（此即「雙週期」的含義）。 全純橢圓函數的绝对值应恒小于某个正数，因此该函数有界，而根據複分析中的刘维尔定理，有界的全纯函数只能是常數函數，故非常數的橢圓函數必帶極點，或者说，椭圆函数是亚纯函数。下文中讨论椭圆函数的性质时，不将常函数视为椭圆函数。 一般的椭圆函数的导数仍为椭圆函数。 椭圆函数...

在數學中，雅可比橢圓函數是由卡爾·雅可比在1830年左右研究的一類橢圓函數。這類函數可用於擺之類的應用問題，並具有與三角函數相似的性質。 雅可比橢圓函數有十二種，各對映到某個矩形的頂點連線。此諸頂點記作 s {\displaystyle s\,} c {\displaystyle c\,} d {\displaystyle...

都決定一條複橢圓曲線 C / Λ {\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda } ；兩個格給出的橢圓曲線同構的充要條件是兩個格之間差一個非零複數的倍數。因此模函數可以看作是複橢圓曲線的模空間上的函數。例如橢圓曲線的j-不變量（英语：j-invariant）就是模函數。模形式可視作模空間上某些線叢的截面。...

在數學中，魏爾斯特拉斯橢圓函數（Weierstrass's elliptic functions）又稱 p 函數並且以 ℘ {\displaystyle \wp } 符號表示，是格外簡單的一類橢圓函數，也是雅可比橢圓函數的特殊形式。卡爾·魏爾斯特拉斯首先研究了這些函數。 固定 C {\displaystyle...

{1-k^{2}}}\right)-K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}.} 椭圆曲线 施瓦茨-克里斯托费尔映射 雅可比橢圓函數 魏爾斯特拉斯橢圓函數 Θ函數 算术-几何平均数 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook...

橢圓曲線。更一般化地，一虧格1的代數曲線，如兩個三維二次曲面相交，即稱為橢圓曲線。 运用椭圆函数理论，可以证明定义在复数上的椭圆曲线对应于环面在复射影平面内的嵌入。环面也是一个阿贝尔群，事实上，这个对应也是一个群同构。 椭圆曲线的形狀不是椭圆。命名為椭圆曲线的原因是此曲线原來和椭圆函数...

。除此之外，阿贝尔對橢圓積分理論基礎很有貢獻，並且研究部分的橢圓函數、超橢圓函數，以及另外一類後來以他名字命名的阿貝爾函數，並写了直到他去世后才被世人发现的椭圆函数的巨著。當阿貝爾在巴黎時，他發表了一篇論文，提出橢圓函數具有雙週期的特性，阿德里安-馬里·勒壤得將該文交給...

{\displaystyle z\,} 非零時之積分，在赫尔维茨ζ函數一文有描述。 雅可比用Θ函數來構造椭圓函數，並使其有易於計算之形式，因为Θ函數中快速收敛的级数往往比积分容易计算。他表示他的椭圓函數成兩枚上述Θ函數之商，这可参见雅可比椭圆函数的定义。魏爾施特拉斯橢圓函數亦可由雅可比Θ構造： ℘ ( z ; τ ) =...

1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots } 只有在 − 1 < x < 1 {\displaystyle -1<x<1} 时收敛，不如原函数广泛。 给定自然数m和正整数n, 函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的[m,n]阶帕德近似为 R ( x ) = ∑ j = 0 m a...

y < 2 都有效。對於要用這種方法求解的 Bring-Jerrard 的一般形式，需要一個橢圓鍵。 這個橢圓密鑰可以根據 卡爾·雅可比 (Carl Gustav Jakob Jacobi) 使用 Θ函數 生成: x 5 + x = w {\displaystyle x^{5}+x=w} x = 2...

^{4}-3*b^{2})/a)^{2}*t} 。 参数：a = 2, b = -2； KP方程暗tanh函数暗孤立子 通过朗斯基行列式展开法可得卡东塞穆夫-彼得韦亚斯维利方程多个雅可比橢圓函數解。 u 4 := ( − 4 ∗ m 2 ∗ k [ 1 ] 2 ∗ g ) ( 1 − m 2 ∗ s...

{\displaystyle R_{n}} 是n 阶雅可比椭圆函数（Chebyshev rational functions）。 下图给出了椭圆滤波器与其他常见滤波器的比较，各滤波器的参数一样多。 由图可见，椭圆滤波器比其他滤波器更陡，因此在选择滤波器的时候，椭圆滤波器能够以较低的阶数获得较窄的过渡带宽，但是它在通带和阻带上都有波动。...

析度分析。細節濾波器和平滑濾波器的振幅對應到奇數特徵指數的第一種馬蒂厄函數，透過選擇特徵指數可以很容易的設計這些濾波器的凹陷處數目。透過此方法得到的橢圓柱小波會因為它的對稱性有可能應用在光學和電磁學的領域中。 馬蒂厄方程式跟橢圓柱的波方程式很有關聯。在1868年，這位法國數學家埃米爾·倫納德馬蒂厄...

函數，模方程是一些和這些函數的方程，或是一些在模量下成立的恆等式。 模方程最常見的用法，是指椭圆曲线的模量問題（moduli problem）。此處的模空间是一維的，若在模曲線函數域（英语：function field of an algebraic variety）的任意兩個有理函數F及G，會滿足一個模方程P(F...

在数学中，椭圆是平面上到两个相異固定点的距离之和为常数的点之轨迹。 根據該定義，可以用手繪橢圓：先準備一條線，將這條線的兩端各綁在固定的點上（這兩個點就當作是橢圓的兩個焦點，且距離小於線長）；取一支筆，用筆尖将線繃緊，這時候兩個點和筆就形成一個三角形（的兩邊）；然後左右移動筆尖拉住線開始作圖，持續地使線繃緊，最後就可以完成一個橢圓圖形。...

零次函数（常數函數）：零次多项式，图像为水平线。 一次函数：一次多项式，图像为斜直线。 二次函数：二元二次多项式，图像为圆锥曲线。 三次函数 四次函数 五次函数 有理函数：两个多项式函数的比。 开方 平方根 立方根 非代数函数即为超越函数。 指数函数 双曲函数：形式上相似于三角函数。 对数函数：指数函数的反函数；用于求解指数方程。...

从拓扑结构来说，任何双周期函数都等价于定义在环面 T 2 {\displaystyle \mathbb {T} ^{2}} 上的函数。所以以上的性质也对定义在环面上的函数适用。 魏爾斯特拉斯橢圓函數 雅可比橢圓函數 模形式 概周期函数 Nico M. Temme. Special Functions: An Introduction...

在數學中，模λ函數 λ ( τ ) {\displaystyle \lambda (\tau )} ，又稱橢圓λ函數，是定義於複上半平面H的全純函數，具有高度對稱性。该函数在同餘子群Γ(2)的对H的分式線性作用下不變，亦是商空间Γ(2)\H上函數域的生成元；也就是說，這個函數...

拉马努金theta函数是一个由英国数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金定义的双变量复变theta函数，推广了雅可比theta函数，被广泛地运用在q-函数和级数的理论中。 拉马努金theta函数被定义为 f ( a , b ) ≡ ∑ k = − ∞ ∞ a k ( k + 1 ) / 2 b k ( k − 1...

，就可以解所有的七次方程，但是，有些七次方程的根須要超橢圓函數和相關虧格為3的Θ函數。但是因為求解六次方程的根已達到人腦計算能力的上限，所以一直要到十九世紀計算器問世之後數學家才開始著手研究七次方程的代數解。 低於六次的方程求根都很明顯的可以通過疊加雙變數連續 函數而得，但七次方程的求根就不是直接可以看出來。...

在对天体力学做出贡献的同时，他引入了为恒星坐标系的雅可比积分（英语：Jacobi integral）(1836) 雅可比矩陣 雅可比恆等式 雅可比橢圓函數 雅可比符號 雅可比旋转 雅可比和（英语：Jacobi sum） 雅可比积分（英语：Jacobi integral） 雅可比最后乘子（页面存档备份，存于互联网档案馆）...

{\displaystyle f(x)=f(x+1)=f(x+2)=\cdots } 。但是函数周期不一定是满足上述等式的最小值， T {\displaystyle T} 也可以是 2 {\displaystyle 2} 。常見的周期函數有 sin ⁡ x {\displaystyle \sin x} ， cos...

{\displaystyle \Lambda } 由相應的橢圓函數給出。 對虧格大於一的曲線，其性質與有理曲線與橢圓曲線有顯著不同。根據法爾廷斯定理，定義在數域上的這類曲線只有有限個有理點；若視為黎曼曲面，它們則帶有雙曲幾何的結構。例子包括超橢圓曲線（英语：Hyperelliptic curve）、克萊因四次曲線（英语：Klein...

的圖形。就像圆锥曲线一樣，一條直線和這個卵形最多只會有二個交點。 任意的域K上，非奇異的投影三次曲線可定義椭圆曲线現今對椭圆曲线的研究主要是以魏爾斯特拉斯橢圓函數的變體的主，可以定義一個有理函數域的二次擴展（英语：Quadratic extension），做法是將三次曲線的平方根取出。這也和是否存在K-有理点（英语：rational...

函数和超越函数进行了分类，作为对阿贝尔和拉普拉斯等人关于椭圆积分的表示和有理函数的理论的整理，并给出了初等函数的分类。初等函数的积分在何条件下仍为初等函数，也是他着重讨论的问题。1844年，刘维尔在给巴黎科学院的一封信中说明了如何从卡爾·雅可比的定理（单变量单值亚纯函数...

易出現灾难性抵消或數值誤差，因此出現了外正割和外餘割的函數與函數表來解決這類問題。不過這類問題在计算机和计算器普及後逐漸消失，因此這個函數已經幾乎沒再使用。 三角函数在物理学是研究振动和波不可或缺的工具，如简谐振动满足以下微分方程，正弦和余弦函数都满足 y ″ + y = 0 {\displaystyle...

一個很敏感的薄膜性質測量技術，且具有非破壞性和非接觸之優點。 分析自樣品反射之偏振光的改變，橢圓偏振技術可得到膜厚比探測光本身波長更短的薄膜資訊，小至一個單原子層，甚至更小。橢圓儀可測得複數折射率或介電函數張量，可以此獲得基本的物理參數，並且這與各種樣品的性質，包括形態、晶體質量、化學成分或導電性...

K代表模数为k的完全椭圆积分，K'代表模数为 k ′ = 1 − k 2 {\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}} 的完全椭圆积分。 其中 k,v 都是实数，并且 0 < k < 1 {\displaystyle 0<k<1} , 代数形式 作雅可比橢圓函數变数替换 s =...

Functionen (1854) 阿贝尔函数的理论 Theorie der Abelschen Functionen (1856) 发音：[ˈvaɪ̯ɐʃtʁaːs]，姓氏可寫作Weierstrass 魏尔施特拉斯逼近定理 魏尔施特拉斯函數（處處連續，但處處不可微之函數。可說是最早的碎形之一。） 魏尔施特拉斯判别法...

全书十二章 第一章：函数用无穷级数和无穷乘积展开 第二章：二阶线性常微分方程 第三章：伽马函数 第四章：超几何函数 第五章：勒让德函数 第六章：合流超几何函数 第七章：贝塞尔函数 第八章：外氏椭圆函数 第九章：忒塔函数 第十章：雅氏椭圆函数 第十一章：拉梅函数 第十二章：马丢函数 《特殊函数概论》，王竹溪、郭敦仁合著，北京大学出版社，ISBN...

t)={\frac {2}{3}}k^{2}(1-3tanh^{2}(k(+4k^{2}t)))} Malfliet 的tanh 函数展开法被后人推广到 三角函数、雅可比橢圓函數、魏爾斯特拉斯橢圓函數。 JacobiCN, JacobiDN, JacobiNC, JacobiND, JacobiNS, JacobiSN...