張量範疇（tensor category），或曰幺半範疇（monoidal category）， 直覺地講，是個配上張量積的阿貝爾範疇（abelian category），可當作環的範疇化。 數學中，一個張量範疇（tensor category，或稱幺半範疇 monoidal...

在抽象代數中，幺半群，又稱為單群、亞群、独异点、具幺半群或四分之三群（英語：Monoid）是指一個帶有可結合二元運算和單位元的代數結構。 么半群在許多的數學分支中都會出現。在幾何學中，幺半群捉取了函數複合的概念；更確切地，此一概念是從範疇論中抽象出來的，之中的幺半群是個帶有一個物件的範疇。幺半...

在範疇論中，一個預可加範疇是使得任兩個對象間的態射集 H o m ( A , B ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)} 帶有交換群結構，並使得態射合成為雙線性運算之範疇。 形式地說，預可加範疇是在交換群的么半範疇上濃化的範疇。預加法範疇有時亦稱Ab-範疇...

任一么半群都會形成一個具單一個物件x的小範疇（此處的x是任一個固定的集合）。從x至x的態射恰好是么半群的元素，且其態射複合由么半群的運算所給定。么半群令態射絕不可能為函數，唯一從單元素集合x至x的函數為當然函數。可視範疇為廣義化了的么半群；一些和么半群有關的定義和定理也可能可以義廣化成範疇的定義和定理。 任一有向圖都會產生一個小範疇...

在數學上，群範疇（表記為Grp或Gp）指的是以群為物件、以同態映射為態射，也因此這是個具體範疇，而研究這範疇的理論即是群論。 群範疇有兩個以群範疇為定義域的遺忘函子，其中一個是映射至幺半群的函子M: Grp → Mon；另一個是映射至集合範疇的函子U: Grp → Set。在這其中，M有兩個伴隨函子，其中一個I:...

更一般地，一抽象幺半群(半群)S被稱做是自由的，若其與某一集合上的自由幺半群(半群)同構。 如其名稱所述，自由幺半群(半群)為滿足定義了自由对象的泛性質的物件，在幺半群(半群)的範疇裡。它允許每一個么半群(半群)都會是某一自由幺半群(半群)的同態映像。研究半群為自由半群的映像的學科稱做組合半群理論。...

如上所述，全體阿貝爾群構成一個阿貝爾範疇Ab，而有限生成阿貝爾群構成的滿子範疇也是阿貝爾範疇，有限阿貝爾群亦同。 設 R {\displaystyle R} 為環，則左（或右） R {\displaystyle R} -模範疇構成一個阿貝爾範疇；根據Mitchell嵌入定理，任何小的阿貝爾範疇皆價於某個 R {\displaystyle...

× X {\displaystyle X\times Y\simeq Y\times X} 上述为构成一个交换幺半群的条件。 Set的积为集合的笛卡儿积。 由偏序构成的范畴：一组元素的积为该组元素的最大下界。 泛性质 上积 – 积的对偶概念 极限与上极限 Equalizer 反极限 笛卡儿闭范畴...

範疇論（英語：Category theory）是數學的一門學科，是关于数学结构及其关系的一般理论，以抽象的方法處理數學概念，將這些概念形式化成一組組的「物件」及「態射」。數學中許多重要的領域可以形式化為範疇。使用範疇論可以令這些領域中許多難理解、難捉摸的數學結論更容易敘述證明。 一个范畴...

{\displaystyle \Delta } 等同于在单个幺半生成元自由生成幺半范畴。这个表述在理解一个幺半范畴中的任何余幺半对象如何给出一个单纯对象时有用，因为它可以视为从 Δ o p {\displaystyle \Delta ^{op}} 到包含那个余幺半对象的幺半范畴的函子。类似地，这也说明了从 Monad（从而伴随函子）构造单纯集合，因为...

數學的分支範疇論中，單子（英語：monad），又稱三元組（triple, triad）、標準構造（standard construction）、基本構造（fundamental construction），是一個內函子（英语：endofunctor）（即由某範疇映到自身的函子），連同滿足特定連貫條件（英语：coherence...

-act是幺半群在集合上的乘法性运算。从代数结构的观点来看，它非常接近于群作用的概念。从计算机科学的观点来看，它是只有输入没有输出的自动机。从范畴论的观点来看，作用是如范畴上的函子般重要。 这个概念也叫做S-集合、M-集合、M-操作数、S-系统、S-自动机、转移系统、算子幺半群、变换半群或转移幺半...

范畴的2-同构。这些n-同构必须在态射集间有很好的表现，弱n-范畴在表达这一点上存在困难。弱2-范畴也称作双范畴，是第一个有明确定义的。它们的一个特殊性是，只有一个物件的双范畴其实就是幺半范畴，所以双范畴也可以说是“有许多物件的幺半范畴”。弱3-范畴也称作三范畴...

A\implies B} 而言，關係範疇是個閉幺半範疇（英语：Closed monoidal category）。 關係範疇是Peter J. Freyd與Andre Scedrov在1990年給出的代數結構寓範疇（英语：Allegory (mathematics)）的原型，他們自正則範疇（英语：regular...

數學分支範疇論中，兩個範疇 C , D {\displaystyle {\mathcal {C,D}}} 之積，是集合的笛卡兒積的延申。乘積以 C × D {\displaystyle {\mathcal {C\times D}}} 表示，其結果又稱積範疇（英語：product category）。定義雙函子及多函子時，要用到積範疇。...

么半群中的元素，且其在範疇中的複合則可以視為是么半群中的運算。此時這類範疇間的函子無非是么半群間的同態。在此意義下，任意範疇間的函子可被視為是么半群同態至多於一個对象的範疇的一種廣義化。 雙函子是函子概念在「雙變元」時的推廣。形式的定義則定義在兩個範疇的積上的函子 F : A...

在數學裡，具體範疇一般被認為是這樣的一種範疇，其物件為結構性的集合，態射為結構保持的函數，而態射複合則為函數複合。其形式定義並不和此直觀完全吻合。 集合與函數的範疇Set 當然為一具體範疇，因為每個集合都可以被認為戴有一個「當然結構」。更重要的例子還包括了拓樸空間和連續函數的範疇Top與群和同態的範疇Grp。...

構（帶有限操作）而言，它也屬泛代數的一支，例子包括自由群、張量代數與自由格。在範疇論的框架下，可以將自由對象推廣為自由函子，這是遺忘函子的左伴隨函子。 範疇論為自由對象提供了普遍框架。考慮一種代數結構（如群、模等等）的範疇 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 。其上具有一個遺忘函子...

在數學裡的範疇論中，極限（英語：Limit）的概念融貫了多種構造，包括和、積等等；範疇論中許多泛性質也可從極限來理解。 極限分為極限與餘極限（又稱上極限），彼此的定義相對偶。在不同場合的別名及英譯如下表： 本條目用語取歸納極限與射影極限。 一範疇 C 中的極限及上極限可用 C 中的圖示來定義。形式上，C...

在數學的範疇論中，自然變換是將一個函子變為另一個函子，使相關範疇的內在結構（就是態射間的複合）得以保持。因此可以將自然變換視為「函子間的態射」。這一看法其實也能形式化，定義出函子範疇。自然變換與範疇及函子一樣，都是範疇論很基本的概念。 設C和D是範疇，F和G是C和D之間的函子。一個從F到G...

高阶范畴论的想法（至少当高阶态射可逆时）是，与范畴的标准定义不同，两个对象间应有一个映射空间（而非映射集）。这表明，高阶范畴应该只是拓扑增广范畴。然而，准范畴的模型要比拓扑增广范畴的模型更适合应用，尽管雅各·卢里已经证明两者對應的模型範疇是奎伦等价的。 准范畴C...

product，见点积（英語：dot product），又名数量积（英語：scalar product）和标量积，常寫為 A → ⋅ B → {\displaystyle {\vec {A}}\cdot {\vec {B}}} Interior product，见内乘 Internal product，见幺半范畴 外积...

范畴论的元素（英語：element），或点（英語：point），将集合论中集合元素的概念更推广到任何范畴的对象。通常情况下，这一想法重新表述了泛性质态射（如單態射和积）的定义及属性，用更普遍的术语映射其与元素的关系，從而使態射和元素可以互相轉換。米田引理和米切尔嵌入定理（英语：Mitchell's embedding...

idN o f（其中"o"為函數複合）。特別地是，idM會是所有由M至M的函數所組成之幺半群的單位元。 因為幺半群的單位元是唯一的，也可以反過來把M上的恆等函數定義為這個幺半群的單位元。此一定義廣義化成了於範疇論中恆等態射的概念，其中M的自同態並不必然是函數。 於正整數上的恆等函數為一數論中的完全積性函數。...

以上假設核的意義如同抽象代數中，解作某函數作用下， 0 {\displaystyle 0} 的原像，但在範疇論定義中，並不一定。 等化子可以用泛性質定義，以將此概念從集合範疇推廣到任意的範疇。 一般地，在任意範疇中，設 X , Y {\displaystyle X,Y} 為物件，而 f , g {\displaystyle...

数学中，范畴化是将集合论的定理替换为范畴论类似物的过程。成功的范畴化会将集合替换为范畴，将函数替换为函子，将方程替换为自然变换或函子。 范畴化的逆叫做“去范畴化”，是将范畴内同构的物件在态射意义下视同相等的系统化过程。去范畴化往往比范畴化更简单。李代数的表示论和特定代数上的模都是这种研究的合适物件。...

在抽象代数中，半环是类似于环但没有加法逆元的代数结构。偶尔使用术语 rig - 这起源于一个笑话，rig 是没有 negative 元素的 ring。 半环是装备了两个二元关系 + 和 · 的集合 R，有着: (R, +) 是带有单位元 0 的交换幺半群: (a + b) + c = a + (b...

在範疇論中，函子 F , G {\displaystyle F,G} 若滿足 H o m ( F ( − ) , − ) = H o m ( − , G ( − ) ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (F(-),-)=\mathrm {Hom} (-,G(-))} ，則稱之為一對伴隨函子，其中...

在数学领域，范畴C的对象I称为始对象（或初始对象），若对任何对象X，从I到X的态射唯一，或者说，C(I,X)为单元素集合。终对象（或终止对象、终结对象）是始对象的对偶概念。范畴C的对象T称为终对象，若对任何对象X，从X到T的态射唯一。若某对象即是始对象又是终对象，则称其为零对象。 范畴...

范畴中的自同态，在集合范畴中，自同态就是从集合S到它本身的函数。 在任何范畴中，X的任何两个自同态的复合也是X的自同态。于是可以推出，X的所有自同态的集合形成了一个幺半群，记为End(X)（或EndC(X)，以强调范畴C）。...

在数学领域，尤其是范畴论中，通常使用以对象为顶点、态射为边的交换图表来直观的表达一些性质，尤其是泛性质。 在图表中，复合连接任意两个对象的不同路径上的态射，所得的结果均相等，则称此图表可交换。同时，按照惯例，实线通常表示任意给定的态射，虚线则表示存在或唯一存在的态射。 下面的正方形为可交换，如果满足条件：y o w...