グラフ理論の数学的分野において、ラプラシアン行列（ラプラシアンぎょうれつ、英: Laplacian matrix）は、グラフの行列表示（行列表現）である。アドミタンス行列 (admittance matrix)、キルヒホッフ行列 (Kirchhoff matrix)、離散ラプラシアン (discrete...

数学におけるラプラス作用素（ラプラスさようそ、英: Laplace operator）あるいはラプラシアン（英: Laplacian）は、ユークリッド空間上の函数の勾配の発散として与えられる微分作用素である。記号では ∇·∇, ∇2, あるいは ∆ で表されるのが普通である。函数 f の点 p におけるラプラシアン...

行列という名は、アレクサンダー・オストロフスキーがヘルマン・ミンコフスキーにちなんで名付けたものと考えられている。 対称なM-行列はしばしばスティルチェス行列と呼ばれる。 M-行列はもともと微分作用素、とくにラプラシアン...

(2015), Algorithm Design and Applications, Wiley, p. 363 . 隣接リスト 接続行列（英語版） - グラフの頂点と枝の接続関係を表す行列 ラプラシアン行列 スペクトラルグラフ理論 『隣接行列，接続行列，ラプラシアン行列』 - 高校数学の美しい物語...

数学におけるヘッセ行列（ヘッセ-ぎょうれつ、英: Hessian matrix）は、多変数スカラー値関数の二階偏導関数全体が作る正方行列である。実数値関数の極値判定に用いられる。ヘッセ行列は、ジェームス・ジョセフ・シルベスターが、ドイツの数学者ルートヴィヒ・オットー・ヘッセに由来して名づけた。 実数値関数...

はGの線グラフの隣接行列、B(G) は接続行列、Imは次元mの単位行列である。 離散ラプラシアン（またはキルヒホッフ行列）は式 B ( G ) B ( G ) T {\displaystyle B(G)B(G)^{\textsf {T}}} によって向き付け接続行列B(G) から得られる。...

グラフ理論および計算機科学において、次数行列（じすうぎょうれつ、英: Degree matrix）は、それぞれの頂点の次数（すなわち、それぞれの頂点に接続した辺の数）に関する情報を含む対角行列である。次数行列はグラフのラプラシアン行列を構築するために隣接行列と一緒に使われる。 グラフ G = ( V...

多変数微分積分学およびベクトル解析におけるヤコビ行列（ヤコビぎょうれつ、英: Jacobian matrix）あるいは単にヤコビアンまたは関数行列（かんすうぎょうれつ、独: Funktionalmatrix）は、一変数スカラー値関数における接線の傾きおよび一変数ベクトル値函数の勾配の、多変数ベクト...

、0であり、重複度はそれぞれ 1、1、n+m-2 である。 完全2部グラフ K m , n {\displaystyle K_{m,n}} のラプラシアン行列の固有値は n+m、n、m、0 であり、重複度はそれぞれ 1、m-1、n-1、1 である。 完全2部グラフ K m , n {\displaystyle...

函数の像と定義域の両方がポテンシャルを持つ場合、これらはヘッセ行列と呼ばれる対称行列に当てはまる。この行列の固有値は、二次導函数判定の多変量アナログを実装するために使用できる。（Second partial derivative test を参照せよ。） もう1つの高次元への一般化として、ラプラシアンがある。これは ∇ 2 f =...

数学において、スペクトルグラフ理論は、隣接行列もしくはラプラシアン行列のような、そのグラフに結びついた行列の固有方程式、固有値、固有ベクトルに関係する、グラフの性質の研究である。 単純グラフの隣接行列は、実な対称行列であり、したがって直行行列に対角化可能（英語版）であり；その固有値は実な代数的整数である。...

と定義し、Δをラプラス＝ベルトラミ作用素（英語版）（英: Laplace–Beltrami operator）、あるいは単にラプラシアンという。 発散の定義でマイナスの符号がつく規約を採用した関係で、通常のラプラシアンとは符号が反対になっている事に注意されたい（この章で後述する他のラプラシアンも同様）。...

}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)} である。 実はこれはラプラシアンの極座標表示と関係がある。すなわちラプラシアンを極座標表示して Δ = 1 r 2 ( Δ r + Δ S ) {\displaystyle \Delta ={1 \over...

各要素における係数行列（要素係数行列）の総和を取って領域全体の係数行列（全体剛性行列と呼ばれる）を作成し、解を求めることができる。 多くの場合に有限要素法では、近似解を求めることが連立一次方程式を解くことに帰着される (つまり最終的には数値線形代数の知識が必要になる)。得られる全体の係数行列は一般に疎行列...

例1 Rd におけるラプラシアンの -1 倍 − Δ u = − ∑ i = 1 d ∂ i 2 u {\displaystyle -\Delta u=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}^{2}u\,} は、一様楕円型作用素である。このラプラス作用素は静電気学において頻繁に現れる。ρ...

量子ウォーク 『基本群とラプラシアン』 紀伊国屋書店 『曲面の幾何』（現代数学への入門）　岩波書店 『幾何入門』（現代数学への入門） 　岩波書店 『幾何入門』　 放送大学教育振興会 『行列と行列式』（現代数学への入門） 　岩波書店 『バナッハ・タルスキーのパラドックス』　岩波書店...

x}}y_{n-1}(x)=g_{0}(x)-\sum _{k=0}^{n-1}g_{k+1}(x)y_{k}(x)\end{cases}}} この微分方程式は、より一般的に、ベクトルと行列の記法を用いて d d x y ( x ) = A ( x ) y ( x ) + b ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm...

の右正則表現の空間と見立てて既約表現への分解を考えることが多い。もともとのセルバーグの論文ではラプラシアンの固有空間への分解を考えていた。より荒く連続スペクトラムと離散スペクトラムへの分解でもよい。 次に幾何サイドと呼ばれる方の計算をする。行列の例えでいうとこれは対角成分の和の方である。まず R( f ) の定義から簡単な計算により...

微分幾何学では全微分を決定するのに必要である。 偏微分はベクトル解析においても本質的である。スカラー場やベクトル場の勾配、発散、回転やラプラス作用素の成分は偏微分で与えられる。ヤコビ行列も同様。 通常の微分に対する不定積分（原始関数）に対応する概念を、偏微分に対しても考えることができる。すなわち、偏導関数を既...

はシェイプ作用素（英語版）(shape operator)である。 ガウス曲率の有用な公式は、等温座標（英語版）(isothermal coordinates)で書かれたラプラシアンの項で書かれたリウヴィル方程式である。 ガウス曲率の曲面上のある領域の面積分を全曲率(total curvature)と呼ぶ。測地線三角形の全曲率は、π...

{A} } ここに i, j, k は各軸に対する単位ベクトルの基底である。 ∇2φ ラプラス作用素 (Laplacian): スカラー場 φ {\displaystyle \varphi } のラプラシアンは記号的に ∇2 とスカラー場のスカラー積で表される。 ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2...

C f ( z ) d z = 0 {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=0} を得る。 ラプラシアンを含む体積分を境界上の面積分に置き換える数学公式である。 ３次元空間内の領域 D、２階微分可能な任意スカラー場 φ, ψ について、 ∫ D d...

を定義できる。さらに通常のようにp -形式上のラプラシアン Δ p = δ p d p + d p − 1 δ p − 1 . {\displaystyle \Delta _{p}=\delta _{p}d_{p}+d_{p-1}\delta _{p-1}.} を得る。∂M = 0 を仮定すると、ラプラシアンは対称的で半正値な楕円作用素で、点スペクトル...

として持つ自己随伴作用素の行列式を定義することに使われた。（これのリーマン多様体への応用としてはラプラシアンとなる。）また、この場合にはゼータ函数は、形式的に A−s のトレースとなる。Minakshisundaram & Pleijel (1949) は、もし A がコンパクトリーマン多様体のラプラシアン...

div(curl(F)) = 0 と得る。特に、マクスウェルの方程式は、外微分とホッジスター作用素で表すと、特別に単純でエレガントな形となる。 ラプラシアンも得ることができる。上の情報と ∆ f  = div grad f  という事実を使うと、0-形式 ω = f(x, y, z) に対し、 Δ ω...

)\partial _{i}\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+\eta \Delta v_{j}} となる。ここでΔはラプラシアンである。 よって(F5)よりナビエ・ストークス方程式 が従う。 [脚注の使い方] ^ ここに載せた完全流体の定義はによるが、定義は分野や書籍によ...

はポテンシャルエネルギー、∇2 はラプラシアン、ψ(x, t) は位置表示の波動関数である。 ハミルトニアンの中に微分演算子が含まれているため、これは線型偏微分方程式である。これは拡散方程式でもあるが、熱伝導方程式とは違って、時間微分の部分に虚数単位があることによって、波動方程式とも言える。 ハミルトニアン...

(英: Jacobi Identity) であり、1番目の公式より明らかである。 ベクトル三重積の公式をつかってベクトルラプラシアンを ▽ 2 f = grad ⁡ ( div ⁡ f ) − rot ⁡ ( rot ⁡ f ) ∵ ∇ × ( ∇ × f ) = ∇ ( ∇...

{\displaystyle \varepsilon _{0}} は国際単位系における真空の誘電率、 ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} はラプラシアンを表す。 この方程式は、次の ϕ ( r ) {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {r}})} の汎関数 F [...

1997、のち岩波少年文庫 『満たされぬ道』（ベン・オクリ、平凡社） 1997 『真夜中の電話』（ロバート・コーミア、扶桑社、扶桑社ミステリー） 1997 『バビロン行きの夜行列車』（レイ・ブラッドベリ、野沢佳織共訳、角川春樹事務所） 1998 『ハロウィンナー』（デーヴ・ピルキー、アスラン書房） 1998 『時の迷い子たち...

のグラフを最適線型近似する線型写像と解釈しなおされる。ヤコビ行列はこの線型変換を独立および従属変数を選ぶことで与えられる基底に関して表現する行列であり、独立変数に関する偏微分を用いて計算することができる。多変数実数値函数に対して、ヤコビ行列は勾配に簡約される。 導函数を求める過程を微分あるいは微分法、微分演算（英:...