在雙曲幾何學中，雙曲三角形是指位於雙曲面上的三角形，與平面三角形一樣由3條邊和3個頂點組成，但雙曲三角形的內角和小於180度。正如歐幾里德幾何，任意維度的雙曲空間中的三個點也總是共面，因此，雙曲平面三角形也描述了在任何更高維度的雙曲空間中可能存在的三角形。 根據三角不等式，三角形...

雙曲幾何還有一項性質，就是三角形的內角和小於一個平角（180°）。在極端的情況，三角形的三邊長趨近於無限，而三內角趨近於0°，此時該三角形稱作理想三角形。 双曲几何专门研究当平面变成鞍马型之后，平面几何到底还有哪些可以适用，以及会有甚麼特別的现象產生。在双曲几何的环境裡，平面的曲率是負数。...

雙曲函數示意圖 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是雙曲正弦函数 sinh {\displaystyle \sinh } 和雙曲餘弦函数 cosh {\displaystyle \cosh } ，从它们可以导出双曲正切函数 tanh {\displaystyle...

在數學中，雙曲餘弦是一種雙曲函數，是雙曲幾何中，與歐幾里得幾何的餘弦函數相對應的函數。雙曲餘弦一般以cosh表示，在部分較舊的文獻中有時會以 C o s {\displaystyle {\mathfrak {Cos}}} 表示。雙曲餘弦可以用來描述悬链线，即兩端固定自然下垂的繩索，因此可以用於進行悬索桥的工程計算。...

在幾何學中，無限階三角形鑲嵌是一種位於雙曲平面仿緊空間鑲嵌圖形，由正三角形組成，在施萊夫利符號中用{3,∞}來表示，考克斯特-迪肯符號（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中以表示。每個頂點都是無限多個三角形的公共顶点，也因此使這個圖形無法存於平面上。這個圖形每一條線都可以做為整個圖形的對稱線。...

雙曲性，在擬等距映射下不變。 有限群 逼肖循環（virtually cyclic）群 有限生成自由群，更一般的凡是作用在局部有限樹上並有有限穩定子群的群。 曲面群差不多都是雙曲群，確切而言任何歐拉特徵為負的閉曲面，基本群都是雙曲群。 三角形群\triangle(l,m,n)差不多都是雙曲群，確切而言凡是1/l...

雙曲足球（英語：hyperbolic soccerball）。足球是截角二十面體，可以視為五階三角形鑲嵌經截角變換後的像，與截角七階三角形鑲嵌非常類似，但截角二十面體是球面鑲嵌，截角七階三角形鑲嵌是雙曲面鑲嵌。 這個鑲嵌因為形狀類似截角二十面體即俗稱的足球，因此又被稱為雙曲足球（英語：hyperbolic...

{{60}\times {7}}=420} 度，超過360度，因此無法在平面構造，是一種雙曲正鑲嵌，在施萊夫利符號中用{3,7}來表示。 七階三角形鑲嵌的對稱群是（2,3,7）三角群，且其根本域為（2,3,7）施瓦茨三角形。這是最小的雙曲施瓦茨三角形，因此，由赫爾維茨的同構定理的證明，該鑲嵌完全密鋪整個赫爾維茨曲面（...

在幾何學中， 八階三角形鑲嵌 是由三角形組成的雙曲面正鑲嵌圖，每八個三角形共用一個頂點。在施萊夫利符號用{3,8}表示。八階三角形鑲嵌即每個頂點皆為八個三角形的公共頂點，頂點周圍包含了八個不重疊的三角形，一個三角形內角60度，八個三角形超過了360度，因此無法因此無法在平面作出，但可以在雙曲面上作出。 如要得到一半的對稱性[1+...

三角形為等腰直角三角形。若繪製45–45–90度三角形斜邊的中線，中線會將45–45–90度三角形分割為另外二個較小的45–45–90度三角形，邊長是原來的1/√2。 45–45–90度三角形為等腰直角三角形，在平面幾何中，這也是唯一是等腰三角形的直角三角形。不過在球面幾何學或雙曲幾何中，有無限種也是等腰三角形的直角三角形。...

kisrhombille）或六角化六階三角形鑲嵌，從其他類似的雙曲鑲嵌分開來，如四角化七階三菱形鑲嵌（3-7 kisrhombille）即六角化七階三角形鑲嵌。它也可以視為將六邊形鑲嵌中的每一個正六邊形從重心分割為12個全等的直角三角形所組成的鑲嵌，即十二角化六邊形鑲嵌...

triangle）並且對應於一個沒有重疊的鑲嵌，其對稱群稱為一個三角群。在球面移共有3個莫比烏斯三角形加一個單參數族；在歐氏平面上有三個莫比烏斯三角形；而在羅氏雙曲空間中有三個參數族的莫比烏斯三角形，並沒有特例。 施瓦茨三角形所屬的空間取決於其p、q、r值： 1 p + 1 q + 1 r > 1  :  {\displaystyle...

雙曲空間或雙曲空間。以上是米哈伊爾·格羅莫夫的定義，因為不須用到測地線，故可以用於一般的度量空間。 一個測地度量空間是格羅莫夫雙曲的，當且僅當存在常數 δ ≥ 0 {\displaystyle \delta \geq 0} ，使得每個測地三角形（三邊都是測地線段的三角形）都是δ-瘦，即是三角形...

三角化三角形鑲嵌的對偶鑲嵌是由正三角形和正十二邊形組成的截角六邊形鑲嵌 三角化三角形鑲嵌是一系列截角多面體或鑲嵌的對偶之一，該系列從球面到平面一直延伸至雙曲平面。他們皆為面可遞，並具有(*n32)反射對稱。 三角化三角形鑲嵌是截角六邊形鑲嵌的對偶镶嵌，而截角六邊...

n}都是双曲镶嵌： 正七邊形鑲嵌可以透過截角操作或其他康威變換得到一系列与之相关的半正镶嵌，其與正七邊形鑲嵌擁有相似的對稱性[7,3](*732)或[7,3]+(732)： 七階三角形鑲嵌的對稱群是(2,3,7)三角群，且其根本域為(2,3,7)施瓦茨三角形。這是最小的雙曲施瓦茨三角形...

在数学中，雙曲函數恆等式是对出现的变量的所有值都为實的涉及到雙曲函數的等式。这些恒等式在表达式中有些雙曲函數需要简化的时候是很有用的。雙曲函數的恆等式有的與三角恆等式類似。就如同三角函數，他有一个重要应用是非雙曲函數的积分：一个常用技巧是首先使用换元积分法，規則與使用三角函数的代换规则類似，则通过雙曲函數恆等式可简化结果的积分。...

 2−1/4)/2)大約80度的邊界圓的超圓形。位於白線中間的紅色三角形和正方形才是真正的雙曲面對稱軸線。木刻的正方形和三角形與雙曲平面鑲嵌的交錯八邊形鑲嵌擁有相同的規律，但他們的幾何形狀是不一樣的：在交錯八邊形鑲嵌中，正方形和三角形的邊是雙曲線段，而在艾雪的版畫，是超圓形的弧線，讓艾雪的平滑曲線只...

進行光學研究（尤其是吸光度） 發表π是無理數的證明（成為證明此特性的第一人） 提出宇宙存在其他行星系，甚至是其他星系的假說 首度將雙曲函數引入三角學 研究非歐幾何，包括雙曲三角形的角度與面積 研發第一款實用的濕度計 研究地图投影（橫軸墨卡托投影） 比爾－朗伯定律 朗伯 (單位) 小行星187...

曲面，作為正則地區圖可以具象化為一種環形多面體，在施萊夫利符號中表示為{6,3}1,0。 三面形的對偶多面體為三角形二面體（Triangular dihedron或Trigonal dihedron），又稱為雙三角形（di-triangle），是一種多邊形二面體，由2個三角形...

雙型齒翼龍有較多原始特徵，而曲頜形翼龍較少原始特徵。在2010年，Brian Andres等人提出真雙型齒翼龍、奧地利翼龍形成一個更原始的演化支，而曲頜形翼龍科只包含曲頜形翼龍。其他近年種系發生學研究也得出類似的結論，並提出曲頜形翼龍的演化位置，比三疊紀的所有翼龍類、侏羅紀早期的雙型齒翼龍、雙...

雙曲線的形式，而存在等式cos(π/n) = cos(πλ/(iπ)) = cosh(2λ)，而λ∈{ π/n | n∈Z }。 其亦可以視為二維空間的雙曲密鋪，和三維雙曲密鋪如：正七邊形鑲嵌、七階三角形鑲嵌等，做類比。其屬於非緊湊空間。 正偽多邊形無法在平面上存在，但可以構造在雙...

disk model），是一个 n-维双曲几何模型。几何中的点對應到 n 维圆盘（或球）上的點，几何中的「直线」（准确地说是测地线）對應到任意垂直于圆盘边界的圓弧或是圆盘的直径。庞加莱圆盘模型、克莱因模型以及庞加莱半空间模型，一起被贝尔特拉米用来证明双曲几何与欧几里得几何的相容性等价。 如果 u...

在幾何學中， 截角正七邊形鑲嵌是一種雙曲半正鑲嵌。 每個頂點皆由一個正三角形與兩個正十四邊形構成。在施萊夫利符號中用t{7,3}來表示。 截角正七邊形鑲嵌的對偶為三角化七階三角形鑲嵌，其為正七邊形鑲嵌的每一個三角形從中心點分割為三個三角形。 此雙曲線鑲嵌的拓撲結構與一系列頂點圖為(3.2n.2n)且對稱群為[n...

tiling）是一種由三角形和無限邊形拼合的雙曲半正鑲嵌，可利用三階無限邊形鑲嵌經由截角變換構造而得，在施萊夫利符號中用r{∞,3}表示。 截半三階無限邊形鑲嵌每個頂點周圍皆有兩個三角形和兩個無限邊形交錯排列，即每個頂點為兩個三角形和兩個無限邊形的公共頂點，頂點圖以3.∞.3...

代。同樣的，在球面幾何中的角被定義在兩個大圓之間。結果是球面三角學和平常的三角學有諸多不同之處。例如：球面三角形的內角和大於180°。 對比於通過一個點至少有兩條平行線，甚至無窮多條平行線的雙曲幾何，通過特定的點沒有平行線的球面幾何學是橢圓幾何學中最簡單的模式。 球面幾何學在航海學和天文學都有實際且重要的用途。...

的總和超過了360度因此無法在歐幾里得平面上建構此種幾何結構。而在雙曲幾何中，這樣的六邊形不被視為內角為120度的六邊形，而是內角為60度的正六邊形。在球面幾何和雙曲幾何中，長度尺度都可以利用具有固定角度的等邊三角形邊長來定義。以雙曲幾何為例，長度一般以絕對長度（一種特殊的長度單位，類似於球面幾何中...

在幾何學中，交錯八邊形鑲嵌是一種半正雙曲面鑲嵌，由三角形和正方形組成，在施萊夫利符號中用{(4,3,3)}或h{8,3}表示。交錯八邊形鑲嵌是指正八邊形鑲嵌經過交錯變換產生的鑲嵌圖。 交錯八邊形鑲嵌也可以算是一種雙曲面上的三角形-正方形鑲嵌。 交錯八邊形鑲嵌具有[(4,3,3)],...

在雙曲面上的無限邊形最著名的是正無限邊形， {∞}，其位於雙曲面上時能夠像有限邊數的正多邊形一樣擁有曲率，但其外接圓並非圓形而是雙曲極限圓或雙曲超圓形。由於多邊形的定義是平面上由一系列線段首尾連接起來的封閉圖形，在雙曲面無限邊形的邊在無窮遠處首尾相接並在雙...

四面體是由四個三角形面組成的多面體，每两个三角形都有一个共同的边，每三个三角形都有一个共同的顶点。四面體也可以視為由四個三角形合成的角錐，底面為三角形，可以任一面為底，因此又稱為三角錐或三稜錐。所有四面体皆由四个顶点、六条棱和四个面組成，是所有凸多面体中最简单的。四面體包括正四面體、鍥形體等種類，由...

在幾何學中，二分之七階七邊形鑲嵌（英語：Heptagrammic-order heptagonal tiling）是一種正星形的雙曲鑲嵌，密鋪於雙曲（羅氏）平面， 它在施萊夫利符號中用{7,7/2}表示， 它的頂點圖是{7/2}七角星，整個圖形以正七邊形由重疊密度（英语：Density (polytope)）3構成。...

rtex_arrangement）。其對偶幾何圖形為三階六邊形鑲嵌蜂巢體。 其與二維空間中的無限接三角形鑲嵌類似，頂點都是無窮遠點 六階四面體堆砌是十一種三維仿緊正雙曲密鋪之一，其他十種三維仿緊正雙曲密鋪為： 七階四面體堆砌 Jeffrey R. Weeks The Shape of Space,...