配合項測試及其他測試，可得到以下的結果： 若p ≤ 0，根據項測試可知此級數發散。 若0 < p ≤ 1，根據項測試無法判定級數發散或收斂，根據積分判別法可判定此級數發散。 若1 < p，根據項測試無法判定級數發散或收斂，根據積分判別法可判定此級數收斂。 要證明此測試法，一般都會證明其逆否命题（contrapositive）形式；...

黎曼级数定理（亦称黎曼重排定理），是一个有关於无穷级数性质的数学定理，得名于19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼。黎曼级数定理说明，如果一个实数项无穷级数若是条件收敛的，它的项在重新排列後，重新排列後的级数收敛的值可以收斂到任何一个给定的值，甚至发散。 许多有限项级数...

_{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}} 如果右邊第一項收斂到0，再根據正交的性質，可以看出上述式子中的右手邊第二項: | | ∑ | n | ≤ N f ^ ( n ) e n | | 2 = ∑ | n | ≤ N | f ^ (...

，看似可以用以下的方式處理，得到數值 1 2 {\displaystyle \;{\tfrac {1}{2}}} ： 級數內的數兩兩相加或相減。 每一項乘以一個係數。 調整括弧順序。 在級數前面增加新的項。 不過因為上述的處理方式只能適用在收斂的級數，而 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ {\textstyle \,1-1+1-1+\cdots...

项。 反应级数表示浓度对反应速率的影响程度，分级数越大，则反应速率受该一反應物浓度的影响越大。对于非基元反应不存在反应分子数的概念。根据定义，单分子反应即为一级反应，双分子反应为二级反应，三分子反应则为三级反应，对于基元反应几乎只有这三种情况。相应的反应速率方程见速率方程一条。而由於反應级數...

第十一章　常数项无穷级数 §1　引言 §2　正项级数的收敛性 §3　任意项级数的收敛性 §4　收敛级数的性质 §5　累级数与二重级数 §6　无穷乘积 §7　初等函数的展开 §8　藉助于级数作近似计算 §9　发散级数的求和法 第十二章　函数序列与函数级数 §1　一致收敛性 §2　级数和的函数性质 §3　应用...

光学的进展》一文中。他同时提出用光度测定法估计恒星的距离。 格雷果里最早注意到级数的敛散性，区分代数函数和超越函数。在通信中还提出若干新的成果，如二项级数和牛顿插值公式等。 维基共享资源中相关的多媒体资源：詹姆斯·格雷果里 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, James Gregory, MacTutor数学史档案...

項羽被譽為中國历史最为勇猛的将领，史學家稱“羽之神勇，千古无二”，且在「霸王」一词通常专指项羽。 項氏歷代習武，多人也是楚國將領。前223年，秦將王翦率60萬大軍攻楚。楚將項燕败於秦军被殺，楚亡。項羽是项燕之孙。项羽本人据载是目生重瞳，身长八尺，力能扛鼎，才气过人。項羽少年時讀書輟學，學劍術也中途而廢。其叔父項...

收敛半径是数学分析中与幂级数有关的概念。一个幂级数的收敛半径是一个非负的扩展实数（包括无穷大）。收敛半径表示幂级数收敛的范围。在收敛半径内的紧集上，幂级数对应的函数一致收敛，并且幂级数就是此函数展开得到的泰勒级数。但是，在收敛半径上幂级数的敛散性是不确定的。 定义幂级数f 为： f ( z ) =...

与同为数学家的项名达交好，两人同时研究三角函数的幂级数展开式和椭圆求周等问题，又提出指数为有理数的二项式定理，后代项氏续成遗著。 1860年，杭州被太平天国军攻占时，戴煦听说其兄戴熙投水自杀，也一并投井自杀了。 其数学代表作有《对数简法》等四种九卷，合刊成《求表捷术》。得出了指数为任意实数的二项...

部分初等函數（多項式、指數函數、三角函數）都是全纯函數。常用的方法有泰勒级数展开等。 复变函数 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 的洛朗级数，是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。 f ( z ) =...

圖中的振幅。每一條內線對應虛粒子的分布函數；每一個線相遇頂點給出一個因子和來去的兩線，該因子能夠從相互作用項的拉格朗日量中得出，而線則約束了能量、動量和自旋。费曼图因此是出現在戴森級數每一個項的因子的符號寫法。 但是，作為微扰的展開式，费曼图不能包含非微扰效應。...

{1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots \approx 0.64341054629.} 若二項二項的考慮上述級數，可以將卡漢常數視為由西爾維斯特數列偶數項為分母的正單位分數形成的級數，卡漢常數的數列為其古埃及分數的貪心法分解： C = ∑ 1 s 2 i = 1 2 + 1...

級數（英语：generalized Fourier series）進行函數逼近，也就是用以正交多項式為基礎的級數來進行逼近。 計算機科學中有一個問題和逼近理论有關，就是在數學函式庫中如何用計算機或計算器可以執行的功能（例如乘法和加法）儘可能的逼近某一數學函數，一般會用多項式或有理函數（二多項式的商）來進行。...

t_{\frac {1}{2}}={\frac {3[A]_{0}^{2}}{8k}}} 在化學中，負二級反應，(亦稱為負二次反應)，是指反應級數為-2的化學反應，或反應速率與所有反應物的總濃度負二次方成正比，換句話說，就是反應速率與反應物濃度的平方成反比。 由於負二級反應的推導過程與負一級相似，因此不列出。...

迭代演算法收斂速度比無窮級數快很多，在1980年代以後廣為使用。無窮級數隨著項次的增加，一般來說正確的位數也會增加幾位，但迭代演算法每計算多一次，正確位數會呈几何级数增长。例如薩拉明－布蘭特演算法每計算多一次，正確位數會是之前的二倍。1984年加拿大人喬納森·波温（英语：Jonathan...

以下比較二個級數的收斂速率： 計算前5項後，格雷果里-萊布尼茨級數的和跟 π {\displaystyle \pi } 的誤差為0.2，而尼拉卡莎級數和的誤差為0.002。尼拉卡莎級數收斂的快很多，因此也比較適合用來計算 π {\displaystyle \pi } 的數值。收斂更快的級數...

在化學中，一級反應（英語：First-order reaction），亦稱為一次反應，是指反應級數為1的化學反應。放射性元素衰變就是一級反應的一個例子。 五氧化二氮在惰性溶剂四氯化碳中分解为二氧化氮和氧气的反应： 2 N 2 O 5 ( g ) → 4 N O 2 ( g ) + O 2 ( g )...

中心多邊形數是一種有形數的級數，它由中間的一點開始，以後每層就以固定的邊數包圍在其四周。層的每邊都比上一層多一點，，即是說在中心k邊形數，由第二層開始，每層都會比上一層多k點。 這些級數是 中心三角形數 1,4,10,19,31,...（OEIS數列A005448） 中心正方形數 1,5,13,25,41,...（OEIS數列A001844）...

}ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.} 在首項a = 1且公比r = −2時，上述公式的結果為1/3。然而這個級數應為發散級數，其前幾項的和為： 1, -1, 3, -5, 11, -21, 43, -85, 171, -341....（OEIS數列A077925） 這個級數...

典型的解析函数有： 全部初等函数： 多項式函数是解析的。对于次数为n的多项式，其泰勒级数中大于n阶的项必为零，自然也是收敛的。 指數函數是解析的。这个函数的泰勒级数在整个复平面上收敛。 三角函數、对数函数、幂函数在相应的定义域上都是解析的。 多数特殊函数（至少在复平面上的某些区域）...

他跟随康熙帝在皇宫听西方传教士讲授测量、天文、数学。又從法國人杜德美學習艾薩克·牛頓的三個無窮級數展開式。康熙五十一年（1712年），隨康熙皇帝往承德避暑山莊，回答科學問題。乾隆二十一年（1756年）、二十四年（1759年），兩次赴新疆測繪地圖，完成天山北路、南路的测绘。他以科学方法进行地理测绘，...

.} 歐拉函數展開後，有些次方項被消去，只留下次方項為1, 2, 5, 7, 12, ...的項次，留下來的次方恰為廣義五邊形數。 若將上式視為幂級數，其收斂半徑為1，不過若只是當作形式冪級數來考慮，就不會考慮其收斂半徑。 歐拉函數的倒數是分割函數的母函數，亦即：...

在化學中，四級反應（英文：fourth-order reaction）亦稱四次反應，是指反應級數為4的化學反應，或反應速率與所有反應物的總濃度四次方成正比。 四級或四級以上的反應極為罕見，除非該反應有四種或四種反應物。 BrO3- + Br- + 2H+ → 3Br2 + 3H2O即為一種四級反應。...

“今有三角垛果子一所，值钱一贯三百二十文，只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贵一文，问底子每面几何？” 答曰：九个。 术曰：立天元一为每个底子，如积求之，得三万一千六百八十为益实十为从方，二十一为从上廉，一十四为下廉，三为从隅，三桀方开之，得每个底子，合问。 三角垛级数 1 + 3 + 6 + 10...

一個「簡單二能級萊德馬契函數」（simple two-level Rademacher function）就是一個方波。 方波和鋸齒波不同。鋸齒波包含所有整數諧波成分（integer harmonics），方波只有奇數諧波成分。 我們可以傅立葉級數表達一個理想方波，這個傅立葉級數有無限個項，如下式：...

}2^{n}f(2^{n})\ \leq \ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ \leq \ +\infty } 换言之，“凝结”级数的极限在原级数极限和它的二倍之间。 要证明该方法的正确性，我们需要证明上面的不等式。 ∑ n = 1 ∞ f ( n )   ≤   ∑ n = 0 ∞ 2 n f (...

}}x_{1}^{\alpha _{1}}...x_{n}^{\alpha _{n}}\\\end{aligned}}} 证毕。 数学主题 二項分佈 組合 立方根 平方根 牛顿法 多项式定理 负二项分布 杨辉三角形 斯特靈公式 中一新生之夢 Binomial Expansions - leeds uk (PDF). [2015-04-12]...

自由攀登 1973年Sierra引進美國。(YDS系統) 級數１：散步。 級數２：健腳。 級數３：簡單技巧，有時需用到雙手。 級數４：手腳並用往上爬，刺激而不危險，不用繩子確保。 級數５：光是手腳並用還不夠，需要點攀爬技巧，很危險，最好有繩子確保。 級數６：人工攀登 其他尚有英國系統、UIAA系統、巴西系統、澳洲系統與法國系統等。...

如果頻率能表示為經驗項之差（如氫原子的里德伯公式）： ν n 1 n 2 = T n 1 − T n 2 {\displaystyle \nu _{{n_{1}}{n_{2}}}=T_{n_{1}}-T_{n_{2}}\,} 里茲組合原則即可滿足，而在這裡原子系統形成一個“二維”的系統；對於頻率的“二維”本性，海森堡用“二維”的廣義坐標...

李异材在数学方面研究的主要是代数方程和级数两大项，在代数方面的研究，包括在《开方数理图说》一书中，此书有一九二三年印本，流传较广，这本著作中最有价值者是关于数值方程的坐标图解法。在级数方面的研究，包括在《级数比类》（没有印本，原稿存陕西师大图书馆）一书中。...