複分析（英語：Complex analysis）是研究複變的函數，特別是亞純函數和複變解析函數的數學理論。 研究中常用的理论、公式以及方法包括柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。複變分析的应用领域较为广泛，在其它数学分支和物理学中也起着重要的作用。包括数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学。...

{\displaystyle f(z)} 在 z = a {\displaystyle z=a} 处便具有极点。 假设 U {\displaystyle U} 是复平面 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的开子集， a {\displaystyle a} 是 U {\displaystyle...

複迴歸分析，是以關係式表示目的變數和解釋變數之間的關係，然後用於預測的方法。它與主成分分析同為多變量分析。在有目的變數的情形下，使用複迴歸分析；在沒有目的變數的情形下，使用主成分分析。通常此種分析方法會藉助統計軟體計算。...

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=x.} 数学分析在当前被分为以下几个分支领域： 实分析是數學分析中，專門處理實數及实值函数的一個分支。这包括对极限、微分、积分、幂级数和测度的研究。 複分析，是对从複平面到複平面的複数可微函数的研究，和複數的解析函數（或亞純函數）有密切的關係...

{\displaystyle y} 皆為實數，分別稱為複數之「實部」和「虛部」。 複數的發現源於三次方程的根的表達式。數學上，「複」字表明所討論的數體為複數，如複矩陣、複變函數等。 形式上，複數系統可以定義為普通實數的虛數i的代數擴展。這意味著複數可以作為變量i中的多項式進行加，減和乘，並施加規則...

欧拉公式（英語：Euler's formula，又稱尤拉公式）是複分析领域的公式，它将三角函数與复指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·歐拉而得名。歐拉公式提出，對任意实数 x {\displaystyle x} ，都存在 e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle...

复平面上函数的极点与零点的位置。 复平面的想法提供了一个复数的几何解释。在加法下，它们像向量一样相加；两个复数的乘法在极坐标下的表示最简单——乘积的长度或模长是两个绝对值或模长的乘积，乘积的角度或辐角是两个角度或辐角的和。特别地，用一个模长为 1 的复数相乘即为一个旋转。 在复分析中复数通常用符号...

這條恆等式第一次出現於1748年，瑞士數學、物理學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在洛桑出版的書《无穷小分析引论》（Introductio in analysin infinitorum）。這是複分析的歐拉公式之特殊情況。 e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle...

在複分析中，留数定理，又叫残数定理（英語：Residue theorem），是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推论。 假设 U {\displaystyle U} 是复平面上的一个单连通开子集， a 1 , ⋯ , a...

实变函数论是数学分析的一部份，探討像數列及其極限、連續性、函數的导数及积分。實變分析專注在实数，多半會包括正負無窮大以形成擴展實軸。實變分析和研究复数對應性質的複分析緊密相關。在複分析中，很自然的會對全純函數定義导数，全純函數有許多有用的性質，包括多次可微、可以用幂级数表示，而且滿足柯西積分公式。 實變分析...

在複分析中，橢圓函數是複平面上的雙週期亞純函數。歷史上，橢圓函數起初被視作橢圓積分之逆。 更明確地說，固定 C {\displaystyle \mathbb {C} } 中的格 Λ := Z a ⊕ Z b ⊂ C {\displaystyle \Lambda :=\mathbb {Z} a\oplus...

複解析函數則不同：凡複解析函數必為全純函數（即複可導，以實變數表示則是滿足柯西-黎曼方程），反之亦然，因此全純函數與解析函數在複分析中是同一類對象。 實解析與複解析函數有些重要差異，一般而言複解析函數更具剛性。 依據劉維爾定理，定義在整個複平面上的有界解析函數必為常數。此結論對實解析函數不成立，例如：...

微積分的基本概念還包括函數、無窮序列、無窮級數和連續等，運算方法主要有符號運算技巧，該技巧與初等代數和數學歸納法緊密相連。 微積分被延伸到微分方程、向量分析、變分法、複分析、時域微分和微分拓撲等領域。微積分的現代版本是實分析。 微積分中最重要的概念是「極限」。微商（即導數）是一種極限。定積分也是一種極限。...

复分析中的开映射定理內容如下：若U是複平面C的區域，且f : U → C 是非定值的全纯函数，則f為開映射（可以將U內的開集映射到C內的的開集）。 开映射定理（泛函分析中的定理） Rudin, Walter, Real & Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-054234-1 ...

function）是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的开子集上的，在复平面 C {\displaystyle \mathbb {C} } 中取值的，在每点上皆複可微的函数。全纯函数有时称为正则函数。在整个复平面上都全纯的函数称为整函数。在一点...

{\displaystyle x=0} 的點是奇異點，因為該點不可微。 在實變數分析中，奇點是不连续点，或是导数的不連續點。 在複分析中，有四类奇点，如下所述。假定U為複數集C的一個開子集，a是U內的一元素，而f為定義在去心鄰域U \ {a}下的復可微函數。 孤立奇點：假定f即使定義在U \ {a}，但未定義於a。...

到更大定義域的方法。透過此方法，一些原先發散的級數在新的定義域可具有迥異而有限的值。其中最知名的例子為Γ函数與黎曼ζ函數。 若f為一解析函數，定義於複平面C中之一開子集 U，而V是C中一更大且包含U之開子集。F為定義於V之解析函數，並使 F ( z ) = f ( z ) ∀ z ∈ U , {\displaystyle...

刘维尔定理是数学中复分析的一个定理，由十九世纪法国数学家约瑟夫·刘维尔最先证明。刘维尔定理对整函数（即在整个复数域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上都是全纯函数）的值域进行了刻画。它表明，任何有界的整函数都一定是常数。 比刘维尔定理更进一步的是皮卡定理。後者说明，只...

他除了貢獻在複分析與調和分析方面，他還以數學分析的教科書而聞名。其編著的分析學教科書：《數學分析原理》（Principles of Mathematical Analysis）、《實分析與複分析》（Real and Complex Analysis）、《泛函分析》（Functional...

a} 为函数 f {\displaystyle f} 的 n {\displaystyle n} 阶零点。 代数基本定理说明，任何一个不是常数的複系数多项式在复平面内都至少有一个零点。这与实数的情况不一样：有些实系数多项式没有实数根。一个例子是 f ( x ) = x 2 + 1 {\displaystyle...

如果将复数看作二维的向量，那么二维向量场的曲线积分就是相应复函数的共轭函数在同样路径上的积分值的实部。 根据柯西-黎曼方程，一个全纯函数的共轭函数所对应的向量场的旋度是0。 在複分析中，曲线积分是通过复数的加法和乘法定义的。令 U {\displaystyle U} 为複数集...

迴歸分析是建立被解釋變數 Y {\displaystyle Y} （或稱應變數、依變數、反應變數）與解釋變數 X {\displaystyle X} （或稱自變數、獨立變數）之間關係的模型。簡單線性回歸使用一個自變量 X {\displaystyle X} ，複迴歸使用超過一個自變量（...

代数基本定理（英語：fundamental theorem of algebra）说明，任何一个一元複系数多项式方程都至少有一个複数根。也就是说，複數域是代数封闭的。 有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次複系数多项式，都正好有n个複数根（重根視為多個根）。这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一...

萧荫堂（1943年5月6日—），美籍华裔数学家，哈佛大学讲座教授，原哈佛大学数学系主任。其研究领域包括複分析、複几何、代数几何、微分几何等。 萧荫堂出生于广州，1949年至1960年分別在澳門和香港培正中學就讀，1963年获香港大学学士学位。此后赴美国留学，1964年获明尼苏达大学硕士学位，196...

数学上，施瓦茨引理（Schwarz lemma）是複分析中关于定义在单位开圆盘的全纯函数的一个结果，以赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨命名。这引理不及其他结果有名（例如黎曼映射定理，其证明有用到这引理），但却是能显示全纯函数的刚性的一个简单结果。对于实函数则没有类似的结果。 设 D = { z : | z...

Friedrich Bernhard Riemann，1826年9月17日—1866年7月20日），德意志數學家，黎曼几何創始人，複分析創始人之一。在实分析领域，他最著名的贡献是第一个严格的积分公式：黎曼积分以及他关于傅立叶级数的工作。他在1859年發表的關於素數計數函數的著名論文包含了黎曼...

其例子有麥卡托投影和极射投影。 共形映射很重要的一组例子来自复分析。若U是一个复平面C的开集，则一个函数 f : U → C 是共形的，当且仅当它在U上是一个全纯函数，而且它的导数处处非零。若f是一个反全纯函数（也就是全纯函数的复共轭），它也保持角度，但是它会将定向反转。 黎曼映射定理是复分析...

柯西－阿达马公式（Cauchy-Hadamard Formula）为複分析（Complex analysis）中求单複变形式幂级数收敛半径的公式，以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西和雅克·阿达马的名字命名。 对于单一复数变量“z”的形式幂级数 f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( z −...

{\displaystyle \Gamma } 函數的積分定義中若取 z {\displaystyle z\,} 為實部大於零之複數、則積分存在，而且在右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程 Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = π sin ⁡ π z ( 0 < R e ( z ) < 1 )...

數學上所謂的自守形式（英語：Automorphic form），是一類特別的複變數函數，並在某個離散變換群下滿足由自守因子描述之變換規律。模形式與馬斯形式是其特例。由自守形式可定義自守表示，嚴格言之，自守表示並非尋常意義下的群表示，而是整體赫克代數上的模。 龐加萊在1880年代曾研究過自守形式，他...

於此，作為描述一變化的量的核心概念。對於實數及實變函數的嚴格研究為實分析，而複分析則為複數的等價領域。黎曼猜想——數學最基本的未決問題之一——便是以複分析來描述的[需要較佳来源]。泛函分析注重在函數的（一般為無限維）空間上。泛函分析的眾多應用之一為量子力學。許多的問題很自然地會導出一個量與其變化率之...