イデアルのことである。 定義から明らかに素イデアルは準素イデアルである。 素元分解整域において、素元 p のべき pn で生成されたイデアル (pn) は準素イデアルである（たとえば有理整数環；右図参照）。 ネーター環の任意のイデアルは、有限個の準素イデアルの共通部分として書ける（準素分解）。...

準素イデアル イデアル I が準素イデアル (primary ideal) とは、R の元 a, b が ab ∈ I を満たすとき、a ∉ I ならば bn ∈ I が適当な正の整数 n に対して成り立つことを言う。任意の素イデアルは準素イデアルだが逆は必ずしも成り立たない。半素な準素イデアルは素イデアルである。...

ring) であること、 すなわち、任意のイデアルが有限個の準素イデアル (primary ideal) の共通部分として分解できる（準素分解、じゅんそぶんかい、primary decomposition）ことを述べている。（準素イデアルは、素イデアルの冪と関連するが、全く同じというわけではない...

素イデアル（そイデアル、英: prime ideal）は、環のイデアルで、ある条件を満たすものである。歴史的には、素数（素元）の概念の拡張としてデデキントによって代数体の整数環に対して定義された。整数環（一般にデデキント環（英語版））のすべてのゼロでない（整）イデアルは、素イデアル...

M に伴う素イデアル（英: associated prime）あるいは M の素因子とは，M の（素）部分加群の零化イデアルとして生じる R の素イデアルのタイプである．素因子全体の集合は通常 AssR(M) と書かれる． 可換環論において，素因子は可換ネーター環におけるイデアルの準素分解と結びついている．具体的には，イデアル...

を参照）。実はこれは任意のイデアルに一般化される（性質を参照）。 準素イデアルの根基は素イデアルである。イデアル I の根基が極大であれば、I は準素である。 I がイデアルであれば、 I n = I {\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}} である。素イデアルは根基イデアルである。よって任意の素イデアル...

イデアルとなるが、一般の環準同型に対してはこれは成り立たない。 （体でない）単項イデアル整域の0でない素イデアルは極大イデアルである。 アルティン環の素イデアルは極大イデアルである。 可換アルティン環は有限個しか極大イデアルを持たない。 クルルの定理より、0 でない可換環には極大イデアルが存在する。また、0...

イデアル (p) が自明でない素イデアルであるとき、p を素元という。素元は既約元であるが、一般に逆は成立しない。 環 R の元を既約元の積に表すことを既約元分解、素元の積に表すことを素元分解という。既約元分解が一意である環を一意分解環もしくは素元分解整域という（任意の元が素...

イデアルの概念がリヒャルト・デーデキントによって1870年代に導入されて、以後 Z の数論の拡張にむけて多大な努力が支払われた。また19世紀後半にダフィット・ヒルベルトは、多項式イデアルが有限生成であることを示し、ラスカー、ジェームズ・マコーレーは、多項式イデアルの準素イデアル...

数学において，抽象代数学の分野において，主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理は有限生成アーベル群の基本定理の一般化であり，あらっぽく言えば，有限生成加群は整数の素因数分解とほぼ同じように一意的に分解するというものである．この結果は体上の正方行列に対する様々な標準形の結果を理解する単純な枠組みを提供する．...

数学の一分野である環論において、半素イデアルと半素環は素イデアルと素環の一般化である。可換環論においては、半素イデアルは根基イデアルとも呼ばれる。 例えば、有理整数環において、半素イデアルは、零イデアルと、n を square-free な整数として n Z {\displaystyle n\mathbb...

は独自の記法 Rp を持つ程に重要なもので、この環はただ一つの極大イデアル pRp を持つ。このように極大イデアルが唯一であるような環は局所環と呼ばれる。 体は整域ゆえ、すでに述べたように極大イデアルは素イデアルである。ある特定のイデアルが素であること(つまりその剰余環が零因子を持たないこと)を示すのは...

イデアル整域とは限らないため）素元への一意分解を持たないが、すべての真のイデアルは素イデアルの積としての一意的な分解を持つ（つまりすべての代数的整数環はデデキント整域である）という性質を持つことが示された。イデアル類群の大きさは環が単項イデアル...

素イデアル鎖を極大鎖に拡張することができるような環は鎖状環として知られる。 整域が体である必要十分条件は、0次元となることである。 ネーター環がアルティン環である必要十分条件は、0次元となることである。 有理整数環 Z は1次元である。 体でないデデキント整域（たとえば単項イデアル整域や離散付値環など）は1次元である。...

が一意分解整域であるときは、すべての素イデアルはある1つの素元によって生成される。そうでないときは、素元で生成されない素イデアルが存在する。例えば Z[√−5] において、イデアル (2, 1 + √−5) は1つの元で生成できない素イデアルである。 歴史的には、イデアルを素イデアルに分解するアイデア...

数学において、単項右（左）イデアル環、主右（左）イデアル環 (principal right (left) ideal ring) は環 R であってすべての右（左）イデアルがある x ∈ R に対して xR (Rx) の形であるようなものである。（1つの元で生成されたこの形の右と左のイデアルは単項イデアル...

数学において、可換環のイデアルはより大きい2つのイデアルの共通部分として書けないときに、既約 (irreducible) という。 すべての素イデアルは既約である。ネーター環のすべての既約イデアルは準素イデアルであり、したがってネーター環に対して既約分解は準素分解である。主イデアル整域のすべての準素イデアルは既約イデアルである。すべての既約イデアルは...

したのはリヒャルト・デーデキントで、それは任意の代数的整数環がイデアルの一意な準素分解を持つという形に述べられる。すなわち、これらの環において、任意のイデアルは準素イデアルの積として表され、その分解は因子の順番を除いて一意である。イデアルに関するこの一意分解性質を持つ整域は、こんにちデデキント整域と...

と定める。P で始まる素イデアルの真の減少列の長さの最大値を P の高さ (height) といい、ht P で表す。また、A の素とは限らないイデアル I に対しては、その高さ ht I を I を含む素イデアルの高さの最小値と定める。A がネーター環であるならば、クルルの主イデアル定理 (Krull's...

p が素元であるとは、p が任意の積 ab を割るならば必ず p が a または b の約元となるときにいう。このことは、「その元が生成するイデアルが素イデアルであるような元を素元という」と言っても同じである。任意の素元は既約元である。逆にGCD整域（例えば UFD）において任意の既約元は素元となる。...

イデアル定理は系として現れる。 この記事を通して、 dim {\displaystyle \operatorname {dim} } は環のクルル次元を表し、 ht {\displaystyle \operatorname {ht} } は素イデアルのクルル次元（すなわちその素イデアルにおける局所化のクルル次元）を表す。...

に一致する。以上より、環の準同型定理により R において 1R の生成する単位的環は m = char(R) を法とする剰余環 Z / m Z に同型である。 さらに単位的環 R が整域であるとき、φR(Z) は整域を成す。これを整域 R の素整域と呼ぶ。像が整域であることから、この準同型 φR の核は Z の素イデアルで、したがって...

に対し，Df を f を含まない R の素イデアル全体と定義する．すると各 Df は Spec(R) の開集合であり，この形の開集合の全体はザリスキー位相の基底である． Spec(R) は準コンパクトであるが，ほとんど決してハウスドルフではない．実際，R の極大イデアルがちょうどこの位相での閉点である．同じ理由により，Spec(R)...

素イデアルの分解の様相も教えてくれる。素イデアルがあると、フロベニウス元と呼ばれるガロア群の元が定まる。素イデアルの分解の様相はこの元を見ればわかる。アルティン相互法則によってフロベニウス元に対応する一般化されたイデアル類群の元が定まる。これは元の素イデアル...

k 上の準同型全体を ΩA と書いて A のスペクトルと呼んでいる。スペクトルという言葉はここに現れている。K が k 上の代数的閉包ならこれ（をガロア群の作用で割ったもの）は極大イデアル全体の集合であり、K の k 上の超越次数が無限ならばこれ（をガロア群 の作用で割ったもの）は素イデアル全体の集合である。...

可換環論において可換ネーター局所環 A 上有限生成な 0 でない加群 M と A の準素イデアル I のヒルベルト・サミュエル関数 (Hilbert–Samuel function) は、David Hilbert と Pierre Samuel（英語版） にちなんで名づけられているが、写像 χ M...

Z/aZ になる。 Z/6Z の素イデアルは 2Z/6Z と 3Z/6Z の2つである（したがってクルル次元 0 である）。これらの極大イデアルによる局所化はそれぞれ F2, F3 であり体である。実は、可換環が被約かつクルル次元 0 であることと、任意の極大イデアル...

もまた有限生成でない。 単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理の特別な場合である有限生成アーベル群の基本定理 (fundamental theorem of finitely generated abelian groups) は（単項イデアル整域の場合と同様に）2通りに述べることができる。 準素...

I が根基イデアルであることは同値である。 R がネーター環のとき、次が成り立つ。 R が被約であることと、零イデアルの準素分解においてその成分として（極小）素イデアルのみ現れることは同値である。 被約性は局所的な性質である。すなわち： 環 R が被約であることと、すべての極大イデアル m {\displaystyle...

である、すなわち算術の基本定理の対応物が任意の PID で成立する。さらに言えば、ネーター環というのは任意のイデアルが有限生成となる環のことだから、主イデアル整域は明らかにネーター環である。PID においては既約元の概念と素元の概念が一致するという事実と、任意の PID がネーター環であるという事実とを合わせると、任意の...

可換環の素イデアル全体の集合へのザリスキ位相の一般化は、代数閉体上定義されたアファイン多様体の点全体と多様体の正則関数環の極大イデアル全体との間の1:1対応を確立するヒルベルトの零点定理から従う。この定理より、可換環の極大イデアル全体の集合上のザリスキ位相は、ある与えられたイデアルを含む極大イデアル...