非欧几里得几何，简称非欧几何，是多个几何形式系统的统称，与欧几里得几何的差别在于第五公设。 古希腊数学家欧几里得的《几何原本》提出了五条公设： 从一點向另一點可以引一条直线。 任意线段能无限延伸成一条直线。 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。 所有直角都相等。...

欧几里得几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。 欧几里得几何有时就指二维平面上的几何，即平面几何，本文主要描述平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何，高维的情形请参看欧几里得空间。 数学上，欧几里得几何是二维平面和三维空间中的几何，基于點線面公設。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。...

欧几里得空间是在约公元前300年，由古希腊数学家欧几里得建立的角和空间中距离之间联系的法则。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理在幾何原本中都有所體現。 这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n维欧几里得空间（甚至简称 ...

歐幾里得也寫過一些關於透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。歐幾里得幾何被广泛的认为是數學領域的經典之作。 欧几里得生前活躍於亞歷山大圖書館，而且很有可能曾在柏拉圖學院學習。直到現在都無法得知欧几里得的生卒日期、地點和細節。直到現在，還沒有找到任何欧几里得在世時期所畫的畫像，所以現存的欧几里得...

几何学家是研究几何学的数学家。 下表列出了一些重要几何学家和他们的主要研究领域，按出生时间顺序排列如下： 更多資料：幾何學發展史（英语：History of geometry） Baudhayana（英语：Baudhayana sutras） (fl. c. 800 BC) —— 欧几里得几何，代数几何...

在数学中，欧几里得空间中两点之间的欧几里得距离是指连接这两点的线段的长度。通过使用勾股定理，可以根据点的笛卡尔坐标计算这个距离，因此有时也被称为勾股距离。这些名称来源于古希腊数学家欧几里得和毕达哥拉斯，尽管欧几里得并没有用数字表示距离，而且直到18世纪才将勾股定理与距离计算联系起来。 通常将两个非...

幾何。几何学是數學的一个基础分支，主要研究形狀、大小、圖形的相對位置等空間区域關係以及空间形式的度量。 許多文化中都有幾何學的發展，包括許多有關長度、面積及體積的知識，在西元前六世紀泰勒斯的時代，西方世界開始將幾何學視為數學的一部份。西元前三世紀，幾何學中加入歐幾里德的公理，產生的欧几里得几何...

双曲几何又名罗氏几何（罗巴切夫斯基几何），是非欧几里德几何的一种特例。與欧几里德几何的差別在於第五條公理（公設）－平行公設。在欧几里德几何中，若平面上有一條直線R和線外的一點P，則存在唯一的一條線滿足通過P點且不與R相交（即R的平行線）。但在雙曲幾何中，至少可以找到兩條相異的直線，且都通過P點，並...

黎曼幾何 黎曼几何以黎曼流形为主要研究对象— 有额外结构的光滑流形，他们因此无穷小得看起来像欧几里得空间。这使得欧几里得几何的诸如函数的梯度，散度，曲线的长度等概念得到了推广；而无须假设空间整体上有这么对称。 复幾何 研究的对象是复流形。这是一类有着可积的近复结构的微分流形。因为非...

在抽象代數中，歐幾里得整環（Euclidean domain）是一種能作輾轉相除法的整環。凡歐幾里得整環必為主理想環。 一個歐幾里得整环是一整環 D {\displaystyle D} 及函數 v : D ∖ { 0 } → N ∪ { 0 } {\displaystyle v:D\setminus...

数学：确定性的丧失（英語：Mathematics: The Loss of Certainty）是莫里斯·克莱因的一部关于数学文化在整个20世纪发展变化的著作。 这本书追溯了数学发展中一些令数学家们也表示惊讶的发现，如非欧几里得几何的发现如何震惊了19世纪的数学家以及哥德尔不完备定理如何让逻辑学家们沮丧。 Review...

有一个“几何”还是很多个？自欧几里得以来，几何意味着二维（平面几何）或者三维（立体几何）欧几里得空间的几何。在19世纪上半叶，有了一些发展使得这个景象变得复杂了。数学应用要求有四维或者更高维的几何；对传统欧几里得几何的基础的审视已经揭示出平行公理和其他公理的独立性，而且非欧几里得几何已经诞生；而在射影几何中，新的“点”（无穷远点，有复数坐标的点）已经被引入。...

综合微分几何（英语：synthetic differential geometry） 度量张量 黎曼流形 伪黎曼流形 列维-奇维塔联络 非欧几里得几何 橢圓幾何（英语：Elliptic geometry） 球面幾何學 Sphere-world（英语：Sphere-world） 球面三角學 双曲几何 雙曲空間...

{\displaystyle 2\pi \chi (M)} ，這裡的 χ ( M ) {\displaystyle \chi (M)} 記作M的欧拉示性数。 纳什嵌入定理：（两个）被稱為黎曼幾何的基礎理論。他們表明每個黎曼流形可以是嵌入歐幾里得空間Rn。 所有给出的定理中，都将用空间的局部行为（通常用曲...

n，用于证明双曲几何与通常欧几里得几何的等相容性（英语：equiconsistency）（equiconsistency）。 距离公式最先由阿瑟·凯莱在射影和球面几何的情形下写出。菲利克斯·克莱因意识到它对非欧几里得几何的重要性并普及了这个论题。 阿瑟·凯莱使用射影几何中的交比衡量球面几何...

假定所有歐幾里得公設（當中包括平行公設）都成立的幾何称为歐幾里得幾何。假定平行公設不成立的稱為非歐幾里得幾何。不依賴於平行公設的幾何，也就是只假設前四條公設的，稱為仿射幾何。 这只是一个与平行线的性质有关的公设。欧几里得已在《几何原本》第I卷定义第23条中定义过平行线了。。 歐幾里得幾何...

鲍耶环形山(Bolyai)是月球背面南半球一座大型撞击坑，约形成于前酒海纪，其名称取自匈牙利数学家、非欧几里得几何(现称罗氏几何)创始人之一的鲍耶·亚诺什(1802年-1860年)，1970年被国际天文学联合会正式批准接受。 该陨坑的北面毗邻诺伊明环形山，东南靠近厄缶环形山；科布伦茨陨石坑位于它的南面；西南偏西坐落着皮泽蒂环形山。...

在數學裡，投影幾何（英語：projective geometry）研究在投影變換下不變的幾何性質。與初等幾何不同，投影幾何有不同的設定、射影空间及一套基本幾何概念。直覺上，在一特定維度上，投影空間比歐氏空間擁有「更多」的點，且允許透過幾何變換將這些額外的點（稱之為無窮遠點）轉換成傳統的點，反之亦然。...

在非欧几里得几何中，庞加莱半平面模型（Poincaré half-plane model）是赋有庞加莱度量的上半平面，这是二维双曲几何的一个模型。 它以昂利·庞加莱命名，但最初是贝尔特拉米（Eugenio Beltrami）发现的，他用这个模型与克莱因模型以及庞加莱圆盘模型（属于黎曼）证明了双曲几何...

威廉·卡尔·约瑟夫·基灵（德語：Wilhelm Karl Joseph Killing，1847年4月10日—1923年2月11日），德国数学家，在李代数、李群与非欧几里得几何等理论作出了重要贡献。 基灵就读于明斯特大学，随后1872年在卡尔·魏尔斯特拉斯与恩斯特·库默尔的指导下在柏林写博士论文。他从1868年到18...

在几何学中，角（jiǎo）（英語：angle）或精确用语平面角，是由两条有公共端点的射线组成的几何对象。这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。一般的角會假設在欧几里得平面上，但在非欧几里得几何中也可以定義角，特別是在球面幾何學中的球面角（英语：spherical...

数学上，立体几何（英語：solid geometry，德語：Stereometrie，希臘語：Στερεομετρία）是三维歐幾里得空間的几何的传统名称。实践上这大致上就是一般生活的空间。一般作为平面几何的后续课程。其研究對象是立体（簡稱体）——占据一定三维空间，具有非零体积的物体。...

variables）、微分几何、拓扑学和数论等不同领域均有交叉。始于对代数方程组的研究，代数几何延续解方程未竟之事；与其求出方程实在的解，代数几何尝试理解方程组的解的几何性质。代数几何的概念和技巧都催生了某些最深奥的数学的分支。 进入20世纪，代数几何的研究又衍生出几个分支： 研究代数簇中，坐标在有理数域或代数数域里...

平行是一个几何学术语。在平面几何中，永远不会相交的多条直线，或者多个平面彼此互相平行。在欧几里得几何中，由平行公设，一个平面上的直线外指定一个点，就能指定出一条与它平行的直线。在非欧几何中，根据空间曲率的不同，在一条直线外指定一个点可以作多条或零条与它平行的直线。 在三维空间或一般的欧几里得...

欧几里得定理是数论中的基本定理，定理指出素数的个數是无限的。该定理有许多著名的证明。 欧几里得在他的著作《几何原本》（第九卷的定理20）提出了证明，大意如下： 对任何有限素数的集合 p 1 , p 2 , . . . , p n {\displaystyle {p_{1},p_{2},...,p_{n}}}...

几何著作中作了讨论。 他获得博士后，开始担任一连串的教授职位。1901年他在西西里的卡塔尼亚大学开始教学，不久后转到热那亚大学；1908年转到都灵的都靈理工大學，接着在都灵大学。他留在这里数十年。 他这时的研究主要在数学分析，特别是微分方程、泛函分析和复分析；但他也研究了变分学、群论、非欧几里得...

whole"（整體由部份構成。） 《幾何原本》的阿拉伯文版將σημεῖόν譯為نقطة，意思回到亞里斯多德的可見點；拉丁文版則將σημεῖόν翻譯為punctum，意思是尖物刺成的小洞。 在歐幾里得幾何，點是空間中只有位置，沒有大小的圖形。點是整門歐幾里得幾何學的基礎，後者是研究點，線，面，體的一種科學。欧几里得...

曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。 从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet...

在數學中，辗转相除法，又称欧几里得算法（英語：Euclidean algorithm），是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。 两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法基于如...

研究保持着“宁要少些，但要好些”的原则，所以从未发表过非欧几何方面的论文，使得非欧几何为人接受的过程大大的延迟了。直到1868年，意大利数学家贝尔特拉米发表了论文《非欧几何的解释》中指出罗巴切夫斯基和鲍耶创立的双曲几何可以在伪球面上实现，非欧几何才逐渐被关注起来。...

欧金尼奥·贝尔特拉米（1868）、费利克斯·克莱因（1871）分别获得了非欧双曲几何“模型”，从而完全证明了这理论在逻辑上的可能性。 这一发现迫使人们放弃了对欧几里得几何为真理的宣称，表明公理并非“显而易见”，也不是“定义的含义”，而是假设。它们不必匹配实验现实，它的定理也不失为“数学真理”。 非...