代數曲線 f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0} ，其中 f ∈ F [ x , y ] {\displaystyle f\in F[x,y]} ，因此在探討曲線的雙有理幾何時僅須考慮平面曲線。 射影空間中的曲線可視作仿射曲線的緊化，它們帶有更好的幾何性質。在以上考慮的方程...

也就是说，它有代数上定义的乘法，并且对该乘法形成阿贝尔群 – 其中 O即为单位元。 若 y 2 = P ( x ) {\displaystyle y^{2}=P(x)\,} ，其中P為任一沒有重根的三次或四次多項式，然後可得到一虧格1的無奇點平面曲線，其通常亦被稱為橢圓曲線。更一般化地，一虧格1的代數曲線，如兩個三維二次曲面相交，即稱為橢圓曲線。...

代数几何（英語：algebraic geometry）是数学的一个分支，经典代数几何研究多项式方程的零点。现代代数几何将抽象代数，尤其是交换代数，同几何学的语言和问题结合起来。 代数几何的基本研究对象为代数簇。代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。常见的例子有平面代数曲线...

point）或稱反曲点，是一條连续曲線由凸轉凹，或由凹轉凸的點，或者等價地說，是使切線穿越曲線的點。 決定曲線的拐點有助於理解曲線的外形，這在描繪曲線圖形時特別有用。 若曲線圖形在一點由凸轉凹，或由凹轉凸，則稱此點為拐點。直觀地說，拐點是使切線穿越曲線的點。 若該曲線...

n} 为无理数，曲线在长方形 [ − a , a ] × [ − b , b ] {\displaystyle [-a,a]\times [-b,b]} 中稠密。 若 n {\displaystyle n} 为有理数， 曲线是 2 q {\displaystyle 2q} 次代数曲线若 ϕ ∈ ( 0...

多變數函數的推廣，在這種情況下，雅可比矩陣也被稱作函數 f 在點 x 的微分或者導數。 在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇（英语：Jacobian variety）：伴随该曲线的一个代數群，曲线可以嵌入其中。 它们全部都以普魯士数学家卡爾·雅可比命名。 假設某函數從 f : ℝn →...

在代數幾何及數論領域，模曲線是一類緊黎曼曲面，同時也是定義於某數域上的射影代數曲線。模曲線是當代數論、表示理論及代數幾何中重要的課題。 「模曲線」一詞源於以下事實：模曲線參數化了一族橢圓曲線，因而是一種模空間。志村簇是模曲線在高維度的類比。 考慮上半平面 H := { z ∈ C : Im ( z...

a^{-1}} 。 有理數、實數和複數都是體的例子。 代數一詞亦可用來稱呼不同的代數結構，包含有： 交換環上的代數 集合上的代數 布尔代數 範疇論內的F-代數和F-對偶代數 Σ代數 数学主题 維基教科書中的相關電子教程：代数 代數基本定理 電腦代數系統 Struik, Dirk J. (1987)....

代数几何与微分几何中，卡拉比–丘流形（Calabi–Yau manifold）是第一陈类为0的紧n维凯勒流形（Kähler manifolds），也叫做卡拉比–丘 n-流形。其是里奇平坦流形，在理论物理学中有应用；特别是在超弦理论中，时空的额外维度有时被猜测为6维卡拉比-丘流形的形式，从中产生了镜像...

四次平面曲线（quartic plane curve）是四次（英语：degree of a polynomial）的平面代數曲線，可以表示為以下的多變數四次方程： A x 4 + B y 4 + C x 3 y + D x 2 y 2 + E x y 3 + F x 3 + G y 3 + H x 2...

曲線上的奇點（英語：Singular point）是指曲線上參數無法光滑變化的部份。具体定義要視曲線的具体種類而定。 平面上的代數曲線可以定義為滿足方程f(x, y)=0的點的集合，其中f是多項式函數。 若f展開為以下的形式 f = a 0 + b 0 x + b 1 y + c 0 x 2 + 2...

谷山-志村定理（英語：Taniyama-Shimura theorem）建立椭圆曲线（代数几何的对象）和模形式（数论中用到的某种周期性全纯函数）之间的重要联系。 定理的证明由英國數學家安德鲁·怀尔斯、理查·泰勒、法國數學家克里斯多福·布勒伊（英语：Christophe Breuil）、美國數學家布萊恩·康萊德（英语：Brian...

格羅滕迪克為代數幾何奠定的嶄新基礎，是將空間和相關的環作為研究的主要對象。他發展出概形理论，概形大致可以想成是拓撲空間，其中每個開集都有一個相關的可交換環。概形已经成为现代代数几何學者的基本研究對象。 格罗滕迪克对经典黎曼－罗赫定理的推广，把複代数曲線的拓撲性質及代數...

{\displaystyle G} 的亏格是 G {\displaystyle G} 的任意（连通，无向）凯莱图的最小格。 有个任意代数曲线C的亏格的定义. 当定义C的域是复数，且C无奇点时，该定义和作为黎曼曲面的C的拓扑定义相同（其复数点组成的流形）.代数几何中的椭圆曲线的定义为亏格为1的非奇异曲线。 凯莱图 群 曲面...

在代數幾何中，一個代數群（或群簇）是一個擁有群結構的代數簇，其簇之乘與逆由正則函數提供。以範疇論描述，一個代數群是一個於代數簇範疇 (數學)中的群對象。 在數學中，域 k {\displaystyle k} 上的代數群有幾種等價的描述： 光滑 k {\displaystyle k} -代數簇範疇中的群對象。...

尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在。另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或複系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。 高斯一生总共对这个定理给出了四个证明，其中第...

} 有一個特別的无穷远点（標示為∞）。座標會選定為特定的有限域，其特征不等於2或是3，也有可能是更複雜的曲線方程。 由椭圆曲线產生的集合是阿贝尔群，以无穷远点為單位元。此群的結構會繼承以下代数簇中除子的結構： D i v 0 ( E ) → P i c 0 ( E ) ≃ E , {\displaystyle...

三次平面曲线（cubic plane curve）是指用以下三次函數定義的平面代數曲線 C F(x, y, z) = 0 針對射影平面會使用齐次坐标x:y:z，或是在仿射空间中的非齊次版本，會令上述方程中的z = 1。F是以下三次單項式的非零線性組合 x3, y3, z3, x2y, x2z, y2x...

並於1748年发表，但克拉默使用符号的優越性使得這一方法以「克拉默法則」之名為世人所知。他最著名的工作是在1750年發表關於代數曲線方面的權威之作。他最早證明一個第n度的曲線是由 n(n + 3)/2 個點來決定的。 Quelle est la cause de la figure elliptique...

贝祖定理是代数几何中，用来描述两个代数曲线的交点个数的定理，定理说明两条互质的曲线X 和Y的交点个数等于它们次数的乘积。 William Fulton. Algebraic Curves (pdf). Mathematics Lecture Note Series. W.A. Benjamin. 1974:...

在代数几何上，模问题用于描述代数簇所依赖的参数。对于这样一个参数使用模这一词和模形式相似：一个模形式通常是模空间（Moduli space，即其坐标为模的空间）上的某种微分形式（或者张量密度），因为这些形式通常有一个權重。 在椭圆曲线的情况，有一个模，所以模空间是代数曲线...

在代數幾何中，雙有理幾何（英語：birational geometry）處理的是代數簇在雙有理等價之下不變的性質，也就是由其函數域決定的性質。這些性質包括維度、算術虧格、幾何虧格、小平維度等等。 任何曲線都雙有理等價於一條平滑射影曲線。平滑射影曲線之間的有理映射能延拓為態射，雙有理等價對應到同構；...

数学的一大分支代数几何的中心研究对象是代数簇，简言之它是由代数方程产生的代数对象，是几何对象的推广，人们所熟知的任何几何对象（如圆）都是一个代数簇，但并非所有代数簇都是几何的、可以直观描绘的。在此猜想中，代数几何学家关心的是非奇异射影代数簇，粗略而言它是一面光滑的多维曲面，由代数...

尖點（英語：Cusp）是曲線中的一種奇點。曲線上的動點在移到尖點時會開始反向移動，右圖是一個典型的例子。 給定一個以解析參數式定義的平面曲線： x = f ( t ) y = g ( t ) , {\displaystyle {\begin{aligned}x&=f(t)\\y&=g(t),\end{aligned}}}...

{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}z+cxz^{2}+xz=dz^{3},\,} 在原點有一個普通雙點，因此牛顿三叉曲线是虧格為0的代數曲線。 J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications...

除了对于a=0以外，隐式方程形式存在一个孤立点(0,0)不存在于极坐标方程形式中。 它们是有理曲线、循环代数曲线、三次曲线。 这些表达式有一个渐近线x=1(a≠0)。离渐近线最远的点是(1+a,0)。(0,0)是一个结点(a<−1)。 曲线和渐近线之间的面积是( a ≥ − 1 {\displaystyle a\geq...

Swinnerton-Dyer）在1960年代提出，它描述了阿贝尔簇的算术性质与解析性质之间的联系，即對有理數域上的任一橢圓曲線，其L函式在1的化零階等於此曲線上有理點構成的Abel群的秩。 這個猜想的提出引起了廣泛的關注和討論，因為它涉及到數學的深層結構，並對於解析數論和算術幾何有著重要的...

gT（g-叠环）：亏格为g的可定向曲面。 gP（g-叠射影平面）：亏格为g的不可定向曲面。 曲面的概念和代数曲面不同。一个非奇异复射影代数曲线是一个光滑曲面。複數域上的代数曲面作为流形考虑时维度是4。 极小曲面 黎曼曲面 代数曲面 克莱因瓶 环面 球面 圆柱 射影平面 数学曲面画廊，60 ~ 曲面和提供实时转动观看功能的Java...

0)处的尖点有本质区别，从草图就能看出。艾萨克·牛顿对所有三次平面曲线进行了详细研究，这些例子就属于三次曲线的一般族。提出贝祖定理时，人们注意到在计算曲线的交点时，必须用重复度（如双点是2，尖点是3）来计数。 随后，只需定义代数簇的奇点的一般概念，即允许更高的维数。 代数几何中的奇点原则上是最容易研究的，因为它们是多...

從一開始到19世紀中葉，微分幾何是從外在觀點來進行研究的：曲線和曲面是被放在更高維度的歐幾里得空間中來考慮的（譬如曲面被放在三維的背景空間中）。其中的最簡單的成果就是曲線微分幾何中的結果。內在觀點開始於黎曼的工作，在那裡因為幾何對象被認為是獨立的給出的，所以不能說移到外面來考慮這個對象。...

theory）。千禧年大獎難題中的霍奇猜想就是解析幾何學的問題。 低維度代數簇、代數曲線及代數曲面（英语：algebraic surface）的研究以及三維代數簇（algebraic threefolds）的研究都有很多進展。Gröbner基（英语：en:Gröbner basis）理論及實代數幾何（英语：real algebraic...