カントール関数（カントールかんすう、英語: Cantor function）または悪魔の階段（あくまのかいだん、英語: Devil's staircase）とは、連続ではあるが絶対連続ではない関数の一つである。カントール関数の名前はゲオルク・カントールに由来する。 カントール関数...

カントール分布（カントールぶんぷ、英: Cantor distribution）とは、累積分布関数がカントール関数である確率分布のことである。 この分布はルベーグ測度に関して絶対連続ではなく、どのような点質量も持たないため、確率密度関数も確率質量関数も存在しない。したがってこの分布は離散確率分布で...

カントールによって紹介された。 カントールの三進集合とも呼ばれ、カントル集合、カントルの三進集合とも表記される。フラクタル概念の生みの親であるブノワ・マンデルブロは、位相次元が 0 の図形をダスト（塵）と呼び、カントール集合のことはカントール・ダストやカントールのフラクタルダストと呼んでいた。...

2 つの集合が等濃である（同じ濃度を持つ）こととそれらの間に一対一対応が存在することは同値である。カントールの定理を証明するには、任意の与えられた集合 A に対して、A から A の冪集合へのどんな関数 f も全射になりえないことを示せば十分である。すなわち、 f による A の像の元でない、 A の少なくとも...

ゲオルク・フェルディナント・ルートヴィッヒ・フィーリップ・カントール（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor [ˈkantoːɐ̯], 1845年3月3日 - 1918年1月6日）は、ドイツで活躍した数学者。 素朴集合論の確立者。自然数と実数の間に全単射が存在し...

カントール集合から作られる単調増加関数であるカントール関数は、定数関数でないのに、恒等的に値 0 {\displaystyle 0} をとる定数関数のここでの意味の原始関数となっている。ただしカントール関数は絶対連続ではなく、一般に原始関数にさらに絶対連続性を要求するのであればこの様な例は排除される。...

カントールの対角線論法（カントールのたいかくせんろんぽう、英: Cantor's diagonal argument）は、数学における証明テクニック（背理法）の一つ。1891年にゲオルク・カントールによって非可算濃度を持つ集合の存在を示した論文の中で用いられたのが最初だとされている。...

媒介変数 連続 初等関数 三角関数 指数関数 対数 特殊関数 ガンマ関数 エアリー関数 ベッセル関数 誤差関数 楕円函数 直交多項式 級数 数列 コーシー列 収束 収束半径 絶対収束 一様収束 条件収束 無条件収束 収束判定法 比較判定法 ダランベールの収束判定法 コーシーの冪根判定法 微分積分学 微分法...

i ) {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }fdx=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}L(A_{i})} で与えられる。 2つの階段関数の和や積もまた階段関数である。この演算により、階段関数全体の集合は R 上の代数を成す。 単関数 カントール関数...

PID=PPN243919689_0004%7Clog13  Google Books; arXiv:0806.1294 カントール関数 高木関数 トマエ関数 ワイエルシュトラス関数 Dirichlet関数 (PDF) Weisstein, Eric W. "Dirichlet Function". mathworld...

連続型確率変数の確率分布である。 ルベーグ測度が 0 の非可算な集合（たとえばカントール集合）も存在するため、累積分布関数が連続（つまり、任意の実数 a について P(X = a) = 0）であっても絶対連続でない例が存在する。カントール分布は（本来の意味では）連続だが、絶対連続ではない。...

原始再帰関数（げんしさいきかんすう、英: Primitive Recursive Function）とは、原始再帰と合成で定義される関数であり、再帰関数（計算可能関数）の部分集合である。原始帰納的関数とも。 再帰理論において原始再帰関数は、計算可能性の完全形式化のための重要な要素となる関数...

theorem of calculus）とは、「関数に対する微分と積分は互いの逆操作である」 ということを主張する解析学の定理である。微分積分法の基本定理ともいう。 微分積分学の基本定理は一変数の関数に対するものだが、多変数関数への拡張は、ストークスの定理として知られる。...

でカントール空間 2 N {\displaystyle \mathbf {2} ^{\mathbb {N} }} を表す。 カントール空間 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} から単位区間全体 [0, 1] の上への連続関数 h から始める。（カントール関数のカントール...

有理数を経由することなく実数を構成するという特徴を持っている。この構成法は2003年にアカンポ（A'Campo 2003）によって再発見された。 実数という数のクラスが初めてはっきりと取り出されたのはカントールによる集合の研究においてだった。彼は集合論的には実数全体の集合は有理数全体の集合からはっ...

ポール・エルデシュに由来するものはポール・エルデシュに因んで命名された物の一覧参照 レオンハルト・オイラーに由来するものはオイラーにちなんで名づけられた物事の一覧参照 アーベル群 アイゼンシュタイン整数 アインシュタインテンソル アダマール行列 アッカーマン関数 アティヤ・シンガーの指数定理...

全ての確率分布が確率密度関数を持つとは限らない。離散型確率変数が持たない他にも、カントール分布は連続確率分布であるにもかかわらず、範囲内のあらゆる点で正の確率を持たないため、確率密度関数を持たない。 確率分布はその累積分布関数 F(x) が絶対連続である場合にのみ確率密度関数 f を持つ。この場合 F...

ル関数に関する研究によって当時の数学者から高く評価されたが、先駆的な彼の研究は十分に理解されず、20世紀になって彼のそれぞれの研究分野で再評価されるようになった。19世紀を代表する数学者の一人である。 彼の名前が残っている数学用語に、リーマン積分、コーシー＝リーマンの方程式、リーマンのゼータ関数...

ということである。定義より、ある関数が区間 I 上一様連続ならばそれは I 上連続でもある。一般的にこの逆は成り立たないが、区間 I が有界閉区間ならば逆も成り立つ（ハイネ・カントールの定理）。 この概念は距離空間の間の、あるいは一様空間の間の写像の一様連続性として抽象化される。有界閉区間上の関数...

とる関数の性質の詳しい研究は実解析として知られる。いくつかの理由から、複素数に拡張する方が便利であり、それは複素解析において研究される。関数解析学は関数空間（関数の集合に位相構造を持たせたもの）が興味の中心であり、この分野は量子力学やその他多くの学問の基盤となっている。自然の多くの現象は力学系によ...

である。 カントール集合（⊂ [0, 1]）は、測度 0だが非可算集合 ペアノ曲線：単位正方形を埋め尽くす連続曲線（より精確に、単位区間 [0, 1] から [0, 1] × [0, 1] への全射連続写像）という意味で空間充填曲線の一例。 ディリクレ関数（有理数の集合 Q の指示関数）は、有界だがリーマン可積分でない。...

はその分布微分が測度としてルベーグ測度に対し絶対連続であること、ということになる。 以下に各点で連続だが絶対連続ではない関数の例を挙げる。 カントール関数 次の式で定義される関数 f f ( x ) = { 0 ( x = 0 ) x sin ⁡ ( 1 / x ) ( x ≠ 0 ) {\displaystyle...

逆ガウス分布 双曲線正割分布 特異分布 カントール分布 退化分布（連続型確率変数の場合） 確率変数の確率分布が与えられると、その変数に関する確率・期待値・分散などが以下のように計算できる。 X は連続型確率変数で確率密度関数は fX であり、累積分布関数は FX とする。Y は離散型確率変数で台は...

ワイエルシュトラス関数（ワイエルシュトラスかんすう、英: Weierstrass function）は、1872年にカール・ワイエルシュトラスにより提示された実数関数で、連続関数であるにもかかわらず至るところ微分不可能な関数である。病的な関数（英語版）の例として取り上げられることがある。 「孤立点を除くと連続関数...

関数は原始再帰関数（原始帰納的関数）と密接な関連があり、その帰納的定義（後述）は原始再帰関数に基づいている。ただし、μ再帰関数が全て原始再帰関数とは言えない。そのような例としてアッカーマン関数がある。 また、ラムダ計算で記述される再帰関数やマルコフアルゴリズムで計算できる関数も同じである。...

関数の微分と積分に関わる事柄（逆関数法やベクトル解析も）を含んでいる。 微分は、ある関数のある点での接線、或いは接平面を考える演算である。数学的に別の言い方をすると、基本的には複雑な関数を線型近似して捉えようとする考え方である。従って、微分は線型写像になる。但し、多変数関数の微分を線型写像として捉える考え方は...

group）である。これにより、カントール集合などの多くのフラクタルの自己相似性が説明されると見ることもできる。 各関数 f i {\displaystyle f_{i}} は線型性、より正確に言えばアフィン写像を持つ必要がある場合もあり、それによって行列で表現できるようになる。しかし、投影変換やメビウス変換といった非線型関数...

と書くこともできる）。カントールの対角線論法によって ℵ 0 < ℵ {\displaystyle \aleph _{0}<\aleph } が成り立つことが証明される。ユークリッド空間をはじめとする多くの有限次元の空間が連続体濃度を持つ。さらにはユークリッド空間の上の連続関数全体や可分なヒルベルト空間全体もこの濃度である。...

{\displaystyle k_{2}} への対関数の適用をするとき、それによって得られる数を ⟨ k 1 , k 2 ⟩ {\displaystyle \langle k_{1},k_{2}\rangle } と表記することが多い。 この定義を帰納的に一般化すると、カントールのタプル関数となる。すなわち、 π ( n...

\textstyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=0} ）。 Abbot, S. (2015). Understanding Analysis (Second ed.). Springer. ISBN 978-1-4939-2711-1  ベール関数 カントール関数 ディリクレの関数...

カントールは、超越数が無限に存在することを証明したが、彼の立場からいえば、この結果は全く意味のないものだった。彼は自分の考えを行動に移す人物で、カントールらの論文を自分の雑誌に掲載することを拒否し、カントールやデーデキントらの実数に関する理論、更にはカントールの人格まで公然と非難した。カントール...