在抽象代數中，多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個環 R {\displaystyle R} 上的多項式環是由係數在 R {\displaystyle R} 中的多項式構成的環，其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中，當 R {\displaystyle R} 為交換環時，多項式環可以被刻劃為交換...

多项式简称为多项式。可以证明，两个多項式的和、差与積仍然是多項式，即多項式組成一個環 R [ X ] {\displaystyle R[X]} ，稱爲 R {\displaystyle R} 上的（一元）多項式環。而所有的二元多项式则可以定义为所有以一元多项式为系数的多项式，即形同 p...

在抽象代數中，一個域上的代數元 α {\displaystyle \alpha } 之極小多項式（或最小多項式）是滿足 P ( α ) = 0 {\displaystyle P(\alpha )=0} 的最低次首一多項式(多項式內最高次項之係數為1) P {\displaystyle P} 。此概念對線性代數與代數擴張的研究極有助益。...

諾特環是抽象代數中一類滿足升鏈條件的環。希爾伯特首先在研究不變量理論時證明了多項式環的每個理想都是有限生成的，隨後埃米·諾特從中提煉出升鏈條件，諾特環由此命名。 一個環 A {\displaystyle A} 稱作諾特環，若且唯若對每個由 A {\displaystyle A} 的理想構成的升鏈 a...

環（英文：Ring）是一種帶有兩個二元運算（抽象化的「加法」和「乘法」）、並且符合特定運算規則的集合。它抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函數、算子等等的代數結構。它是環論的主要研究對象，並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。 環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於...

主理想整环，特別是歐幾里得整环。由此可知整數、高斯整數與艾森斯坦整數環都是唯一分解整环。 體也是唯一分解整环。 若 R {\displaystyle R} 為唯一分解整环，則多項式環 R [ X ] {\displaystyle R[X]} 亦然。(高斯引理) 由此可知任意有限個變元的多項式環 R [...

多項式之上，如質數或不可約因式的唯一分解。 設F為一個體，一非常數多項式在F上不可約，若其係數屬於F，且無法分解成兩個係數為F之非常數多項式的乘積。 具整數係數（或更一般地，具唯一分解整環R內之係數）的多項式被稱為在R上不可約，若該多項式為多項式環（在唯一分解整環上的多項式環也是一唯一分解整環...

多項式乘積的內容即為其多項式內容的乘積，如同高斯引理敘述的一樣。 唯一分解整環是GCD環，唯一分解整環是GCD環中恰好也是原子環（每一個非零非單位元素，至少有一種分解為不可約元素乘積的方式）的部份。 Bézout環（英语：Bézout domain）（每個有限生成的理想都是主要理想的整環...

在抽象代數中，歐幾里得整環（Euclidean domain）是一種能作輾轉相除法的整環。凡歐幾里得整環必為主理想環。 一個歐幾里得整环是一整環 D {\displaystyle D} 及函數 v : D ∖ { 0 } → N ∪ { 0 } {\displaystyle v:D\setminus...

，高斯引理以高斯命名，是关于整係數多项式的命題，或者更一般地说，是关于一个唯一分解整環的敘述。 高斯的引理断言两个本原多項式的乘積仍是本原多項式（本原多項式是指：係數的最大公因數為1的整係數多項式）。 高斯引理有一個推论，有时也被称为高斯引理。其斷定一個本原多项式在整数上是不可约的 ，若且唯若它在有理数上是不可约的。...

在數學上，指數多項式（exponential polynomials）是一類定義於交換群、環、域等之上，並同時有著帶變數多項式和指數函數的函數。 指數多項式是同時帶有變數 x {\displaystyle x} 和某種指數函數 E ( x ) {\displaystyle E(x)} 的多項式。在複數域...

在環論中，商環（或稱剩餘類環）是環對一個理想的商結構。 設 R {\displaystyle R} 為一環， I ⊂ R {\displaystyle I\subset R} 為一雙邊理想。定義下述等價關係 x ∼ y ⟺ x − y ∈ I {\displaystyle x\sim y\iff x-y\in...

在數學中，主理想環是使得每個理想均可由單個元素生成的環。 如果一個主理想環同時也是整環，則稱之主理想整環（常簡寫為 PID）。 整數環 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 是主理想域，更一般地說，歐幾里德環恆為主理想環。 域上的（单变元）多項式環是主理想環。 高斯整數環 Z [ −...

數學中的對稱多項式（英語：Symmetric polynomial）是一种特殊的多元多项式。假设一个n元多項式P(X1, X2, ..., Xn)，當其中的n個不定元任意交換後，多項式仍維持不變，就称其为对称多项式。严格的说法是，如果对任意的n元置换σ，都有P(Xσ(1), Xσ(2), ...,...

S_{n}} 作用下的不變量構成一個子環，由基本對稱多項式生成，由於基本對稱多項式彼此代數獨立，此不變量環本身也同構於另一多項式環。Chevalley-Shephard-Todd 定理刻劃了其不變量環同構於多項式環的有限群。晚近的研究則更關切算法問題，例如計算不變量環的生成元，或給出其次數的上界。...

在線性代數中，對一個線性自同態（取定基即等價於方陣）可定義其特徵多項式，此多項式包含該自同態的一些重要性質，例如行列式、跡數及特徵值。 設 F {\displaystyle \mathbb {F} } 為域（例如實數或複數域），對佈於 F {\displaystyle \mathbb {F} } 上的...

在交換代數中，Cohen-Macaulay環是對應到一類代數幾何性質（例如局部等維性）的交換環。 此概念依數學家弗朗西斯·索尔比·麦考利（Francis Sowerby Macaulay）與欧文·索尔·科恩（Irvin S. Cohen） 命名，麦考利（1916年）證明了多項式環的純粹性定理，科恩（1946年）則證明了冪級數環...

} 是整數環 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 的分式環。 有理函數域是多項式環的分式環 代數數域是代數整數環的分式環。 在一個連通複流形上，亞純函數域是全純函數環的分式環。 對於一般的交換環 R {\displaystyle R} （容許有零因子），分式環是一種退而求其次的建構：我們想找使...

在抽象代数之分支环论中，一个交换环（commutative ring）是乘法运算满足交换律的环。对交换环的研究称为交换代数学。 某些特定的交换环在下列类包含链中： 交换环 ⊃ 整环 ⊃ 惟一分解整环 ⊃ 主理想整环 ⊃ 欧几里得整环 ⊃ 域 一个带有两个二元运算的集合 R 是环，即将环...

多项式环是整环当且仅当其系数构成整环。比如整系数一元多项式环 Z [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} [X]} 和实系数二元多项式环 R [ X , Y ] {\displaystyle \mathbb {R} [X,Y]} 。 每个域都是整环...

在交換代數中，可以探討一個交換環 R {\displaystyle R} 本身，或一個 R {\displaystyle R} -模對一理想 I ⊂ R {\displaystyle I\subset R} 的完備性。由於完備環有較容易處理的性質，完備化是研究交換環的基本工具。 幾何上，交換環的完備化對應到一個閉子概形的形式鄰域。...

在抽象代數中，交換代數旨在探討交換環及其理想，以及交換環上的模。代數數論與代數幾何皆奠基於交換代數。交換環中最突出的例子包括多項式環、代數整數環與p進數環，以及它們的各種商環與局部化。 由於概形無非是交換環譜的黏合，交換代數遂成為研究概形局部性質的主要語言。 此學科原稱「理想論」，始自戴德金在理想方...

在數學中，交換環上的代數或多元環是一種代數結構，上下文不致混淆時通常逕稱代數。 本頁面中的環都是指有單位的環，並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。 給定一個交換環 A {\displaystyle A} 。 給定一個四元組 ( E , + , . , × ) {\displaystyle (E,+...

p(i)定义（在多项式p中用虚数单位i来代替变量X），是一个满射的环同态。f的核由R[X]内所有能被X2 + 1整除的多项式组成。. 双射的环同态称为环同构。 定义域与值域相同的环同态称为环自同态。 在环范畴中，单射的环同态与单同态是相等的：如果f:R→S是单同态而不是单射，则它把某个r1和r2映射到S的同一个元素。...

{\displaystyle I(V)} 為所有在 V {\displaystyle V} 上取零的齊次多項式。對任意射影代數集 V {\displaystyle V} ，其齊次座標環定義為多項式環對此理想的商，這是一個分次環。 射影代數集可由一組有限的仿射開集覆蓋。射影簇之間的映射 f : X → Y {\displaystyle...

中的閉集有且只有整個空間，以及有限個閉點組成的集合。 Spec k[t], 域 k 上多项式环的譜。該環是一個主理想整环，而不可约多项式為其中的質元素。若 k 是一個代數閉域，例如複數域，則一個非常數的多項式不可約當且僅當其為一次多項式，形如 t − a, 其中 a 是 k 的某個元素。所以，譜中對應 k 的每個元素...

是因式。 交错多项式乘以对称多项式仍是交错多项式，于是 v n {\displaystyle v_{n}} 的所有倍数都是交错多项式。 相反，两交错多项式相除是（可能有理的）对称多项式（不必是多项式），而交错多项式除以范德蒙多项式是多项式。舒尔多项式就是这样定义的，即交错多项式除以范德蒙多项式。 因此，用...

設(R,+,·)為环，若S是R的一個非空子集，且(S,+,·)也是環，則稱(S,+,·)為(R,+,·)的子環（subring）。 設(R,+,·)為环，S是R的一個非空子集。(S,+,·)是(R,+,·)的子環，當且僅當： R的零元素也在S裡 ∀a,b∈S, a+b∈S ∀a∈S, -a∈S ∀a...

在模論中，一個環 A {\displaystyle A} 上的左模 M {\displaystyle M} 若可表為單模的直和，便稱 M {\displaystyle M} 為半單模。 本條目中的環皆有乘法單位元素 1 {\displaystyle 1} 。對於右模，相應的陳述依然成立。 以下陳述彼此等價：...

{\displaystyle 2-{\sqrt {-5}}} 。 下面為環裡的質元素之例子： 在整數環 Z 裡的整數 ±2, ±3, ±5, ±7, ±11, ... 在高斯整數環 Z[i] 裡的複數 (1+i)、19 與 (2+3i) 在 Z 上之多項式環 Z[x] 裡的多項式 x2 − 2 與 x2 + 1 註記 Hungerford...

，使得 I ⋅ J = A {\displaystyle I\cdot J=A} 。 主理想環與域上的多項式環皆為戴德金整環。 交換代數的一條定理斷言：若 A {\displaystyle A} 是戴德金整環， K = K ( A ) {\displaystyle K=K(A)} 為其分式域， L /...