数学中，高阶范畴是范畴论在高阶下的情形，一些等式可写成箭头，以便能明确地研究等式背后的结构。高阶范畴论常应用于代数拓扑学（特别是同伦论），用于研究拓扑空间的代数不变量，如其基本弱准范畴。 一个平凡范畴拥有物件与态射两类组分，在高阶范畴论背景下，这些对象统称为1-态射。2-范畴...

在数学的分支范畴论中，准范畴（或称弱Kan复合体、内Kan复合体、无限范畴、∞-范畴、博德曼复合体）是对范畴概念的一个概括，对这种概括的研究即高阶范畴。 准范畴是由Boardman & Vogt (1973)提出的。André Joyal大大推动了对准范畴的研究，指出大多数通常的基本范畴...

范畴。 同调代数由于计算上的需要而使用范畴论，这对范畴论起到了推进作用；此后范畴论又在代数几何的公理化过程中得到发展。代数几何与罗素-怀特海德的关于数学统一性基础的观点相抵触。广义范畴论随后产生，且更容纳了语意灵活性和高阶逻辑等多种新特征的泛代数，现在被运用到数学的所有分支。 特殊范畴...

在数学中，特别是（高阶）范畴论中，高维代数是指对范畴化结构的研究。其在非阿贝尔代数拓扑与抽象代数的推广中有应用。 定义高维代数的第一步是高阶范畴论中2-范畴的概念，以及二阶范畴的更“几何化”的概念。 更高级的概念因此定义为范畴的范畴，或称为超范畴。这将范畴的标记推广到高维——范畴被视为可以解释抽象范畴基本理论（ETAC）的劳维尔公理的任何结构。...

在數學中，n-範疇是範疇在高階情形的推廣。（小）n-範疇組成的範疇 n-Cat 以下述方式遞迴定義： 0-Cat是集合範疇 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } (n+1)-範疇是全體在 n-Cat 上濃化的範疇組合的範疇，其張量範疇之結構由合成導出。 特例是小範疇及其間函子組成的範疇...

高阶逻辑的标准语义也因此比一阶逻辑更有表达力，例如其允许对自然数与实数进行范畴公理化，这在一阶逻辑中是不可能的。但根据哥德尔的结论，高阶逻辑的标准语义不容许（递归的公理化的）可靠、完备的证明演算。高阶逻辑标准语义的模型论性质也比一阶逻辑复杂，例如二阶逻辑的勒文海姆数甚至大于一阶...

数学中，范畴化是将集合论的定理替换为范畴论类似物的过程。成功的范畴化会将集合替换为范畴，将函数替换为函子，将方程替换为自然变换或函子。 范畴化的逆叫做“去范畴化”，是将范畴内同构的物件在态射意义下视同相等的系统化过程。去范畴化往往比范畴化更简单。李代数的表示论和特定代数上的模都是这种研究的合适物件。...

当C是范畴Set，即实际元素的集合时，其与范畴论元素的情况类似。在这种情况下，我们有“单点”集合{1}，任何集合S的元素都与S的{1}的值点相同。此外，还有{1,2}值点，它们是S的元素对，或S × S的元素。这些高阶的点和集合并没有直接联系：...

范畴论中，积（或直积）的概念提取了集合的笛卡儿积、群的积、环的积、拓扑空间的积等概念的共性。本质上讲，一组对象的积是到这些对象都有态射的对象中最具代表性的。 给定范畴C。C中一对象集{Xi | i ∈ I}的积为满足下面泛性质的偶(X, (πi))，其中X为一对象，πi : X → Xi（i ∈...

小範疇是一個ob(C)和hom(C)都是集合而不是真類的範疇。不是小範疇的範疇則稱之為大範疇。局部小範疇是指對所有物件a和b，態射類hom(a,b)都會是集合（被稱之為態射集合）的一個範疇。許多在數學中的重要範疇（如集合的範疇），即使不是小範疇，但也都至少會是局部小範疇。 每一範疇都可由其物件、態射和態射複合來表示。...

在範疇論中，2-範疇是帶有「態射之間的態射」之範疇。可以形式地定之為在 Cat（範疇及其間函子組成的張量範疇，其張量結構由合成導出）上濃化的範疇。 更明確地說，一個 2-範疇 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 由下列資料構成： 由0維胞腔（或對象）組成的類，以大寫羅馬字母表之。...

Joyal的quasi范畴的形式）在同伦论的抽象设定中起到了充当便捷的框架的作用。它们是其著作《高阶范畴理论》中的主题内容。 他的另一部分贡献是是他在拓扑场理论的一篇文章，在其中他利用无穷范畴（配边假设）的语言对扩展拓扑量子场论的分类进行初步研究。在和 Dennis...

在範疇論中，一個預可加範疇是使得任兩個對象間的態射集 H o m ( A , B ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)} 帶有交換群結構，並使得態射合成為雙線性運算之範疇。 形式地說，預可加範疇是在交換群的么半範疇上濃化的範疇。預加法範疇有時亦稱Ab-範疇...

在數學上，群範疇（表記為Grp或Gp）指的是以群為物件、以同態映射為態射，也因此這是個具體範疇，而研究這範疇的理論即是群論。 群範疇有兩個以群範疇為定義域的遺忘函子，其中一個是映射至幺半群的函子M: Grp → Mon；另一個是映射至集合範疇的函子U: Grp → Set。在這其中，M有兩個伴隨函子，其中一個I:...

这显示了这些态射之间有一种结合性。一个A无穷范畴就是打破这些结合性，使之成为在同伦意义下是结合的，同时有高阶同伦算子，成为同伦的同伦，同伦的同伦的同伦，等等。因此一个A无穷范畴并不是一个范畴，而是同伦意义下的范畴：它的“同调”形成一个范畴。 深谷在研究辛拓扑的时候发现了这个A无穷范畴...

在數學裡，具體範疇一般被認為是這樣的一種範疇，其物件為結構性的集合，態射為結構保持的函數，而態射複合則為函數複合。其形式定義並不和此直觀完全吻合。 集合與函數的範疇Set 當然為一具體範疇，因為每個集合都可以被認為戴有一個「當然結構」。更重要的例子還包括了拓樸空間和連續函數的範疇Top與群和同態的範疇Grp。...

泛等基础源于某些基于高阶范畴论建立数学基础的尝试。最接近泛等基础的早期思想是Michael Makkai表示“具有依值种类（Dependent Sorts）的一阶逻辑”（FOLDS）的思想。泛等基础和 Makkai 预想的基础之间的主要区别是认识到“集合的高维类比”对应于无穷广群，并且范畴应被视为偏序集的高维类比。...

在數學裡的範疇論中，極限（英語：Limit）的概念融貫了多種構造，包括和、積等等；範疇論中許多泛性質也可從極限來理解。 極限分為極限與餘極限（又稱上極限），彼此的定義相對偶。在不同場合的別名及英譯如下表： 本條目用語取歸納極限與射影極限。 一範疇 C 中的極限及上極限可用 C 中的圖示來定義。形式上，C...

數學分支範疇論中，兩個範疇 C , D {\displaystyle {\mathcal {C,D}}} 之積，是集合的笛卡兒積的延申。乘積以 C × D {\displaystyle {\mathcal {C\times D}}} 表示，其結果又稱積範疇（英語：product category）。定義雙函子及多函子時，要用到積範疇。...

在数学领域，范畴C的对象I称为始对象（或初始对象），若对任何对象X，从I到X的态射唯一，或者说，C(I,X)为单元素集合。终对象（或终止对象、终结对象）是始对象的对偶概念。范畴C的对象T称为终对象，若对任何对象X，从X到T的态射唯一。若某对象即是始对象又是终对象，则称其为零对象。 范畴...

亚系 Subseries（常用于动物学） 中文“阶元”为阶层（等级）和单元（门类、范围）的组合词，兼具二者含义。 中文“类群”一词涵义广泛，可指任何相似生物的种群组合，例如生态行为相似的“生态类群”，大致对应英文的 group 一词，并不限于分类学范畴。 International Code of Nomenclature...

阶逻辑中对于一个可数的语言，任何理论都有可数的模型。这在勒文海姆-斯科伦定理中有表达，它说对于任何可数的语言中的任何有一个无限模型都有一个可数的初等子模型。 莫雷（Morley）证明了著名的范畴定理。即对于可数语言的任何可数完备理论，如果它在某个不可数基数上是范畴的，则它在所有不可基数上都是范畴...

一阶逻辑是使用於数学、哲学、语言学及電腦科學中的一种形式系统，也可以稱為：一阶斷言演算、低階斷言演算、量化理論或谓词逻辑。一階邏輯和命題邏輯的不同之處在於，一階邏輯包含量詞。 高階邏輯和一階邏輯不同之處在於，高階邏輯的斷言符號可以有斷言符號或函數符號當做引數，且容許斷言量詞或函數量詞。在一階...

高阶代数 K-理论的表述，这是一个从代数 K-理论诞生起就困扰数学家们的问题。新工具是用同伦论表述的，已证明在表述以及解决代数中的主要问题是成功的，特别是环论与模论。更一般地，奎伦发展可将代数拓扑工具使用于其它情形的工具（特别是他的模型范畴理论）。 在他定义高阶代数...

在函数式编程中，函子（functor）是受到范畴论函子启发的一种设计模式，它允许泛化类型在内部应用一个函数而不改变泛化类型的结构。函子形成了更复杂的抽象如应用式、单子、Comonad的基础。 这个想法在Haskell中使用类型类来编码实现： class Functor f where fmap ::...

在范畴论中，函数空间叫做指数对象。它以一种方式出现为表示规范双函子；但是作为类型[X, -]的（单一）函子，它出现为对在对象上的类型（-×X）的函子的伴随函子。 在lambda演算和函数式编程中，函数空间类型被用来表达高阶函数的想法。 在域理论中，基本想法是通过建立良好行为的笛卡儿闭范畴，从可建模lambda演算的偏序中找到构造。...

在数学的很多分支，经常用“在给定某些条件下存在唯一态射”这种形式的性质来定义一些构造。这种性质统称为泛性质（英語：Universal property），有时也称为万有性。范畴论研究泛性质。 了解泛性质最好先研究一些例子。如：群积、直和、自由群、积拓扑、斯通-切赫紧致、张量积、反极限、直极限、核与上核、拉回、推出、等子等。...

范畴论的一部分。在范畴论中，态射不必是函数，而通常被视为两个对象（不必是集合）间的箭头。不像映射一个集合的元素到另外一个集合，它们只是表示域（domain）和陪域（codomain）间的某种关系。 尽管态射的本质是抽象的，多数人关于它们的直观（事实上包括大部分术语）来自于具体范畴...

递归论和证明论。 范畴论也是和数理逻辑有关的数学分支，范畴论的证明方法使用许多公理化的证明方式，但因为其在数学中的广阔应用范围，往往被认为是一个独立的分支。这两个学科的直接联系是范畴逻辑. 但也有范畴论方面的数学家，桑德斯·麦克莱恩认为 范畴论独立于集合论也构成了数学基础。这个观点基于拓扑斯理论。...

对于所有 n {\displaystyle n} 成立。 n {\displaystyle n} 阶同调 H n {\displaystyle H_{n}} 可以视为一个从链复形的范畴到可换群（或者模）的范畴的协变函子。 若链复形以协变的方式依赖于对象 X {\displaystyle X} （也就是任何态射...

數學的分支範疇論中，單子（英語：monad），又稱三元組（triple, triad）、標準構造（standard construction）、基本構造（fundamental construction），是一個內函子（英语：endofunctor）（即由某範疇映到自身的函子），連同滿足特定連貫條件（英语：coherence...