收敛半径是数学分析中与幂级数有关的概念。一个幂级数的收敛半径是一个非负的扩展实数（包括无穷大）。收敛半径表示幂级数收敛的范围。在收敛半径内的紧集上，幂级数对应的函数一致收敛，并且幂级数就是此函数展开得到的泰勒级数。但是，在收敛半径上幂级数的敛散性是不确定的。 定义幂级数f 为： f ( z ) =...

（在收敛圆盘内）时（如果有的话），幂级数必然收敛；而当 | x | > R {\displaystyle |x|>R} 时（如果有的话），幂级数必然发散。但是如果 | x | = R {\displaystyle |x|=R} （在收敛圆上）的话，这时幂级数的敛散性是无从判断的，只能具体分析。 根据达朗贝尔审敛法，收敛半径 R {\displaystyle...

+1)}}x^{2}+\cdots } 的论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。 柯西提出了严格的审敛法的重要性，他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的，同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。 1826年，阿贝尔在他的关于二项式级数...

率要用更复杂的线性代数来描述，例如一般的黎曼曲率张量。 曲率有多种等价的定义 圆上每一点处的弯曲程度都相同，半径越小弯曲得越厉害，所以可以用半径的倒数来定量描述圆的弯曲程度。直线可以看作半径无限大的圆，所以直线的曲率为0。对于任意形状的曲线，每一点处的弯曲程度一般是不同的。对曲线 C {\displaystyle...

{\frac {1}{y_{i}}}} 的狀況取極限。 其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。 华东师范大学数学系. 数学分析 第四版 上册. 北京: 高等教育出版社. 2010年7月第4版...

0}a_{n}z^{n}} 為一冪級數，其收斂半徑為R。若对收敛圆（模长为 R 的复数的集合）上的某个复数 z 0 {\displaystyle z_{0}} ，级数 ∑ n ≥ 0 a n z 0 n {\displaystyle \sum _{n\geq 0}a_{n}z_{0}^{n}} 收斂，則有: lim t...

收敛半径的幂级数上，那么在这个幂级数的米塔-列夫勒星形域上处处都是可和的。 准确的说，如果g(z)是在原点解析的解析函数，从而有相应正收敛半径的麦克劳林级数，并且在其米塔-列夫勒星形域上总有L(G(z)) = g(z)。进一步的，L(G(z))在这个星形域的每个紧集上一致收敛到g(z)。...

柯西－阿达马公式（Cauchy-Hadamard Formula）为複分析（Complex analysis）中求单複变形式幂级数收敛半径的公式，以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西和雅克·阿达马的名字命名。 对于单一复数变量“z”的形式幂级数 f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( z −...

βn中，分母不为零。 下面讨论用来定义超几何函数的幂级数以零为中心的收敛半径。 当超几何函数截断为多项式时，显然收敛半径是无穷大。 除去这种特殊情况之外，用比值审敛法可知，当 p<q+1 时，收敛半径为无穷大，当 p=q+1 时，收敛半径为 1，剩下的情况收敛半径为 0（这时一般把超几何函数中对应的幂级数视作渐近级...

收敛于 a {\displaystyle a} ，记作 lim n → ∞ a n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a} 或 a n → a {\displaystyle a_{n}\rightarrow a} 。這時也稱這個數列是收斂...

}a_{n}} 收敛 { b n } {\displaystyle \lbrace b_{n}\rbrace \,} 是单调且有界的 则级数 ∑ n = 1 ∞ a n b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}} 收敛。 一个相关的审敛...

{\displaystyle x=0} 时所有的导数都为零，所以这个 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，不过函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 仅在 x = 0 {\displaystyle x=0}...

开始），但是选用不同形式来解决问题的难度有显著区别。最有用的母函数类型取决于具体问题和序列本身的性质。 母函数的表示一般使用解析形式，即写成关于某个形式变量x的形式幂级数。对幂级数的收敛半径中的某一点，可以求母函数在这一点的级数和。但无论如何，由于母函数是形式幂级数的一种，其级数和不一定对每个x的值都存在。...

代入，便得莱布尼兹公式(1的反正切是π ⁄ 4)。这种推理产生的一个问题是1不在幂级数的收敛半径以内。因此，需要额外论证当x = 1时级数收敛到tan−1(1)。一种方法是利用交錯级数判别法，然后使用阿贝尔定理证明级数收敛到tan−1(1)。然而，也可以用一个完全初等的证明。 考虑如下分解 1 1 + x...

rh}{3}}} ，它描述了高度固定而半径变化时，圆锥的体积的变化率。 V关于h的偏导数为： ∂ V ∂ h = π r 2 3 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}}} ，它描述了半径固定而高度变化时，圆锥的体积的变化率。...

z n {\displaystyle \Sigma _{n\geq 0}a_{n}z^{n}} 复系数幂级数，且收敛半径不为零，我们记 D {\displaystyle D} 为其收敛区域。 函数 f : D → C z ↦ Σ n ≥ 0 a n z n {\displaystyle...

质子半径之谜（英語：proton radius puzzle）是物理学中与質子大小有关的一个尚未解决的问题。历史上，质子半径是通过两种独立的方法测量的，它们的收敛值约为0.877飞米（1 fm = 10−15 m）。2010年的一项实验使用了第三种方法，该方法测得的半径为0...

线性代数中，收敛矩阵是在求幂过程中收敛到零矩阵的矩阵。 矩阵T的幂随次数增加而变小时（即T的所有项都趋近于0），T收敛到零矩阵。可逆矩阵A的正则分裂会产生收敛矩阵T。A的半收敛分裂会产生半收敛矩阵T。将T用于一般的迭代法，则对任意初向量都是收敛的；半收敛的T则要初向量满足特定条件才收敛。 n阶方阵T若满足...

海涅-博雷尔定理 支撑集 欧几里得空间 点积 叉积 三重积 拉格朗日恒等式 等价范数 坐標系 凸集 巴拿赫不动点定理 级数 收敛级数 几何级数 调和级数 項測試 格兰迪级数 收敛半径 审敛法 柯西乘积 黎曼级数重排定理 函数项级数（英语：function series） 一致收斂 迪尼定理 數列與級數 連續 函數...

_{i}} 描述表面与由 R {\displaystyle R} 和 K {\displaystyle K} 确定的轴对称二次曲面的偏差。 曲率半径 半径 基弧 基点 收敛 (光学)（英语：Vergence (optics)） Barbastathis, George; Sheppard, Colin. Real...

）上向量场的流通傾向，散度在某點的值则是这个性质的在這點的局部描述:7-8，也就是说，从散度在一点的值，我们可以看出向量场在这点附近到底倾向发散还是收敛。要算某一点 x {\displaystyle x} 的散度，先求包含这一点的某一个封闭曲面 Σ {\displaystyle \Sigma } 的通量...

}^{a}f(x)\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{a}f(x)\,dx} 。 当上述极限存在时，称該积分收敛。当上述极限不存在时，称该积分发散。 例子如下： ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x = lim u → + ∞ ∫ 1 u 1 x 2 d x = 1...

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积分还有一些其它的困难。这些困难主要涉及上面已经讨论过的求极限的问题。 單調收歛性質不成立：如上所述，有理数的指示函数 1 Q {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }} 没有黎曼积分。尤其是单调收敛定理在這例子不成立。要了解为什么，设 { a k {\displaystyle...

{\displaystyle f} 的泰勒级数在 | x | > 1 {\displaystyle |x|>1} 时发散，收敛半径为1。 冪級數可以定義在任意域上，取帶有絕對值的域則能探討收歛性。實解析函數與複解析函數分別對應到 R {\displaystyle \mathbb {R} } 與 C {\displaystyle...

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如果 f n {\displaystyle {f_{n}}} 是 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的一个一致收敛序列，其极限为 f {\displaystyle f} ，那么： ∫ a b f d x = ∫ a b lim n → ∞ f n d x = lim...

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时成立，可以用 z 为变量写成 |z| < 0.5。因此，收敛域为 |z| < 0.5。在这种情况下，收敛域为中心在原点的半径为 0.5 的圆盘。 本例与上例的不同之处仅在收敛域上。这是意图展示只有变换结果是不够的。 实例2和3清楚地表明，当且仅当指定收敛域时， x [ n ] {\displaystyle...

2 + y 2 ≤ 4 {\displaystyle D=x^{2}+y^{2}\leq 4\,\!} ，圆周半径2；很明显，这个区域所覆盖的角度是整个圆周角，所以φ从0变化到2π，而环半径从0变化到2（内环为0的环形就是圆）。 例（2-d）: 区域为 D = { x 2 + y 2 ≤ 9 ,  ...