在物理學裏，哈密頓-雅可比方程 （Hamilton-Jacobi equation，HJE） 是經典力學的一種表述。哈密顿-雅可比方程、牛頓力學、拉格朗日力學、哈密頓力學，這幾個表述是互相全等的。而哈密顿-雅可比方程在辨明守恆的物理量方面，特別有用處。有時候，雖然物理問題的本身無法完全解析，哈密顿-雅可比方程仍舊能夠正確的辨明守恆的物理量。...

(t)\right\rangle } 。 其中 ℏ {\displaystyle \hbar } 為約化普朗克常數。此方程式為薛定谔方程式。（其與哈密顿-雅可比方程具有相同形式，也因為此，H 冠有哈密頓之名。）若給定系統在某一初始時間（t = 0）的狀態，我們可以積分得到接下來任何時間的系統狀態。其中特別的是，若...

在廣義相對論中，哈密頓-雅可比-爱因斯坦方程（英語：Hamilton–Jacobi–Einstein equation，簡稱HJEE）是一道哈密頓形式、描述超空間中的幾何力學的方程。創於「幾何力學年代」，這方程由艾雪·佩雷斯在60年代前后和其他人铸造。目的是更正廣義相對論以令其成為量子理論的半古典...

哈密顿-雅可比-贝尔曼方程（Hamilton-Jacobi-Bellman equation，簡稱HJB方程）是一個偏微分方程，是最佳控制的中心。HJB方程式的解是針對特定動態系統及相關成本函數下，可以有最小成本的控制實值函數。 若只在某一個區域求解，HJB方程是一個必要條件，若是在整個狀態空間下...

哈密頓又研究發現，使用哈密頓-雅可比方程式也可以描述波動光學裏遵守惠更斯原理的光波，只要將光線的等傳播時間曲面改為光波的波前。薛丁格尋思，古典力學與量子力學之間的關係，就如同幾何光學與波動光學之間的關係；哈密頓-雅可比方程式應該對應於量子力學的波動方程式...

他的妻子海倫·瑪俐亞·貝雷是一個牧師的女兒。哈密顿死於1865年9月2日，被安葬在都柏林杰羅姆山公墓。 威廉·哈密頓是莎拉·赫頓（1780年至1817年）和阿奇博爾德·哈密頓（1778年至1819年）九個孩子中的第四個，他們住在都柏林多米尼克街。三歲時，父母就將他送到都柏林城外的小鎮特林。 十八歲以前，哈密頓都沒上過小學、中學，由其執掌學校的叔伯James...

哈密顿力学是哈密顿于1833年建立的经典力学的重新表述，它由拉格朗日力学演变而来。哈密顿力学与拉格朗日力学不同的是前者可以使用辛空间而不依赖于拉格朗日力学表述。关于这点请参看其数学表述。 适合用哈密顿力学表述的动力系统称为哈密顿系统。 从拉格朗日力学开始，运动方程基于广义坐标 { q j | j =...

\mathbf {p} \,d\mathbf {q} \,\!} 。 這正是簡略作用量的方程式。 主條目：哈密頓-雅可比方程式。 哈密頓-雅可比方程式是經典力學的一種表述。假若，哈密頓-雅可比方程式是完全可分的；則哈密頓主函數 S ( q ,   P ,   t ) {\displaystyle S(\mathbf...

action principle），是一種變分原理，當應用於一個機械系統的作用量時，可以得到此機械系統的運動方程式。這原理的研究引導出經典力學的拉格朗日表述和哈密頓表述的發展。卡爾·雅可比特稱最小作用量原理為分析力學之母。 在現代物理學裏，這原理非常重要，在相對論、量子力學、量子場論裏，都有廣泛的...

前，利翁任职于法兰西公学院偏微分方程和应用教授，在巴黎综合理工学院任职。 在他1983年与Michael G. Crandall合著的论文“哈密頓-雅可比方程式的粘性解”中所引入的粘性解概念，对于偏微分方程的理论产生了重大影响。 Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi...

{\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(mk\mathbf {\hat {r}} \right)=0} 。 哈密頓-雅可比方程式的可分性也可以用推導出LRL向量的恆定性。採用拋物線座標 ( ξ ,   η ) {\displaystyle (\xi ,\ \eta )}...

\mathbf {p} }=\delta _{ij}\,\!} 。 正則座標可以用勒壤得轉換從拉格朗日形式論的廣義座標求得；也可以用正則變換從另外一組正則座標求得。 正則變換 辛矩陣 辛標記 哈密頓-雅可比方程 史東-馮諾伊曼定理（英语：Stone-von Neumann Theorem） 正則對易關係...

極限，波傳播趨向於明確的運動，但他並沒有給出一個具體方程式來描述這波動行為，而薛定諤給出了這方程式。他從哈密頓-雅可比方程成功地推導出薛定谔方程式。他又用自己設計的方程式來計算氫原子的譜線，得到的答案與用波耳模型計算出的答案相同。他將這波動方程式與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文，1926年，正式...

Ricci Curbastro）的學生。 他的工作包括純粹數學和應用數學、天體力學（特別是三體問題）、分析力學（哈密頓-雅可比方程式中的Levi-Civita 可分離性條件） 和流體動力學方面的基礎論文。 Tullio Levi-Civita and Ugo Amaldi...

t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}} ， 推導出經典物理的哈密頓-雅可比方程式 1 2 m ( ∇ S ) 2 + U ( r ) + ∂ S ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol...

因理论考虑了一个类似于杨-米尔斯方程的仿射丛，作用量可以分为4维部分和1维部分。不幸的是该理论未能包含全部的标准模型。 哈密顿量 哈密顿原理 拉格朗日力学 拉格朗日方程式 哈密顿力学 最小作用量原理 变分法 诺特定理 泛函导数 泛函积分（路径积分表述） Torby, Bruce. Advanced...

  B y {\displaystyle B_{x},\ B_{y}} 是相位常數。這些常數可以由邊界條件求得。 拉普拉斯-龍格-冷次向量 哈密頓-雅可比方程 亥姆霍茲方程 A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations...

移、速度、加速度、力等等矢量间的关系，又称为矢量力学。它是工程和日常生活中最常用的表述方式，但并不是唯一的表述方式：約瑟夫·拉格朗日、威廉·哈密頓、卡爾·雅可比等发展了经典力学的新的表述形式，即所谓分析力学。分析力学所建立的框架是近代物理的基础，如量子场论、广义相对论、量子引力等。...

{\displaystyle T_{\mu \nu }} 在所關注的區域中為零，則場方程式被稱作真空場方程式。在完整的場方程式中設定 T μ ν = 0 {\displaystyle T_{\mu \nu }=0} ，則真空場方程式可寫為： R μ ν = 1 2 g μ ν R   {\displaystyle...

2016 巴裡·西蒙 2015 維克托·卡茨 2014 菲利普·奧古斯都·格裡菲斯 2013 雅科夫·西奈 2012 伊沃·巴布什卡（英语：Ivo M. Babuška） 2011 約翰·米爾諾 2010 威廉·富爾頓 2009 路易斯·卡法雷利 2008 喬治·盧斯蒂格 2007 亨利·麥基恩（英语：Henry...

最佳控制要將費用泛函最小化，會表示成一組描述控制變數路徑的微分方程。最佳控制可以用庞特里亚金最大化原理推導（這是必要条件），或是求解哈密顿-雅可比-贝尔曼方程（充分條件）。 以一個簡單的例子來說明。考慮一部車開在山區的直線道路上。問題是，駕駛需如何駕駛才能最快到目的地？此例中的「控制律」...

该位置出现的概率。玻恩的解释迅速被玻尔接受。薛定谔所提出的方程与经典力学中的哈密顿-雅可比方程密切相关。量子力学与经典力学的对应在海森堡的矩阵力学中体现得更为明显。在博士学位论文中，狄拉克提出海森堡绘景中的算符方程与哈密顿力学中的动力学方程形式类似，正则量子化条件（英语：canonical...

座標，所以這兩事件在此參考系中不會同時發生。由於勞侖茲變換中有v x/c2 的項，因此造成了絕對同時性的破滅。 t' = 定值 的方程式定義了在第二個參考系中的「同時線」（在線上的所有事件都是同時發生的），就如同 t = 定值 的方程式定義了在第一個參考系中的「同時線」。從以上的勞侖茲轉換式中，我們可以發現 t' = 定值 等價於...

外爾維度式 外爾方程式：一種相對論量子力學波動方程式 外爾重力（英语：Weyl gravity） 外爾群 外爾規範 外爾不等式（英语：Weyl's inequality） 外爾積分（英语：Weyl integral） 外爾定律（英语：Weyl law） 外爾引理 (拉普拉斯方程式) 外爾模（英语：Weyl...

\!} [ C i , P j ] = 0 . {\displaystyle [C_{i},P_{j}]=0\,\!.} H為時間平移的生成元（哈密顿算符），Pi為平移的生成元（動量算符），Ci為伽利略變換的生成元，而Lij為旋轉的生成元（角動量算符）。 現在我們可以對H'、P'i、C'i、L'...

广义相对论中的开普勒问题 引力透镜 参考系拖拽 测地线效应 事件視界 引力奇点 黑洞 方程式 線性化重力 參數化後牛頓重力形式 爱因斯坦场方程 測地線方程 弗里德曼方程 ADM質量 BSSN形式（英语：BSSN formalism） 哈密顿-雅可比-爱因斯坦方程 進階理論 卡魯扎-克萊因理論 特殊解（英语：Exact...

這些由可能的路徑所構成的集合，或稱之為未來光錐，包含所有可能的世界線（在圖中以黃/藍色的格線表示）。他們依照愛丁頓–芬克爾斯坦坐標系（英语：Eddington–Finkelstein coordinates）的方式傾斜（圖示是一個愛丁頓–芬克爾斯坦坐標系的卡通版本），然而在其他坐標系中光錐不一定要這樣傾斜。例如說在史瓦西坐標系（英语：Schwarzschild...

广义相对论中的开普勒问题 引力透镜 参考系拖拽 测地线效应 事件視界 引力奇点 黑洞 方程式 線性化重力 參數化後牛頓重力形式 爱因斯坦场方程 測地線方程 弗里德曼方程 ADM質量 BSSN形式（英语：BSSN formalism） 哈密顿-雅可比-爱因斯坦方程 進階理論 卡魯扎-克萊因理論 特殊解（英语：Exact...

theory）是一個試圖統一重力與電磁兩大基本力的理論模型。此理論最初由數學家西奧多·卡魯扎於1921年所發表。他將廣義相對論推廣到五維的時空。所得方程式可以分成好幾組方程式，其中一個等價於愛因斯坦場方程式，另外一組方程式則等價於描述電磁場的馬克士威方程組。此外，還多出一個純量場——五維度規張量之分量 g 55 {\displaystyle...

广义相对论中的开普勒问题 引力透镜 参考系拖拽 测地线效应 事件視界 引力奇点 黑洞 方程式 線性化重力 參數化後牛頓重力形式 爱因斯坦场方程 測地線方程 弗里德曼方程 ADM質量 BSSN形式（英语：BSSN formalism） 哈密顿-雅可比-爱因斯坦方程 進階理論 卡魯扎-克萊因理論 特殊解（英语：Exact...

p c . {\displaystyle \mathbf {E} =pc\,.} 古典電磁學的理論研究開始了有關電磁波傳播的探討。由擴展電磁效應的方程式可推得，若E場和B場以有限的速度傳播，帶電粒子需要符合特定的條件，有關帶電粒子的相關研究形成了黎納-維謝勢，已開始往狭义相对论前進。...