数学中，高阶范畴是范畴论在高阶下的情形，一些等式可写成箭头，以便能明确地研究等式背后的结构。高阶范畴论常应用于代数拓扑学（特别是同伦论），用于研究拓扑空间的代数不变量，如其基本弱准范畴。 一个平凡范畴拥有物件与态射两类组分，在高阶范畴论背景下，这些对象统称为1-态射。2-范畴...

在数学的分支范畴论中，准范畴（或称弱Kan复合体、内Kan复合体、无限范畴、∞-范畴、博德曼复合体）是对范畴概念的一个概括，对这种概括的研究即高阶范畴。 准范畴是由Boardman & Vogt (1973)提出的。André Joyal大大推动了对准范畴的研究，指出大多数通常的基本范畴...

在数学中，特别是（高阶）范畴论中，高维代数是指对范畴化结构的研究。其在非阿贝尔代数拓扑与抽象代数的推广中有应用。 定义高维代数的第一步是高阶范畴论中2-范畴的概念，以及二阶范畴的更“几何化”的概念。 更高级的概念因此定义为范畴的范畴，或称为超范畴。这将范畴的标记推广到高维——范畴被视为可以解释抽象范畴基本理论（ETAC）的劳维尔公理的任何结构。...

在數學中，n-範疇是範疇在高階情形的推廣。（小）n-範疇組成的範疇 n-Cat 以下述方式遞迴定義： 0-Cat是集合範疇 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } (n+1)-範疇是全體在 n-Cat 上濃化的範疇組合的範疇，其張量範疇之結構由合成導出。 特例是小範疇及其間函子組成的範疇...

范畴。 同调代数由于计算上的需要而使用范畴论，这对范畴论起到了推进作用；此后范畴论又在代数几何的公理化过程中得到发展。代数几何与罗素-怀特海德的关于数学统一性基础的观点相抵触。广义范畴论随后产生，且更容纳了语意灵活性和高阶逻辑等多种新特征的泛代数，现在被运用到数学的所有分支。 特殊范畴...

在範疇論中，2-範疇是帶有「態射之間的態射」之範疇。可以形式地定之為在 Cat（範疇及其間函子組成的張量範疇，其張量結構由合成導出）上濃化的範疇。 更明確地說，一個 2-範疇 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 由下列資料構成： 由0維胞腔（或對象）組成的類，以大寫羅馬字母表之。...

高阶逻辑的标准语义也因此比一阶逻辑更有表达力，例如其允许对自然数与实数进行范畴公理化，这在一阶逻辑中是不可能的。但根据哥德尔的结论，高阶逻辑的标准语义不容许（递归的公理化的）可靠、完备的证明演算。高阶逻辑标准语义的模型论性质也比一阶逻辑复杂，例如二阶逻辑的勒文海姆数甚至大于一阶...

数学中，范畴化是将集合论的定理替换为范畴论类似物的过程。成功的范畴化会将集合替换为范畴，将函数替换为函子，将方程替换为自然变换或函子。 范畴化的逆叫做“去范畴化”，是将范畴内同构的物件在态射意义下视同相等的系统化过程。去范畴化往往比范畴化更简单。李代数的表示论和特定代数上的模都是这种研究的合适物件。...

Joyal的quasi范畴的形式）在同伦论的抽象设定中起到了充当便捷的框架的作用。它们是其著作《高阶范畴理论》中的主题内容。 他的另一部分贡献是是他在拓扑场理论的一篇文章，在其中他利用无穷范畴（配边假设）的语言对扩展拓扑量子场论的分类进行初步研究。在和 Dennis...

在范畴论中，范畴这一概念代表一些数学对象及这些对象间的一些关系，以及这些关系之间的关系。利用范畴可以公式化抽象结构并保留结构上的关系，如运算。范畴几乎可以出现于现代数学的任意分支，同时也统合了这些分支的底层理念。对范畴本身的研究就称作范畴论。 一个范畴 C {\displaystyle {\mathcal...

范畴论中，积（或直积）的概念提取了集合的笛卡儿积、群的积、环的积、拓扑空间的积等概念的共性。本质上讲，一组对象的积是到这些对象都有态射的对象中最具代表性的。 给定范畴C。C中一对象集{Xi | i ∈ I}的积为满足下面泛性质的偶(X, (πi))，其中X为一对象，πi : X → Xi（i ∈...

範疇的零對象則是當然群，也就是只包含單位元的群。 阿貝爾群範疇Ab是群範疇的完全子範疇。Ab是一個交換範疇，但群範疇本身不是交換範疇；事實上，群範疇甚至不是可加範疇，而這是因為在兩個群同態之間，通常沒有可自然定義的「和」之故。以下為其證明： 三階對稱群S3映至自己的映射 E...

当C是范畴Set，即实际元素的集合时，其与范畴论元素的情况类似。在这种情况下，我们有“单点”集合{1}，任何集合S的元素都与S的{1}的值点相同。此外，还有{1,2}值点，它们是S的元素对，或S × S的元素。这些高阶的点和集合并没有直接联系：...

范畴论的一部分。在范畴论中，态射不必是函数，而通常被视为两个对象（不必是集合）间的箭头。不像映射一个集合的元素到另外一个集合，它们只是表示域（domain）和陪域（codomain）间的某种关系。 尽管态射的本质是抽象的，多数人关于它们的直观（事实上包括大部分术语）来自于具体范畴...

在範疇論中，一個預可加範疇是使得任兩個對象間的態射集 H o m ( A , B ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)} 帶有交換群結構，並使得態射合成為雙線性運算之範疇。 形式地說，預可加範疇是在交換群的么半範疇上濃化的範疇。預加法範疇有時亦稱Ab-範疇...

在数学领域，范畴C的对象I称为始对象（或初始对象），若对任何对象X，从I到X的态射唯一，或者说，C(I,X)为单元素集合。终对象（或终止对象、终结对象）是始对象的对偶概念。范畴C的对象T称为终对象，若对任何对象X，从X到T的态射唯一。若某对象即是始对象又是终对象，则称其为零对象。 范畴...

在數學裡的範疇論中，極限（英語：Limit）的概念融貫了多種構造，包括和、積等等；範疇論中許多泛性質也可從極限來理解。 極限分為極限與餘極限（又稱上極限），彼此的定義相對偶。在不同場合的別名及英譯如下表： 本條目用語取歸納極限與射影極限。 一範疇 C 中的極限及上極限可用 C 中的圖示來定義。形式上，C...

范畴论中，余核与核是对偶的，因而得名。核是域的子对象（核映射到域），而余核是上域的商对象（上核由上域映射到）。 直观地，要求解方程f(x)=y，余核表示使方程有解时对y的限制，而核则表示解的自由度。更一般地，态射f: X→Y在某些范畴...

數學分支範疇論中，兩個範疇 C , D {\displaystyle {\mathcal {C,D}}} 之積，是集合的笛卡兒積的延申。乘積以 C × D {\displaystyle {\mathcal {C\times D}}} 表示，其結果又稱積範疇（英語：product category）。定義雙函子及多函子時，要用到積範疇。...

在数学的很多分支，经常用“在给定某些条件下存在唯一态射”这种形式的性质来定义一些构造。这种性质统称为泛性质（英語：Universal property），有时也称为万有性。范畴论研究泛性质。 了解泛性质最好先研究一些例子。如：群积、直和、自由群、积拓扑、斯通-切赫紧致、张量积、反极限、直极限、核与上核、拉回、推出、等子等。...

这显示了这些态射之间有一种结合性。一个A无穷范畴就是打破这些结合性，使之成为在同伦意义下是结合的，同时有高阶同伦算子，成为同伦的同伦，同伦的同伦的同伦，等等。因此一个A无穷范畴并不是一个范畴，而是同伦意义下的范畴：它的“同调”形成一个范畴。 深谷在研究辛拓扑的时候发现了这个A无穷范畴...

泛等基础源于某些基于高阶范畴论建立数学基础的尝试。最接近泛等基础的早期思想是Michael Makkai表示“具有依值种类（Dependent Sorts）的一阶逻辑”（FOLDS）的思想。泛等基础和 Makkai 预想的基础之间的主要区别是认识到“集合的高维类比”对应于无穷广群，并且范畴应被视为偏序集的高维类比。...

在數學裡，具體範疇一般被認為是這樣的一種範疇，其物件為結構性的集合，態射為結構保持的函數，而態射複合則為函數複合。其形式定義並不和此直觀完全吻合。 集合與函數的範疇Set 當然為一具體範疇，因為每個集合都可以被認為戴有一個「當然結構」。更重要的例子還包括了拓樸空間和連續函數的範疇Top與群和同態的範疇Grp。...

在数学领域，尤其是范畴论中，通常使用以对象为顶点、态射为边的交换图表来直观的表达一些性质，尤其是泛性质。 在图表中，复合连接任意两个对象的不同路径上的态射，所得的结果均相等，则称此图表可交换。同时，按照惯例，实线通常表示任意给定的态射，虚线则表示存在或唯一存在的态射。 下面的正方形为可交换，如果满足条件：y o w...

在範疇論中，函子是範疇間的一類映射。函子也可以解釋為小範疇範疇內的態射。 函子首先現身於代數拓撲學，其中拓撲空間的連續映射給出相應的代數对象（如基本群、同調群或上同調群）的代數同態。在當代數學中，函子被用來描述各種範疇間的關係。「函子」（英文：Functor）一詞借自哲學家魯道夫·卡爾納普的用語。卡...

在更小开子集上的能力产生了预层（presheaf）的概念，粗略地说就是局部数据可粘合到全局数据。 设X为拓扑空间，C是范畴（常是集合范畴、交换群范畴、交换环范畴，或固定的环上的模范畴)。C中的物件在空间X上的预层（presheaf） F {\displaystyle F} 由如下数据给出： 对每個开子集...

數學的分支範疇論中，單子（英語：monad），又稱三元組（triple, triad）、標準構造（standard construction）、基本構造（fundamental construction），是一個內函子（英语：endofunctor）（即由某範疇映到自身的函子），連同滿足特定連貫條件（英语：coherence...

as first-class citizens”中提出这一概念。 头等函数是函数式程序设计所必须的。通常要使用高阶函数。map函数就是一个高阶函数，其实参是一个函数及一个list，返回结果是把作为参数的函数作用于list的每个元素后的结果形成的list。...

高阶代数 K-理论的表述，这是一个从代数 K-理论诞生起就困扰数学家们的问题。新工具是用同伦论表述的，已证明在表述以及解决代数中的主要问题是成功的，特别是环论与模论。更一般地，奎伦发展可将代数拓扑工具使用于其它情形的工具（特别是他的模型范畴理论）。 在他定义高阶代数...

亚系 Subseries（常用于动物学） 中文“阶元”为阶层（等级）和单元（门类、范围）的组合词，兼具二者含义。 中文“类群”一词涵义广泛，可指任何相似生物的种群组合，例如生态行为相似的“生态类群”，大致对应英文的 group 一词，并不限于分类学范畴。 International Code of Nomenclature...

它也称为命題演算、句子演算、句子逻辑，有时也称为零阶逻辑。它涉及命题（可以是真或假）和命题之间的关系，包括基于它们的论证的构建。复合命题是通过逻辑连接词连接命题而形成的。不包含逻辑连接词的命题称为原子命题。 与一阶逻辑不同，命题逻辑不处理非逻辑对象、以及关于它们的谓词或量词。然而，命题逻辑的所有机制都包含在一阶逻辑和高阶...