタイプとして分類でき、以下のようなクラスの包含の鎖がある。 可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解環 ⊃ 単項イデアル整域 ⊃ ユークリッド環 ⊃ 体 ⊃ 有限体 体をアルファベットで表すときは、K（続いて...

可換環論（次元論）において、クルルの単項イデアル定理（英: Krull's principal ideal theorem, Krull's Hauptidealsatz）は、ネーター環の素イデアルの高さについての基本的な定理である。 ネーター環 A の単項イデアル I の極小素因子（I を含む極小素イデアル）の高さは...

例：次数付き環はそれ自身の上の次数付き加群である。次数付き環のイデアルが斉次であることと次数付き部分加群であることは同値である。定義によって部分環が次数付き部分環であることと次数付き部分加群であることは同値である。次数付き加群の零化イデアルは斉次イデアルである。 例：次数付き環から次数付き環...

環論という抽象代数学の分野において、環 R の極小右イデアル (minimal right ideal) とは、他の 0 でない右イデアルを含まない 0 でない右イデアルのことである。同様に、極小左イデアル は R の他の 0 でない左イデアルを含まない R の 0 でない左イデアルで、R の極小イデアルとは...

上の合同関係である。この合同関係の定めるイデアルは、環論の意味での f の核に他ならない。注意すべきは、圏論的核は（零射が存在しないから）Ring において意味を為さない。 p-進整数環 Zp は整数の合同類環 Z/pnZ の成す列の Ring における逆極限である。 数学においてよく知られた多くの圏と異なり、環の圏 Ring...

抽象代数学における局所環（きょくしょかん、英: local ring）は、比較的簡単な構造を持つ環であり、代数多様体や可微分多様体上で定義される関数の、あるいは代数体を座や素点上の関数として見るときの「局所的な振る舞い」を記述すると考えられるものである。局所環およびその上の加群について研究する可換環論の一分野を局所環論と呼ぶ。...

数学の一分野、環論における商環（しょうかん、英: quotient ring）、剰余環（じょうよかん、英: factor ring）あるいは剰余類環（じょうよるいかん、英: residue class ring）とは、群論における剰余群や線型代数学における商線型空間に類似した環の構成法およびその構成物である。すなわち、はじめに環...

ガウス整数環における素因数分解の一意性は、ガウスが初めて証明した。現代的には、環論の用語を用いて次のように証明するのが一般的である。 ガウス整数環はノルムに関してユークリッド整域である。一般にユークリッド整域は単項イデアル整域であり、単項イデアル整域は素元分解整域である。したがって、ガウス整数環は素元分解整域である。...

によって得られる。 多項式環の素イデアルが Kn の既約部分多様体に対応する。 可換環論における基本的な手法の一つは、環の性質をその部分環の性質に関連付けることである。R ⊂ S なる記法で環 R が環 S の部分環であることを示唆することにする。この場合 S は R の拡大環や上にある環 (overring)...

環論や抽象代数学において、環準同型（英: ring homomorphism）は2つの環の間の構造を保つ関数である。 きちんと書くと、R と S が環であれば、環準同型は以下を満たす関数 f : R → S である。 R のすべての元 a と b に対して、f(a + b) = f(a) + f(b)...

連立方程式系で定まる点集合の幾何学的（集合論的）情報は、その多項式系が生成するイデアルから定まる座標環の環論的情報と等価（圏同値）であることを意味している。代数的閉でない体上では「点が足りない」ために点集合としての代数的集合は十分な情報を持たないが、座標環は純代数的に定義できるので、体が代数的閉で...

数学の一分野である環論において、半素イデアルと半素環は素イデアルと素環の一般化である。可換環論においては、半素イデアルは根基イデアルとも呼ばれる。 例えば、有理整数環において、半素イデアルは、零イデアルと、n を square-free な整数として n Z {\displaystyle n\mathbb...