集合論において、ツェルメロ＝フレンケル集合論（英: Zermelo-Fraenkel set theory）とは、ラッセルのパラドックスなどのパラドックスのない集合論を定式化するために20世紀初頭に提案された公理系である。名前は数学者のツェルメロとフレンケルにちなむ。歴史的に議論を呼んだ選択公理 (AC)...

集合論の公理化に取り掛かり、1908年にこれを公刊したが、その無矛盾性を証明することはできなかった。 1910年にはチューリヒ大学に移り1916年まで過ごした。1922年にはアドルフ・フレンケルとスコーレムがそれぞれ独立にツェルメロの公理系を改良した。この10公理からなる系は、現在ツェルメロ...

集合論及びその応用としての数学におけるクラスまたは類（るい、英: class）は、集合(または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての元が共通にもつ性質によって紛れなく定義されるものである。「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。例えば、ツェルメロ＝フレンケル集合論...

公理的集合論（こうりてきしゅうごうろん、axiomatic set theory）とは、公理化された集合論のことである。 現在一般的に使われている集合の公理系はZF (ツェルメロ=フレンケル) 公理系、またはZF公理系に下で述べる選択公理（Axiom of Choice）を加えた ZFC公理系（Zermelo-Fraenkel...

有限集合を定義域とする関数の値域は有限である。 有限個の有限集合たちから成る直積集合はまた有限である。 一方で、（無限公理によって存在が保証されるところの）自然数全体の成す集合というのは有限集合ではない。 ツェルメロ＝フレンケルの集合論 (ZF) では、以下の条件は全て等価である。 S は有限集合である。すなわち、S...

最初のテーマはp進数と環論であったが、最もよく知られた仕事は公理的集合論で、その最初の論文は1919年に発表された。1922年と1925年にはエルンスト・ツェルメロの公理系の改良を目指した論文を発表し、これは今日ツェルメロ・フレンケルの公理系 (ZF)...

集合を成さないことを示す。その直後に、バートランド・ラッセルは1901年にラッセルのパラドックスを、ジュール・リシャール（1905）はリシャールのパラドックスを発見した。 ツェルメロ（1908b）は集合論に対する最初の公理化を与えた。ツェルメロの公理にアドルフ・フレンケル...

置換公理はエルンスト・ツェルメロの1908年の集合論公理（Z）には含まれていなかった。非公式な類例はカントールの未発表の仕事や、ミリマノフ（英語版）（1917）の仕事に見られる。 1922年のアドルフ・フレンケルの置換公理の発表は、現代的な集合論であるツェルメロ-フレンケル集合論 (ZFC)...

という集合は単集合である。 ツェルメロ・フレンケル集合論の枠組みの中では正則性の公理が「自身を元とする集合」が存在しないことを保証するから、単元集合とその単元集合を含む集合とは必然的に異なる数学的対象を意味するものとなる。つまり、1 と {1} とは同じものではないし、空集合のみからなる単項集合 {∅}...

空集合の公理 (くうしゅうごうのこうり、英: axiom of empty set) は、ツェルメロ＝フレンケル集合論やKP集合論の公理の一つで、「いかなる要素も含まない集合が存在する」ことを主張するものである。ただし、この公理を採用しないZF公理系の定式化も存在する。 「ある集合 x が存在して、任意の...

数学における冪集合公理（べきしゅうごうこうり、英: axiom of power set）とは、公理的集合論のツェルメロ＝フレンケルの公理系の一つである。 ツェルメロ＝フレンケルの公理系の形式言語において、この公理は次のように記述される： ∀ A ∃ P ∀ B [ B ∈ P ⟺ ∀ C ( C ∈...

数学基礎論において、フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG) とはツェルメロ＝フレンケル集合論＋選択公理 (ZFC)の保存拡大である公理的集合論である。NBGでは、量化子の範囲を集合に限定した論理式によって定義される集合の集まりとして、クラスの概念を導入する。NBGは、すべての集合...

の始対象でない任意の対象は入射的かつ（選択公理を仮定すれば）射影的である。 ツェルメロ–フレンケル集合論 (ZF) において、集合全ての集まりは集合でない（これは基礎の公理から従う）。集合でない集まりのことを真の類と呼ぶが、真の類は集合を扱うようには扱えず、特にそれら真の類は（集合あるいは真の類の何れの意味でも）集まりに属する...

が構成でき、パラドックスが発生する。 したがって、集合論の公理は通常の数学を集合論の上で展開するために十分なだけの集合の存在を保証しつつ、パラドックスを発生させる集合は構成できないように慎重に設定する必要がある。 1.公理的集合論による解消 具体的には内包公理を次の分出公理に弱める（ツェルメロによる版）。 任意の性質 P...

集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた。 空集合を要素に持たない任意の集合...

ツェルメロ集合論においてそれ自身実行できないことが挙げられる。最終ステップとして、無限和 (infinitary union) としてのSを形成するための置換公理が必要である。置換公理は、ツェルメロ＝フレンケル集合論を形成するように1922年にツェルメロ集合論に付加された。この公理集合...

素朴集合論（そぼくしゅうごうろん、英: Naive set theory）は、数学の基礎論で用いられる集合論の一つである。形式論理を用いて定義される公理的集合論とは異なり、素朴集合論は非形式的に自然言語で定義される。離散数学で馴染み深い数学的集合の側面（たとえば、...

ツェルメロ＝フレンケルの集合論では、変項の範囲は全ての集合である。この場合、ガード付き量化子は、量化の範囲を狭めるときに使われる。すると、上記の例は次のように表される。 任意の自然数 n について、n·2 = n + n ツェルメロ＝フレンケルの集合論では、次のように表される。...

集合全体）として集合の濃度を定義しようとするならば、それは公理的集合論で標準的に用いられるツェルメロ–フレンケル集合論 (ZF) では問題になる—これは任意の空でない同値類は、集合となるには大きすぎ、真クラスとなってしまうからである。ZF集合論の枠組みでは二項関係は集合上に限って定義される（集合 A...

ストーン・ワイエルシュトラスの定理 ストラトノビッチ積分 セールの定理 ソフィー・ジェルマン素数 ソボレフ空間 高木曲線 ダランベールの収束判定法 ダルブー積分 チェバの定理 チューリングマシン ツェルメロ・フレンケル集合論 ツォルンの補題 テイト数 ディオファントス方程式 テイト予想 テイラー展開 ディラックのデルタ関数...

集合を「投げ込んで」集合を定義し、ω1 のすべてに渡ってすべてのそれの和集合をとる、ということをその操作（σ-代数の生成）は含む。 実数の集合の濃度（連続体濃度）は 2ℵ0 である。この数がアレフ数の列のどこに一致するかは ZFC（選択公理を伴ったツェルメロ・フレンケル集合論）から決めることはできないが、ZFC...

集合論における連続体濃度（れんぞくたいのうど、英: cardinality of the continuum）とは、実数全体の成す集合 R の濃度（あるいは基数、集合の「大きさ」の尺度）のことである。連続体濃度を持った集合を連続体 (continuum) と呼ぶこともある。これは無限濃度のひとつであり、|R|...

集合論の通常の公理系（ツェルメロ・フレンケルの公理系）から独立であることが示されている。 有限集合の要素の個数は自然数を使って数えることが出来る。自然数の個数を数える役割も「基数」と呼ばれる（対照的に順番を数える役割は序数と呼ばれる。基数詞と序数詞を参照）。通常数学では有限集合だけではなく無限集合...

集合 M が ツェルメロ–フレンケル集合論 の推移モデル（英語版） であると仮定する。M の推移性は M の内部での整数および整数列が実際に整数および整数列となることを含意する。整数列が M に関して (relative to M) 定義可能であるとは、考えている集合論...

ZFC、Z fc ツェルメロ＝フレンケルの公理系(ZF) に選択公理 (C) を加えた公理系。公理的集合論も参照。 ゾイドフィギュアコレクションの略称及び、それらの型番に用いられる記号。 ニコンのミラーレス一眼カメラ、Z fc。2021年に発売され、APS-Cセンサーを搭載する。...

ZF ドイツの自動車部品メーカー→ZFフリードリヒスハーフェン ツェルメロ＝フレンケルの公理系→ツェルメロ＝フレンケル集合論 岐阜放送（JOZF） Zf ニコンのミラーレス一眼カメラの機種名→ニコン Zシリーズ「ニコン Zf」 このページは曖昧さ回避のためのページです。一つの語句が複数の意味・職能を...

逆に多くの演繹系では、コンパクト性定理の実効的な帰結として完全性定理を証明可能である。 完全性定理の非実効性は、集合論と逆数学で測られる。集合論では、ツェルメロ＝フレンケルの集合論 (ZF) では証明できない選択公理の弱い形のウルトラフィルターの補題がある。ZF...

（詳細は公理的集合論を参照）のもとで P ( ℵ 0 ) = ℵ 1 = ℵ {\displaystyle {\mathfrak {P}}(\aleph _{0})=\aleph _{1}=\aleph } が成立すること、と言い表すこともできる。 現代数学では標準的な枠組みとして ツェルメロ-フレンケルの公理系...

ツェルメロにより提案された。ツェルメロ集合論は最初の公理的集合論である。これが発展して今日標準的なものとなっているツェルメロ＝フレンケル集合論(ZF)となった。 1910年-1913年に発表された数学基礎論において記念碑的なラッセルとアルフレ...

1970年にロバート・ソロヴェイ（英語版）は、到達不能基数の存在を仮定することにより、全ての実数の集合がルベーグ可測となるような（選択公理を除いた）ツェルメロ・フレンケル集合論のモデルを構築した。 集合には '長さ' や '重さ' が定まるものがある。例えば、区間 [0, 1]は長さ1を持つと思われる。;...

ツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない。デデキント無限以外にも、選択公理を用いない有限集合や無限集合の定義が存在する。 デデキントの意味での“無限集合”は、普通の意味での無限集合と比較されるべきであろう:...