関数解析学において、有界作用素のスペクトルは、行列における固有値の概念の一般化である。特に、λI − T が可逆でなければ、λ ∈ C を有界線形作用素 T のスペクトルという。ただし I は恒等関数とする。スペクトル及びスペクトルに関連する研究は、スペクトル...

プロジェクト 数学 ポータル 数学 関数解析学（かんすうかいせきがく、英: functional analysis、仏: Analyse fonctionnelle、函数解析学とも書かれる。別名は位相解析学。）は数学（特に解析学）の一分野で、フーリエ変換や微分方程式、積分方程式などの研究に端を発して...

原色 スペクトル色 プリズム 分散 (光学) 虹 分光法 スペクトル理論 - スペクトルに関する数学理論 スペクトル (関数解析学) スペクトル分析 - 経済学における分析手法 スペクトル楽派 - 音波をスペクトル解析し音楽に用いる、現代音楽の潮流の一つ フラウンホーファー線 ハイパースペクトルイメージング...

数解析学においては主にヒルベルト空間やバナッハ空間上の（必ずしも写像でない部分写像の意味での）線型変換を単に作用素と呼ぶ。そのような空間として特に函数空間と呼ばれる函数の成す無限次元線型空間は典型的であり（同じものを物理学...

数学において実解析（じつかいせき、英: Real analysis）あるいは実関数論（じつかんすうろん、英: theory of functions of a real variable）はユークリッド空間(の部分集合)上または(抽象的な)集合上の関数について研究する解析学の一分野である。現代の実解析では、関数...

物理学では多くの場合、通常の関数に対してはそのフーリエ変換またはフーリエ級数を求めることをスペクトル解析と呼ぶ。確率過程に対してはそのスペクトル密度（ウィーナー＝ヒンチンの定理より、これは相関関数のフーリエ変換に等しい）を求めることをスペクトル解析...

恒星を放射する電磁波のスペクトルで分類したもの 数学において、様々な意味で用いられる。スペクトルとも。そのうちの一部を挙げる。 環のスペクトル - 環の素イデアル全体の集合 行列のスペクトル - 固有値全体からなる多重集合 スペクトル (関数解析学) - 有界線型作用素のスペクトル（行列のスペクトルの一般化）...

スペクトル密度（スペクトルみつど、英: spectral density）は、信号を構成する成分を周波数の関数として表したものであり、単にスペクトルと言うこともある。成分として信号の全エネルギーについて表したものをエネルギースペクトル密度（英: energy spectral...

数学の関数解析学の分野において、あるバナッハ空間 X {\displaystyle X} （関数解析学における基本概念の一つ）上の線型作用素 T {\displaystyle T} のスペクトルは、作用素 T − λ {\displaystyle T-\lambda } が X {\displaystyle...

クトル空間を成す。 ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元（大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの）によって特徴づけられる。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に関数をベクトル...

解析を生んだ。 これらの違いはフーリエ解析とのつながりに見ることができる。実数直線上のフーリエ変換は、ある意味では微分作用素としての微分のスペクトルに関する理論である。しかし、物理現象を説明しようとすると、（ゲルファントの三つ組のような）一般化された固有関数...

めには、多分に空間の位相とそれに基づく解析学が必要となる。無限次元の線型代数学は関数解析学と呼ばれる。これは、無限次元のベクトル空間がある空間上の関数全体の集合として典型的に現れるからである。応用は多岐に渡るが、経済学に登場する産業連関表や、量子力学において物理量を行列として表現する手法など、20...

スペクトル論も関数のフーリエ変換のある種の側面を下支えしている。フーリエ解析ではコンパクト集合上定義された関数を（ヴァイオリンの弦や太鼓の皮の振動に対応する）ラプラス変換の離散スペクトルに分解するのに対して、関数のフーリエ変換はユークリド空間の全域で定義された関数をラプラス作用素の連続スペクトル...

流体力学、天体力学、弾性理論、振動理論、熱力学、電磁気学、空気力学などが含まれる。 原子スペクトルの理論、（及び後の量子力学）は、線型代数学、作用素のスペクトル理論、さらには関数解析学などの数学的分野とほとんど同時に発展した。これらは数理物理学の別な領域を構成している。...

自己相関関数とスペクトル密度関数 周波数領域の系列の分析としてのフーリエ変換 ノイズを除去するデジタルフィルタの使用 主成分分析（または経験直交関数分析） 人工ニューラルネットワーク 時間-周波数解析手法: 連続ウェーブレット変換 短時間フーリエ変換 Chirplet変換 非整数次フーリエ変換 カオス解析...

フーリエ解析 フーリエ変換: ある信号を、異なる周波数の正弦波による線形結合へと変換する処理・関数 周波数スペクトル ケプストラム 時間周波数解析: 時間とともに変化する信号 (非定常信号) を、その周波数成分がどう遷移するか短時間ごとに区切って変換し、解析する手法 手法 フーリエ解析 短時間フーリエ変換/ガボール変換:...

ISBN 4431712283 下巻: ISBN 443171233X ^ a b c d e f g h i j k l m 闘いの世紀を生きた数学者 ^ a b c d ブリタニカ国際大百科事典2013小項目版「シュヴァルツ」より。 解析学 超関数 シュワルツ超関数 関数解析学 ブルバキ 表示 編集...

という。ヒルベルト空間論において線型作用素 あるいは線型演算子と呼ばれるものは線型変換であり、やはりその固有値や固有ベクトルを考えることができる。固有値という言葉は無限次元ヒルベルト空間論や作用素代数におけるスペクトルの意味でもしばしば使われる。 現在では、固有値の概念は行列論と絡めて導入されることが多いものの、歴史...

吉田耕作、河田敬義・岩村聯『位相解析の基礎』岩波書店、1960年。ISBN 4-00-005025-7。http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/7/0050250.html。  吉田耕作、加藤敏夫『応用数学　大学演習　第1』裳華房、1961年。  吉田耕作、伊藤清三 編『函数解析と微分方程式』岩波書店〈現代数学演習叢書...

エルミート作用素の固有値は必ず実数である。また、相異なる固有値に属する固有ベクトル同士は直交している。とくに、エルミート行列はユニタリ行列によって実対角行列へと対角化することができる。無限次元ヒルベルト空間上の自己共役作用素で連続スペクトルを持つものの場合には、この固有空間分解はスペクトル測度の概念によって一般化される。...

関数で負符号も許す実数に値をとるものは符号付測度と呼ばれる。同様の関数で複素数に値をとるものは複素測度と呼ばれる。バナッハ空間に値をとる測度はスペクトル測度 (spectral measure) と呼ばれ、主に関数解析学においてスペクトル定理 (spectral theorem)...

数学の、特に線型代数学や函数解析学の分野において、スペクトル定理（スペクトルていり、英: spectral theorem）とは、線型作用素あるいは行列に関する多くの結果である。大雑把に言うと、スペクトル定理は、作用素あるいは行列が対角化可能（すなわち、ある基底において対角行列として表現可能）とな...

数学の、特に関数解析学の分野におけるバナッハ環（バナッハかん、英: Banach algebra; バナッハ代数、バナッハ多元環、バナッハ線型環）は、完備ノルム体（ふつうは実数体 R または 複素数体 C）上の結合多元環 A であって、バナッハ空間（ノルムが存在し、ノルムの誘導する位相（ドイツ語版...

スペクトル分析（スペクトルぶんせき、スペクトラル分析とも）とは、信号の特徴を周波数領域で解析する手法である。すなわち、時系列データをそれを構成する周波数の異なる周期的な波 (三角関数) の和 (スペクトラム) に変換し、その特徴を分析する手法である。 もとの時系列データの値と、周期および強度（振幅...

大石進一 (1997), 非線形解析入門, コロナ社. （PDEの精度保証付き数値解法で用いる関数解析の知識を詳述している） 中尾充宏，渡部善隆：「実例で学ぶ精度保証付き数値計算」、サイエンス社（SGCライブラリ 85）、（2011年10月25日）。 プロジェクト 数学 ポータル 数学 INTLAB...

関数のフーリエ変換は周波数応答関数を与える。周波数応答関数はある周波数の電磁波が吸収される程度を表す関数であるから、これはNMRスペクトルに他ならない。それゆえにインパルス（パルス状の電磁波）を試料に当ててすべての核を一斉に励起し、その結果生じる磁化ベクトルの変化、すなわち自由誘導減衰...

調和解析や数論において、保型形式（ほけいけいしき、英: automorphic form）は、位相群 G 上で定義された複素数（あるいは複素ベクトル空間）値の函数で、離散部分群 Γ ⊂ G の作用の下に不変なものである。保型形式は、ユークリッド空間における周期函数（これは離散位相群としての 1...

線型代数学および函数解析学における射影作用素あるいは単に射影（しゃえい、英: projection）とは、いわゆる射影（投影）を一般化した概念である。有限次元ベクトル空間 V の場合は、V 上の線型変換 P: V → V であって、冪等律 P2 = P を満たすものを言う。ベクトル v の像 Pv を...

抽象代数学と代数幾何学において，可換環 R のスペクトル Spec(R) とは，R のすべての素イデアルからなる集合である．通常ザリスキー位相と構造層をともに考え，それにより Spec(R) は局所環付き空間である．この形の局所環付き空間はアフィンスキームと呼ばれる． 可換環 R の任意のイデアル I...

分方程式ではすでに幻影解が報告されているので、常微分方程式でも警戒が必要である。偏微分方程式の時と同様に関数解析学的な手法も考えられるが、関数解析学に頼らない手法 (例えば狙い撃ち法、スペクトル法やアフィン演算など) に基づく研究が主流であり、欧米などの海外のみならず日本国内でも研究されている。また、爆発解...

theorem）は、有界な整関数は定数関数に限るということを主張する複素解析の定理である。ジョゼフ・リウヴィルにちなむ。整関数とは複素平面全体において正則（複素微分可能）な関数をいう。有界であるとは、ある実定数 M が存在して、任意の複素数 z に対して |f(z)| ≤ M となることをいう。 f(z) を整関数で、M...