是因式。 交错多项式乘以对称多项式仍是交错多项式，于是 v n {\displaystyle v_{n}} 的所有倍数都是交错多项式。 相反，两交错多项式相除是（可能有理的）对称多项式（不必是多项式），而交错多项式除以范德蒙多项式是多项式。舒尔多项式就是这样定义的，即交错多项式除以范德蒙多项式。 因此，用...

F)都是代数群，因为如果一个矩阵是正交的条件，即转置等于逆矩阵，能够定义成一些关于矩阵分量的多项式方程。 实数域R上的正交群O(n,R)和特殊正交群SO(n,R)在不会引起误会时经常记为O(n)和SO(n)。他们是n(n-1)/2 维实紧李群。O(n,R)有两个连通分支，SO(n,R)是单位分支，即包含单位矩阵的连通分支。 实正交群和特殊正交群有如下的解释：...

多项式时间算法，或者没有这样的算法，这将能用一种相信不被上述结果排除在外的方法来解决P=NP问题。 沒人知道多項式時間演算法對於NP完全問題是否存在。但是如果這樣的演算法存在，我們已經知道其中的一些了！例如下面的算法正確地接受了一個NP完全語言，但是沒人知道通常它需要多久執行。它是一個多項式時間演算法當且僅當P=NP。...

特殊線性群SL(n, F)是帶有行列式為1的所有矩陣的群。它們是特殊的因為它們位于子簇之上–它們滿足一個多項式方程（因為行列式是元素的多項式）。這種類型的矩陣形成一個群，因為兩個矩陣的乘積的行列式是每個矩陣的行列式的乘積。SL(n, F)是GL(n, F)的正規子群。 如果我們把...

是幂等的线性映射（P2 = P）。因此它的极小多项式是 X 2 − X = X ( X − 1 ) {\displaystyle X^{2}-X=X(X-1)} 。因式分解后可以看到，这个多项式只有相异的单根（没有多重根），因此 P 是可对角化矩阵。极小多项式也显示出了投影的特性:...

，且 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} 是常数）的多项式函数，其中， x {\displaystyle x} 为自变量， a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b}...

在數學的歷史中，群論原本起源於對高于四次的一元多项式方程無一般的公式解之證明的找尋，最終随着伽羅瓦理论的提出而确立。可解群的概念產生於描述其根可以只用根式（平方根、立方根等等及其和與積）表示的多項式所对应的自同構群所擁有的性質。 一個群被稱為可解的，若它擁有一個其商群皆為阿貝爾群的正規列。或者等價地說，若其降正規列...

但開始懷疑其可能性的人之中，也沒有人能夠證明這樣的做法一定不存在。直到十九世紀後，伽羅瓦和阿貝爾(全名:尼爾斯·阿貝爾)開創了以群論來討論有理係數多項式方程之解的方法，人們才認識到三等分角問題的本質。 在研究各种尺规作图问题的时候，数学家们留意到，能否用尺规作出特定的图形或目标，本质是能否作出符合...

A的一个特征值λ的代数重数是λ作为A的特征多项式的根的次数；换句话说，若r是该多项式的一个根，它是一次多项式因子（λ - r）在特征多项式中在因式分解后中出现的次数。如果将代数重次计算在内的话，一个n×n矩阵有n个特征值，因为其特征多项式次数为n。 一个代数重次1的特征值为“单特征值”。...

夠給出倍立方问题的解法，但開始懷疑其可能性的人之中，也沒有人能夠證明這樣的解法一定不存在。直到十九世紀後，伽羅瓦和阿貝爾開創了以群論來討論有理係數多項式方程之解的方法，人們才認識到这三个問題的本質 。 在研究各种尺规作图问题的时候，数学家们留意到，能否用尺规作出特定的图形或目标，本质是能否作出符合...

以 g ⋅ f ( x ) = f ( g ( x ) ) {\displaystyle g\cdot f(x)=f(g(x))} 作用於m次調和多項式上。 迄今已知的物理定律通常在某個李群的作用下保持不變，如空間的旋轉群 S O ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {SO}...

元，人元，物元），和一组四个多元高次非线性方程组。然后从这些方程组中消去一个未知数，得到三个未知数的高次多项式方程组；接着从这三个三元高次方程组中消去第二个未知数，得到两个含两个未知数的高元多项式方程组；下一步从两个二元高次方程组中再消去一个未知数，最后得到只含一个未知数的的高次方程式。...

多項式就必定會有根，而且根的數目和多項式的次數相等，這個擴張域就被稱作此多項式的分裂域。若以上多項式的域從實數擴張至複數，則存在兩個根：+i和−i，其中i是虛數單位，定義為i 2 = −1 。 考慮一個多項式及其分裂域。作用於分裂域上並保持基域和多項式...

)。这是复共轭与2阶有限域扩张共轭的推广，从而我们可以在它上面的定义埃尔米特形式与酉群。 定义酉群的方程是一些 k {\displaystyle k} 上的多项式方程（但不是在 k {\displaystyle k} 上）：对标准形式 Φ = I {\displaystyle \Phi =I} ，这些方程由矩阵...

德金在狄利克雷的数论讲义书的第三版中用被称为“理想”的数的集合代替了库默尔之前未定义的概念。之后这个概念被大卫·希尔伯特和艾米·诺特从数环拓展到了多项式环以及其他交换环上。 环(R,+,·)，已知(R, +)是阿贝尔群。R的子集I称为R的一个右理想，若I满足： (I, +)构成(R, +)的子群。...

角的概念；完備則確保了其上所有的柯西序列會收敛到此空間裡的一點，从而微积分中的許多概念都可以推广到希尔伯特空间中。 希尔伯特空间为基于任意正交坐标系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。另外希尔伯特空间也是量子力学的重要數學基礎之一。...

optimization） 為探討獨立變數與反應變數之間的數學模式關係，因此欲對於反應和獨立變數之間找出一個適當的近似函數。通常利用獨立變數在一些範圍裡的低階多項式近似，即為一階迴歸模型 （first-order model）， y ^ = β 0 ^ + ∑ i = 1 k β i ^ x i {\displaystyle...

抽象群的現代概念是從多個數學領域發展出來的。群論的最初動機是為了求解高於4次的多項式方程。十九世紀法國數學家埃瓦里斯特·伽罗瓦，擴展了保罗·鲁菲尼和约瑟夫·拉格朗日先前的工作，依據特定多項式方程的根（解）的對稱群給出了對它的可解性的判别准则。這個伽罗瓦群的元素對應於根的特定置換。伽罗...

相关，其代数由齐次多项式描述。所有其他种类都被定义为射影空间的子集。射影簇是由一组齐次多项式定义的子集。在射影簇的每点上，集合中的所有多项式都必须等于零。线性多项式零集的补是仿射空间，仿射簇是射影簇与仿射空间的交。 安德烈·韦伊发现，几何推理有时适用于数论情形，其中的空间可能是离散的，甚至可能是有...

i\phi (C_{1},C_{2})/k)} 这是最简单的一个拓撲量子場論。根据爱德华·威滕的证明，非阿贝尔G的陈-西蒙斯论给其他拓扑不变，例如琼斯多项式。 陳-西蒙斯理論 卷绕数 绞拧数 扭转数 曲线的微分几何 链环 (纽结理论)（英语：Link (knot theory)） 霍普夫不变量 吻接数（英语：kissing...

_{||a||_{0}}\int ||f(t)-\sum _{m}a_{m}b_{m}(t)||^{2}dt<threshold} 然而，這個最佳化問題是NP困難，無法在線性多項式時間內找到解答，因此使用匹配追求的近似解來求解。 min ∫ | | f ( t ) − ∑ m a m b m ( t ) | | 2 d t  ...

的平坦族，使得Y和Z是它的兩個纖維，我們就稱Y和Z有理等價。用古典語言來說，我們想要一個積族的子簇，Y和Z是其兩纖維，且其所有纖維有相同的希爾伯特多項式。若我們將P1當作一條線，則此概念就是配邊的代數模擬。 有理等價的定義隱含了有理等價的兩子簇維數相同。為了構造周環，我們將採用余維數（X本身與子簇的維數差），這樣乘積才運行良好。對滿足...

， k = 0 , … , n {\displaystyle k=0,\ldots ,n} 的 k {\displaystyle k} 次基本对称多项式。则 tan ⁡ ( θ 1 + ⋯ + θ n ) = e 1 − e 3 + e 5 − ⋯ e 0 − e 2 + e 4 − ⋯ , {\displaystyle...

实数上n阶方阵的矩阵代数，*是转置。 复数上n阶方阵的矩阵代数，*是共轭转置。 其推广，即希尔伯特空间上有界线性算子代数及其埃尔米特伴随也定义了*-代数。 交换平凡*-环R上的多项式环 R [ x ] {\displaystyle R[x]} 是R上的*-代数， P ∗ ( x ) = P ( − x ) . {\displaystyle...

) {\displaystyle Q(a)} 的向量 a {\displaystyle a} 與子空間 U {\displaystyle U} 的正交直和，則 C l [ 0 ] ( V , Q ) {\displaystyle \mathrm {Cl} ^{[0]}(V,Q)} 同構於 C l (...

{x}})y_{1}^{i_{1}}\cdots y_{k}^{i_{k}}} 因此符號對變元 y → {\displaystyle {\vec {y}}} 是個 n 次齊次多項式。若此多項式滿足 P ( y → ) = 0 ⇔ y → = 0 {\displaystyle P({\vec {y}})=0\Leftrightarrow...

关于置换群的早期结果出现在约瑟夫·拉格朗日、保羅·魯菲尼和尼尔斯·阿贝尔等人关于高次方程一般解的工作中。1830年，埃瓦里斯特·伽罗瓦第一个用群的观点来确定多项式方程的可解性。伽罗瓦首次使用了术语“群”，并在新生的群的理论与域论之间建立起了联系。这套理论现在被称为伽罗瓦理论。阿瑟·凯莱和奥古斯丁·路易·柯西...

一般可以把几何形体的拓扑结构看作是完全“柔软”的，因为所有变形（同胚）会保持拓扑结构不变；而把解析几何结构看作是“硬”的，因为整体的结构都是固定的。例如，当一个多项式在 ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} 区间的取值确定了，则其在整个实数范围的值都被固定，可见局部的变动会导致全局的变...

构成的整系数多项式及多项式加法形成了一个自由阿贝尔群， x {\displaystyle x} 的幂是其基。作为一个抽象群，这与正有理数乘法群相同（群同构）。要构建能展示两个群之间同构的映射，可以将有理数乘法群中的第 i {\displaystyle i} 个素数的指数重新诠释为多项式中 x i −...

可分解为克雷洛夫子空间的直和。[需要解释] 克雷洛夫子空间用于寻找高维线性代数问题的近似解。控制论的很多线性动态系统检测，特别是与可控制性和可观测性相关的测试，都要检查克雷洛夫子空间的秩。测试等同于寻找与系统/输出映射相关的格拉姆行列式的张成空间，因此不可控与不可观测子空间只是克雷洛夫子空间的正交补。...

T^{0}=I} ，即单位矩阵。这就是多项式函数演算。它是从多项式环到 n × n {\displaystyle n\times n} 矩阵环的同态 p ↦ p ( T ) {\displaystyle p\mapsto p(T)} 。 现在把函数演算的定义域从多项式稍微扩大一点，考虑处处全纯的函数（整函数）...