收敛半径是数学分析中与幂级数有关的概念。一个幂级数的收敛半径是一个非负的扩展实数(包括无穷大)。收敛半径表示幂级数收敛的范围。在收敛半径内的紧集上,幂级数对应的函数一致收敛,并且幂级数就是此函数展开得到的泰勒级数。但是,在收敛半径上幂级数的敛散性是不确定的。 定义幂级数f 为: f ( z ) =...
9 KB (1,588 words) - 15:54, 5 April 2023
(在收敛圆盘内)时(如果有的话),幂级数必然收敛;而当 | x | > R {\displaystyle |x|>R} 时(如果有的话),幂级数必然发散。但是如果 | x | = R {\displaystyle |x|=R} (在收敛圆上)的话,这时幂级数的敛散性是无从判断的,只能具体分析。 根据达朗贝尔审敛法,收敛半径 R {\displaystyle...
15 KB (3,588 words) - 02:37, 23 December 2021
+1)}}x^{2}+\cdots } 的论文,提出了一些简单的收敛准则,并对余项和以及收敛半径进行了讨论。 柯西提出了严格的审敛法的重要性,他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的,同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。 1826年,阿贝尔在他的关于二项式级数...
25 KB (5,307 words) - 13:32, 6 July 2025
{x_{n}}{y_{n}}}={\frac {a}{b}}} . 其中一個判斷數列是否收斂的定理,称为单调收敛定理,和實數完備性相關:單調有界數列必收斂,即是說,有上界的單調遞增數列,或是有下界的單調遞減數列,必然收斂。 华东师范大学数学系. 数学分析 第四版 上册. 北京: 高等教育出版社. 2010年7月第4版...
7 KB (1,540 words) - 01:38, 4 July 2025
柯西-阿达马公式(Cauchy-Hadamard Formula)为複分析(Complex analysis)中求单複变形式幂级数收敛半径的公式,以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西和雅克·阿达马的名字命名。 对于单一复数变量“z”的形式幂级数 f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( z −...
853 bytes (178 words) - 07:31, 2 April 2023
率要用更复杂的线性代数来描述,例如一般的黎曼曲率张量。 曲率有多种等价的定义 圆上每一点处的弯曲程度都相同,半径越小弯曲得越厉害,所以可以用半径的倒数来定量描述圆的弯曲程度。直线可以看作半径无限大的圆,所以直线的曲率为0。对于任意形状的曲线,每一点处的弯曲程度一般是不同的。对曲线 C {\displaystyle...
12 KB (2,509 words) - 03:31, 4 July 2025
收敛半径的幂级数上,那么在这个幂级数的米塔-列夫勒星形域上处处都是可和的。 准确的说,如果g(z)是在原点解析的解析函数,从而有相应正收敛半径的麦克劳林级数,并且在其米塔-列夫勒星形域上总有L(G(z)) = g(z)。进一步的,L(G(z))在这个星形域的每个紧集上一致收敛到g(z)。...
29 KB (5,382 words) - 05:23, 3 July 2025
βn中,分母不为零。 下面讨论用来定义超几何函数的幂级数以零为中心的收敛半径。 当超几何函数截断为多项式时,显然收敛半径是无穷大。 除去这种特殊情况之外,用比值审敛法可知,当 p<q+1 时,收敛半径为无穷大,当 p=q+1 时,收敛半径为 1,剩下的情况收敛半径为 0(这时一般把超几何函数中对应的幂级数视作渐近级...
9 KB (2,284 words) - 09:52, 12 October 2022
收敛于 a {\displaystyle a} ,记作 lim n → ∞ a n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a} 或 a n → a {\displaystyle a_{n}\rightarrow a} 。這時也稱這個數列是收斂...
8 KB (1,542 words) - 04:57, 4 July 2025
阿贝尔判别法 (category 审敛法)
}a_{n}} 收敛 { b n } {\displaystyle \lbrace b_{n}\rbrace \,} 是单调且有界的 则级数 ∑ n = 1 ∞ a n b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}} 收敛。 一个相关的审敛...
3 KB (782 words) - 11:42, 29 April 2022
{\displaystyle x=0} 时所有的导数都为零,所以这个 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的泰勒级数为零,且其收敛半径为无穷大,不过函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 仅在 x = 0 {\displaystyle x=0}...
15 KB (3,068 words) - 12:12, 7 July 2025
0}a_{n}z^{n}} 為一冪級數,其收斂半徑為R。若对收敛圆(模长为 R 的复数的集合)上的某个复数 z 0 {\displaystyle z_{0}} ,级数 ∑ n ≥ 0 a n z 0 n {\displaystyle \sum _{n\geq 0}a_{n}z_{0}^{n}} 收斂,則有: lim t...
4 KB (1,114 words) - 14:12, 10 April 2025
代入,便得莱布尼兹公式(1的反正切是π ⁄ 4)。这种推理产生的一个问题是1不在幂级数的收敛半径以内。因此,需要额外论证当x = 1时级数收敛到tan−1(1)。一种方法是利用交錯级数判别法,然后使用阿贝尔定理证明级数收敛到tan−1(1)。然而,也可以用一个完全初等的证明。 考虑如下分解 1 1 + x...
7 KB (1,753 words) - 16:29, 7 October 2024
质子半径之谜(英語:proton radius puzzle)是物理学中与質子大小有关的一个尚未解决的问题。历史上,质子半径是通过两种独立的方法测量的,它们的收敛值约为0.877飞米(1 fm = 10−15 m)。2010年的一项实验使用了第三种方法,该方法测得的半径为0...
16 KB (1,831 words) - 19:50, 13 July 2023
开始),但是选用不同形式来解决问题的难度有显著区别。最有用的母函数类型取决于具体问题和序列本身的性质。 母函数的表示一般使用解析形式,即写成关于某个形式变量x的形式幂级数。对幂级数的收敛半径中的某一点,可以求母函数在这一点的级数和。但无论如何,由于母函数是形式幂级数的一种,其级数和不一定对每个x的值都存在。...
11 KB (2,334 words) - 14:45, 4 July 2025
rh}{3}}} ,它描述了高度固定而半径变化时,圆锥的体积的变化率。 V关于h的偏导数为: ∂ V ∂ h = π r 2 3 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}}} ,它描述了半径固定而高度变化时,圆锥的体积的变化率。...
12 KB (2,133 words) - 02:00, 3 July 2025
,当p≠2时,截断的傅立叶积分不需要在Lp范数中收敛(这与一维情况相反,在这种情况下,截断的整群确实收敛)。 挂谷问题的一個類推,是要求集合包含其他形狀,例如圆形或球面,而非原問題的線段。 在1997年和1999年,沃尔夫证明了:若一個集合包含每個半径的球面,則該集合的维度必須等於等于它所处的空间的...
25 KB (3,360 words) - 17:17, 16 March 2025
}^{a}f(x)\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{a}f(x)\,dx} 。 当上述极限存在时,称該积分收敛。当上述极限不存在时,称该积分发散。 例子如下: ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x = lim u → + ∞ ∫ 1 u 1 x 2 d x = 1...
8 KB (1,776 words) - 05:20, 3 July 2025
z n {\displaystyle \Sigma _{n\geq 0}a_{n}z^{n}} 复系数幂级数,且收敛半径不为零,我们记 D {\displaystyle D} 为其收敛区域。 函数 f : D → C z ↦ Σ n ≥ 0 a n z n {\displaystyle...
6 KB (1,234 words) - 02:42, 3 July 2025
线性代数中,收敛矩阵是在求幂过程中收敛到零矩阵的矩阵。 矩阵T的幂随次数增加而变小时(即T的所有项都趋近于0),T收敛到零矩阵。可逆矩阵A的正则分裂会产生收敛矩阵T。A的半收敛分裂会产生半收敛矩阵T。将T用于一般的迭代法,则对任意初向量都是收敛的;半收敛的T则要初向量满足特定条件才收敛。 n阶方阵T若满足...
7 KB (1,004 words) - 08:08, 8 February 2025
海涅-博雷尔定理 支撑集 欧几里得空间 点积 叉积 三重积 拉格朗日恒等式 等价范数 坐標系 凸集 巴拿赫不动点定理 级数 收敛级数 几何级数 调和级数 項測試 格兰迪级数 收敛半径 审敛法 柯西乘积 黎曼级数重排定理 函数项级数(英语:function series) 一致收斂 迪尼定理 數列與級數 連續 函數...
3 KB (487 words) - 03:14, 3 July 2025
)上向量场的流通傾向,散度在某點的值则是这个性质的在這點的局部描述:7-8,也就是说,从散度在一点的值,我们可以看出向量场在这点附近到底倾向发散还是收敛。要算某一点 x {\displaystyle x} 的散度,先求包含这一点的某一个封闭曲面 Σ {\displaystyle \Sigma } 的通量...
17 KB (3,083 words) - 01:37, 4 July 2025
海涅-博雷尔定理 支撑集 欧几里得空间 点积 叉积 三重积 拉格朗日恒等式 等价范数 坐標系 凸集 巴拿赫不动点定理 级数 收敛级数 几何级数 调和级数 項測試 格兰迪级数 收敛半径 审敛法 柯西乘积 黎曼级数重排定理 函数项级数(英语:function series) 一致收斂 迪尼定理 數列與級數 連續 函數...
8 KB (1,957 words) - 03:19, 3 July 2025
海涅-博雷尔定理 支撑集 欧几里得空间 点积 叉积 三重积 拉格朗日恒等式 等价范数 坐標系 凸集 巴拿赫不动点定理 级数 收敛级数 几何级数 调和级数 項測試 格兰迪级数 收敛半径 审敛法 柯西乘积 黎曼级数重排定理 函数项级数(英语:function series) 一致收斂 迪尼定理 數列與級數 連續 函數...
7 KB (931 words) - 15:26, 4 July 2025
积分还有一些其它的困难。这些困难主要涉及上面已经讨论过的求极限的问题。 單調收歛性質不成立:如上所述,有理数的指示函数 1 Q {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }} 没有黎曼积分。尤其是单调收敛定理在這例子不成立。要了解为什么,设 { a k {\displaystyle...
22 KB (4,779 words) - 16:38, 3 July 2025
如果 f n {\displaystyle {f_{n}}} 是 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的一个一致收敛序列,其极限为 f {\displaystyle f} ,那么: ∫ a b f d x = ∫ a b lim n → ∞ f n d x = lim...
12 KB (2,834 words) - 10:34, 26 October 2024
(s)\,e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}} 由比值审敛法可知,右边的级数的收敛半径是无穷大。 由魏尔斯特拉斯原理,下式中的函数,有时记作 γ ∗ {\displaystyle \gamma ^{*}} ,是关于 s 和...
18 KB (3,062 words) - 06:47, 18 January 2025
_{i}} 描述表面与由 R {\displaystyle R} 和 K {\displaystyle K} 确定的轴对称二次曲面的偏差。 曲率半径 半径 基弧 基点 收敛 (光学)(英语:Vergence (optics)) Barbastathis, George; Sheppard, Colin. Real...
5 KB (688 words) - 06:23, 8 September 2024
海涅-博雷尔定理 支撑集 欧几里得空间 点积 叉积 三重积 拉格朗日恒等式 等价范数 坐標系 凸集 巴拿赫不动点定理 级数 收敛级数 几何级数 调和级数 項測試 格兰迪级数 收敛半径 审敛法 柯西乘积 黎曼级数重排定理 函数项级数(英语:function series) 一致收斂 迪尼定理 數列與級數 連續 函數...
1 KB (375 words) - 07:34, 23 October 2022
海涅-博雷尔定理 支撑集 欧几里得空间 点积 叉积 三重积 拉格朗日恒等式 等价范数 坐標系 凸集 巴拿赫不动点定理 级数 收敛级数 几何级数 调和级数 項測試 格兰迪级数 收敛半径 审敛法 柯西乘积 黎曼级数重排定理 函数项级数(英语:function series) 一致收斂 迪尼定理 數列與級數 連續 函數...
2 KB (402 words) - 11:18, 3 July 2025
海涅-博雷尔定理 支撑集 欧几里得空间 点积 叉积 三重积 拉格朗日恒等式 等价范数 坐標系 凸集 巴拿赫不动点定理 级数 收敛级数 几何级数 调和级数 項測試 格兰迪级数 收敛半径 审敛法 柯西乘积 黎曼级数重排定理 函数项级数(英语:function series) 一致收斂 迪尼定理 數列與級數 連續 函數...
10 KB (2,002 words) - 00:54, 4 July 2025