多项式简称为多项式。可以证明，两个多項式的和、差与積仍然是多項式，即多項式組成一個環 R [ X ] {\displaystyle R[X]} ，稱爲 R {\displaystyle R} 上的（一元）多項式環。而所有的二元多项式则可以定义为所有以一元多项式为系数的多项式，即形同 p...

環（英文：Ring）是一種帶有兩個二元運算（抽象化的「加法」和「乘法」）、並且符合特定運算規則的集合。它抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函數、算子等等的代數結構。它是環論的主要研究對象，並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。 環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於...

在抽象代數中，多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個環 R {\displaystyle R} 上的多項式環是由係數在 R {\displaystyle R} 中的多項式構成的環，其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中，當 R {\displaystyle R} 為交換環時，多項式環可以被刻劃為交換...

諾特環是抽象代數中一類滿足升鏈條件的環。希爾伯特首先在研究不變量理論時證明了多項式環的每個理想都是有限生成的，隨後埃米·諾特從中提煉出升鏈條件，諾特環由此命名。 一個環 A {\displaystyle A} 稱作諾特環，若且唯若對每個由 A {\displaystyle A} 的理想構成的升鏈 a...

多項式之上，如質數或不可約因式的唯一分解。 設F為一個體，一非常數多項式在F上不可約，若其係數屬於F，且無法分解成兩個係數為F之非常數多項式的乘積。 具整數係數（或更一般地，具唯一分解整環R內之係數）的多項式被稱為在R上不可約，若該多項式為多項式環（在唯一分解整環上的多項式環也是一唯一分解整環...

在環論中，商環（或稱剩餘類環）是環對一個理想的商結構。 設 R {\displaystyle R} 為一環， I ⊂ R {\displaystyle I\subset R} 為一雙邊理想。定義下述等價關係 x ∼ y ⟺ x − y ∈ I {\displaystyle x\sim y\iff x-y\in...

主理想整环，特別是歐幾里得整环。由此可知整數、高斯整數與艾森斯坦整數環都是唯一分解整环。 體也是唯一分解整环。 若 R {\displaystyle R} 為唯一分解整环，則多項式環 R [ X ] {\displaystyle R[X]} 亦然。(高斯引理) 由此可知任意有限個變元的多項式環 R [...

，高斯引理以高斯命名，是关于整係數多项式的命題，或者更一般地说，是关于一个唯一分解整環的敘述。 高斯的引理断言两个本原多項式的乘積仍是本原多項式（本原多項式是指：係數的最大公因數為1的整係數多項式）。 高斯引理有一個推论，有时也被称为高斯引理。其斷定一個本原多项式在整数上是不可约的 ，若且唯若它在有理数上是不可约的。...

CRC的錯誤檢測能力依賴於關鍵多項式的階次以及所使用的特定關鍵多項式。誤碼多項式 E ( x ) {\displaystyle E(x)} 是接收到的消息碼字與正確消息碼字的異或結果。當且僅當誤碼多項式能夠被CRC多項式整除的時候CRC算法無法檢查到錯誤。 由於CRC的計算基於除法，任何多項式...

在抽象代數中，歐幾里得整環（Euclidean domain）是一種能作輾轉相除法的整環。凡歐幾里得整環必為主理想環。 一個歐幾里得整环是一整環 D {\displaystyle D} 及函數 v : D ∖ { 0 } → N ∪ { 0 } {\displaystyle v:D\setminus...

多項式乘積的內容即為其多項式內容的乘積，如同高斯引理敘述的一樣。 唯一分解整環是GCD環，唯一分解整環是GCD環中恰好也是原子環（每一個非零非單位元素，至少有一種分解為不可約元素乘積的方式）的部份。 Bézout環（英语：Bézout domain）（每個有限生成的理想都是主要理想的整環...

多项式环是整环当且仅当其系数构成整环。比如整系数一元多项式环 Z [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} [X]} 和实系数二元多项式环 R [ X , Y ] {\displaystyle \mathbb {R} [X,Y]} 。 每个域都是整环...

在抽象代數中，交換代數旨在探討交換環及其理想，以及交換環上的模。代數數論與代數幾何皆奠基於交換代數。交換環中最突出的例子包括多項式環、代數整數環與p進數環，以及它們的各種商環與局部化。 由於概形無非是交換環譜的黏合，交換代數遂成為研究概形局部性質的主要語言。 此學科原稱「理想論」，始自戴德金在理想方...

S_{n}} 作用下的不變量構成一個子環，由基本對稱多項式生成，由於基本對稱多項式彼此代數獨立，此不變量環本身也同構於另一多項式環。Chevalley-Shephard-Todd 定理刻劃了其不變量環同構於多項式環的有限群。晚近的研究則更關切算法問題，例如計算不變量環的生成元，或給出其次數的上界。...

} 是整數環 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 的分式環。 有理函數域是多項式環的分式環 代數數域是代數整數環的分式環。 在一個連通複流形上，亞純函數域是全純函數環的分式環。 對於一般的交換環 R {\displaystyle R} （容許有零因子），分式環是一種退而求其次的建構：我們想找使...

在抽象代数之分支环论中，一个交换环（commutative ring）是乘法运算满足交换律的环。对交换环的研究称为交换代数学。 某些特定的交换环在下列类包含链中： 交换环 ⊃ 整环 ⊃ 惟一分解整环 ⊃ 主理想整环 ⊃ 欧几里得整环 ⊃ 域 一个带有两个二元运算的集合 R 是环，即将环...

凱萊–哈密頓定理等價於方陣的特徵多項式會被其極小多項式整除，這在尋找若尔当标准形時特別有用。 舉例明之，考慮下述方陣： A = [ 1 2 3 4 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}} 其特徵多項式為 p ( λ ) = |...

p(i)定义（在多项式p中用虚数单位i来代替变量X），是一个满射的环同态。f的核由R[X]内所有能被X2 + 1整除的多项式组成。. 双射的环同态称为环同构。 定义域与值域相同的环同态称为环自同态。 在环范畴中，单射的环同态与单同态是相等的：如果f:R→S是单同态而不是单射，则它把某个r1和r2映射到S的同一个元素。...

狄利克雷的数论讲义书的第三版中用被称为“理想”的数的集合代替了库默尔之前未定义的概念。之后这个概念被大卫·希尔伯特和艾米·诺特从数环拓展到了多项式环以及其他交换环上。 环(R,+,·)，已知(R, +)是阿贝尔群。R的子集I称为R的一个右理想，若I满足： (I, +)构成(R, +)的子群。 ∀i ∈...

{c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}} 韋達定理經常使用在討論整環 R 上多項式，換言之多項式係數都落在 R 上。此時，分數 a i a n {\displaystyle {\frac {a_{i}}{a_{n}}}} 在 R 中不見得有定義，除非...

在數學中，交換環上的代數或多元環是一種代數結構，上下文不致混淆時通常逕稱代數。 本頁面中的環都是指有單位的環，並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。 給定一個交換環 A {\displaystyle A} 。 給定一個四元組 ( E , + , . , × ) {\displaystyle (E,+...

对称函数研究以对称多项式为基础。多项式环中，在变量的某有限集中，若变量的顺序不会影响多项式的值，则称多项式是对称的。更形式地说，在n元多项式环上有对称群 S n {\displaystyle S_{n}} 的环同态作用，其中排列对多项式的作用是根据所用的置换，同时将变量替换成另一个。这作用的不变量构成对称多项式子环。若变量是...

在線性代數中，對一個線性自同態（取定基即等價於方陣）可定義其特徵多項式，此多項式包含該自同態的一些重要性質，例如行列式、跡數及特徵值。 設 F {\displaystyle \mathbb {F} } 為域（例如實數或複數域），對佈於 F {\displaystyle \mathbb {F} } 上的...

{\displaystyle I(V)} 為所有在 V {\displaystyle V} 上取零的齊次多項式。對任意射影代數集 V {\displaystyle V} ，其齊次座標環定義為多項式環對此理想的商，這是一個分次環。 射影代數集可由一組有限的仿射開集覆蓋。射影簇之間的映射 f : X → Y {\displaystyle...

在抽象代數中，一個域上的代數元 α {\displaystyle \alpha } 之極小多項式（或最小多項式）是滿足 P ( α ) = 0 {\displaystyle P(\alpha )=0} 的最低次首一多項式(多項式內最高次項之係數為1) P {\displaystyle P} 。此概念對線性代數與代數擴張的研究極有助益。...

(ring theory)））、特殊的環（例如群環、除环、泛包絡代數等），也包括一些和环论有關的定理以及其應用，例如同調代數、及PI環（英语：PI ring）。 交换环是指其中運算「·」符合交換律的环，本身比較容易理解。代数几何及代數數論中有許多交换环的例子，也帶動了交换环...

除环（英語：Division ring），又譯非可换体、反對稱體（skew field），是一类特殊的环，在环内除法运算有效。需要特别注意的是，此环内必有非0元素，且环内所有的非0量都有对应的倒数。除环不一定是交换环，比如四元数环。 换种说法，一个环是除环当且仅当其可逆元群包含了环中所有的非零元素。...

上的函數，因為即使是同一點，也能以不同的坐標表示，而代入一個多項式時便會得到不同的值；但是卻可以確定一個齊次多項式在某點是否為零，因為如果一點能以兩組坐標表示，則一組為另一組的標量倍，而該標量可以在齊次多項式各項中提取出來。所以若 S 為若干個齊次多項式的集合，則可定義 V ( S ) = { x ∈ P n ∣ f ( x )...

切比雪夫多项式（英語：Chebyshev polynomials）是与棣莫弗定理有关，以递归定义的一系列正交多项式序列。 通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示， 第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式 Tn 或 Un 代表 n 阶多项式。 切比雪夫多项式...

在交換代數中，Cohen-Macaulay環是對應到一類代數幾何性質（例如局部等維性）的交換環。 此概念依數學家弗朗西斯·索尔比·麦考利（Francis Sowerby Macaulay）與欧文·索尔·科恩（Irvin S. Cohen） 命名，麦考利（1916年）證明了多項式環的純粹性定理，科恩（1946年）則證明了冪級數環...

{\displaystyle 2-{\sqrt {-5}}} 。 下面為環裡的質元素之例子： 在整數環 Z 裡的整數 ±2, ±3, ±5, ±7, ±11, ... 在高斯整數環 Z[i] 裡的複數 (1+i)、19 與 (2+3i) 在 Z 上之多項式環 Z[x] 裡的多項式 x2 − 2 與 x2 + 1 註記 Hungerford...