刘维尔定理揭示了具有初等原函数的初等函数的本质特征。其最早由约瑟夫·刘维尔于十九世纪三四十年代提出，经后人推广到一般的微分域上，并被进一步推广运用在常微分方程组初等首次积分的研究上。 初等函数的原函数并不总是初等函数，例如 e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}}...

刘维尔定理，可能指 复分析中的刘维尔定理； 哈密顿力学中的刘维尔定理； 数论中，任何刘维尔数都是超越数，或丢番图逼近中的引理； 微分代数中的刘维尔定理...

约瑟夫·刘维尔（法語：Joseph Liouville，法语：[ʒozɛf ljuvil]，1809年3月24日—1882年9月8日）是19世纪的法国数学家，生于加来海峡省的圣奥梅尔。刘维尔一生从事数学、力学和天文学的研究，涉足广泛，成果丰富，尤其对双周期椭圆函数、微分方程边值问题、数论中代数...

for Computer Algebra）中將Risch算法加以摘要，篇幅超過一百頁。Risch–Norman算法（得名自 A. C. Norman）在1976年提出，速度較快但威力較小。 符號積分（英语：Symbolic integration） 积分表 不完全Γ函數 刘维尔定理 (微分代数)...

斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem），也被称作广义斯托克斯定理、斯托克斯–嘉当定理（Stokes–Cartan theorem）、旋度定理（Curl Theorem）、开尔文-斯托克斯定理（Kelvin-Stokes theorem），是微分几何中关于微分形式的积分的定理，因為維...

以法国数学家米歇尔·罗尔命名的罗尔中值定理（英語：Rolle's theorem）是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，叙述如下：如果函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 满足 在闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上连续；...

但这些算子的子环：D的常系数多项式是交换的。它可以另一种方式刻画：它由平移不变算子组成。 微分算子也服从移位定理（shift theorem）。 同样的构造可对偏导数也成立，关于不同的变量微分给出可交换的算子。 在微分几何与代数几何中，通常习惯于对两个向量丛之间的微分算子有一个坐标无关描述。设 E {\displaystyle...

伯特兰-切比雪夫定理 贝亚蒂定理 贝叶斯定理 博特周期性定理 闭图像定理 伯恩斯坦定理 不动点定理 布列安桑定理 布朗定理 贝祖定理 博苏克-乌拉姆定理 巴拿赫不动点定理 布尔素理想定理 贝尔纲定理 布劳威尔不动点定理 本迪克森-杜拉克定理 本原元定理 垂径定理 陈氏定理 采样定理 迪尼定理 等周定理 代数基本定理...

中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。 微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，内容粗略的说是指平面上一段固定端點的可微曲线，兩端點之中必然有一点，它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同（严格的数学表达参见下文）。 當提到均值定理時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理。 如果函数...

大多数分析结果都可以通过微分几何机制轻松理解，向量分析是其子集。梯度、散度、梯度定理、散度定理、拉普拉斯算子（产生调和分析）可轻易推广到其他维度，而旋度和叉积则不能直接推广。 从一般观点来看，（3维）向量分析中的各种场被统一视作k向量场：标量场是0-向量场，向...

由定义，辛流形上任何光滑函数给出一个哈密顿向量场，且这样向量场的集合组成辛向量场李代数的一个子代数。一个辛向量场的流的积分是一个辛同胚。因为辛同胚保持辛 2-形式，从而也保持辛体积，于是有哈密顿力学中的刘维尔定理。由哈密顿向量场生成的辛同胚也成为哈密顿辛同胚。 因为 {H,H} = XH(H) =...

与饶胜、杨晓奎合作，构建了卡拉比-丘成桐流形上可积贝尔曲勒密微分的整体展开公式和卡-丘流形的形变空间上的一族整体全纯微分形式。 与管峰、Todorov合作，证明卡拉比-丘流形模空间的整体Torelli定理。 人民网—刘克峰：我们都属于“陈类” （页面存档备份，存于互联网档案馆） 刘克峰：我的数学人生 刘克峰：知识，技巧与想象力 （页面存档备份，存于互联网档案馆）...

在某一点的全微分（英語：total derivative）是指该函数在该点附近关于其自变量的最佳线性近似。与偏微分不同，全微分反映了函数关于其所有自变量的线性近似，而非单个自变量。 全微分可以看成是把單變數函數的微分推廣到多變數函數上：单变量函数的全微分与其微分相同；而多變數函數在某點的全微分...

数学上，微分拓扑的外微分算子，把一个函数的微分的概念推广到更高阶的微分形式的微分。它在流形上的积分理论中极为重要，并且是德拉姆上同调和Alexander-Spanier上同调中所使用的微分算子。其现代形式是由嘉当发明的。 一个k阶的微分形式的外微分是一个k+1阶的微分形式。 对于一个k-形式ω = ΣI...

微积分基本定理（英語：Fundamental theorem of calculus）描述了微积分的两个主要运算──微分和积分之间的关系。 定理的第一部分，称为微积分第一基本定理，此定理表明：給定任一連續函數，可以（利用積分）構造出該函數的反導函數。這一部分定理的重要之處在於它保證了連續函數的反導函數的存在性。...

微分。若以圖示表示，函數在某一點的微分是函数图形在那一點的切線斜率（前提是在那一點的導數存在而且有定義）。針對單實數變數的實值函數（英语：Real-valued function）而言，函數在某一點的導數也就可以決定在那一點最佳的线性近似。微分和積分的關係可以由微积分基本定理來說明，此定理說明微分是積分的逆運算。...

函数的微分（英語：Differential of a function）是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。 微分在数学中的定义：由 y {\displaystyle y} 是 x {\displaystyle x} 的函数(...

雷諾傳輸定理也稱為萊布尼茲-雷諾傳輸定理或雷諾输运定理，是以積分符號內取微分聞名的萊布尼茲積分的三維推廣。 雷諾傳輸定理得名自奧斯鮑恩·雷諾（1842–1912），用來調整積分量的微分，用來推導連續介質力學的基礎方程。 考慮在時變的區域 Ω ( t ) {\displaystyle \Omega (t)}...

那么当 x 0 ≤ x ≤ x 1 {\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}\,\,} 时， 根据全微分公式和微积分基本定理， 该积分对 x {\displaystyle x} 的导数为 d d x F ( x , a ( x ) , b ( x ) ) = (...

b)} 使得 f ( c ) = u {\displaystyle f(c)=u} 。 介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明，在這個證明中，他附帶證明了波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理。 中間值定理 —  設 a < b {\displaystyle a<b} ，且 f : [ a , b...

微分拓扑，以及像莫尔斯理论等子領域，被大部份數學家視為是幾何學的一部份。代數拓撲和点集拓扑学則被視為是另一個新的領域。 解析幾何是歐幾里德幾何的現代版本，從1950年代末到1970年代中有大幅的進展，主要是因為讓-皮埃爾·塞爾及亚历山大·格罗森迪克的貢獻，這也產生了概形以及代數...

在一元微积分中，微积分基本定理建立了导数与积分的联系。多元微积分中导数与积分之间的联系，体现为矢量微积分的积分定理： 梯度定理 斯托克斯定理 高斯散度定理 格林公式 在对多元微积分更深层次的研究中，可以认为以上四条定理是一个更一般的定理的具体表现，即广义斯托克斯定理，后者适用于在流形上对微分形式进行积分。...

微分的魏爾斯特拉斯函數以及空間填充曲線等。卡米爾·若爾當發展了若爾當測度，而格奧爾格·康托爾提出了現在稱為樸素集合論的理論，勒內-路易·貝爾證明了貝爾綱定理。在20世紀初期，利用公理化的集合論將微積分進行形式化，昂利·勒貝格解決了量測問題，大卫·希尔伯特導入了希尔...

斯通-魏尔施特拉斯逼近定理（Stone–Weierstrass theorem）有两个： 闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近。 闭区间上周期为 2 π {\displaystyle 2\pi } 的连续函数可用三角函数级数一致逼近。 第一逼近定理可以推广至 R n {\displaystyle...

定理。 牛頓的老師伊薩克·巴羅雖然知道微分和積分之間有互逆的關係，但他不能體會此種關係的意義，其原因之一就是求導數還沒有一套有系統的計算方法。古希臘平面幾何的成功對西方數學影響極其深遠：一般認為唯有幾何的論證方法才是嚴謹、真正的數學，代數...

微分动力系统领域的研究而知名。与西方数学家不同，廖山涛采用直接接触常微系统的方法，从而引入了典范方程组（standards systems of equations）和阻碍集（obstructionnsets）的概念，证明了有控C1封闭引理。另外，廖山涛早年在代数拓扑学领域亦做出了自己的贡献。...

{\displaystyle a_{i}(x)} 為 x {\displaystyle x} 的多項式函數。 代數函數在數學分析和代数几何中扮演重要角色，我們再拿單位圓方程式來當作代數函數的範例： x 2 + y 2 − 1 = 0. {\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0...

之所以称这些函数为“初等函数”或“基本函数”（法语：fonction élémentaire），需要从微分代数的角度考虑。尽管“初等函数”这个概念最初是由约瑟夫·刘维尔引入的，但目前的通行定义是由约瑟夫·里特给出的： 一个微分域 F {\displaystyle F} ，定义为某一个域 F 0 {\displaystyle...

对数微分法（英語：Logarithmic differentiation）是在微积分学中，通过求某函数f的对数导数（英语：Logarithmic derivative）来求得函数导数的一种方法， [ ln ⁡ ( f ) ] ′ = f ′ f → f ′ = f ⋅ [ ln ⁡ ( f ) ] ′...

}f(t)\right]} 方向导数在无穷维向量空间如巴拿赫空间和弗雷歇空间上可以推广为加托导数和弗雷歇导数。二者都经常用于形式化泛函导数的概念，常见于物理学，特别是量子场论。 微分代数中有导子的概念。导子是具备了微分算子的某些特征的运算子，例如向量场的李导数，或非交换代数中的交换子。给定一个环或域 R {\displaystyle...

古爾丁定理（英語：Guldinus theorem），最初由古希臘的帕普斯發現，後來在16世紀保羅·古爾丁（英语：Paul Guldin）又重新發現了這個定理。 有一條平面曲線，跟它的同一個平面上有一條軸。由該平面曲線以該條軸與旋轉而產生的旋轉曲面的表面積 A {\displaystyle A} ，等於曲線的長度...