微分代数（英語：Differential algebra）是代数学的一个分支，在代数中装备一个导子就可以得到微分代数。此外，在数学中，微分环、微分域和微分代数是环、域、代数装备一个导子，一个满足莱布尼兹乘积法则的一元函数。微分域的一个自然例子是复数域上的单变元有理函数 C(t)，其导子是关于 t 的微分。...

微分对策可以按照收益分类為零和微分对策與非零和微分对策；或者按照随机因素的存在与否分类为决定性微分对策與随机微分对策；抑或是按照微分对策的解法可以分为开环纳什均衡（open loop Nash equilibrium）、闭环纳什均衡（closed loop Nash...

在数学中，微分算子（英語：Differential operator）是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数。 最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括： d d x {\displaystyle {\mathrm {d}...

在数学中，集合M上的一个n-维微分结构（differential structure）或可微结构（differentiable structure）是一个带有附加结构（使得我们可以在该流形上做微积分）的拓扑流形，使其成为一个n-维微分流形。如果M已经是一个拓扑流形，我们要求新拓扑与原来已有的拓扑相同。...

拓扑）。 并非每个流形上都可以有阿诺索夫微分同胚；例如，球面上就没有这样的微分同胚。容许有阿诺索夫微分同胚的最简单的紧流形是环面：上面有所谓的线性阿诺索夫微分同胚，这是没有模1特征值的同构。可以证明环面上其他的阿诺索夫微分同胚都与这种同胚拓扑共轭。 对容许有阿诺索夫微分同胚的流形进行分类是非常困难的问题，截至2012年仍然没有解决。...

曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。 从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet...

{\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} 是局部環。 非交換環的局部化較困難，並非對所有積性子集 S {\displaystyle S} 都有局部化。充分條件之一是歐爾條件，請參閱條目歐爾定理。 其應用之一是用於微分算子環。例如它可以解釋作為一個微分算子 D {\displaystyle D} 抽象地添加逆算子...

在抽象代數中，多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個環 R {\displaystyle R} 上的多項式環是由係數在 R {\displaystyle R} 中的多項式構成的環，其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中，當 R {\displaystyle R} 為交換環時，多項式環可以被刻劃為交換...

1,0,0,0,\ldots } 。 三維環面的貝蒂數依次為 1 , 3 , 3 , 1 , 0 , 0 , 0 , … {\displaystyle 1,3,3,1,0,0,0,\ldots } 。 一般而言， n {\displaystyle n} 維環面的貝蒂數由二項式係數給出，此命題可透過下節敘述的性質證明。...

是緊定向微分流形， V → X {\displaystyle V\to X} 是向量叢，其加法與乘法分別由不交并與積導出；我們考慮此環對關係 ( ∂ X , V | ∂ X ) ∼ 0 {\displaystyle (\partial X,V|_{\partial X})\sim 0} 的商環...

cohomology）是同时属于代数拓扑和微分拓扑的工具。它能够以一种特别适合计算和用具体的上同调类的方式表达关于光滑流形的基本拓扑信息。它是基于有特定属性的微分形式的存在性的上同调理论。它以不同的确定的意义对偶于奇异同调，以及亚历山大-斯潘尼尔上同调。 任何光滑流形M上的光滑微分k-形式在加法之下形成一个交换群(实际上也是一个实向量空间，称为...

PID控制器（比例-积分-微分控制器），由比例单元（Proportional）、积分单元（Integral）和微分单元（Derivative）组成。可以透過調整這三個單元的增益 K p {\displaystyle K_{p}} ， K i {\displaystyle K_{i}} 和 K d {\displaystyle...

在抽象代数之分支环论中，一个交换环（commutative ring）是乘法运算满足交换律的环。对交换环的研究称为交换代数学。 某些特定的交换环在下列类包含链中： 交换环 ⊃ 整环 ⊃ 惟一分解整环 ⊃ 主理想整环 ⊃ 欧几里得整环 ⊃ 域 一个带有两个二元运算的集合 R 是环，即将环...

4=2.8} 。 微分也是一种线性描述函数在一点附近变化的方式。微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分 d x {\displaystyle \mathrm {d} x} ，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。函数...

{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 」的拓樸空間，是微分幾何的主要研究對象。所有其他類型的流形（ manifolds ）都是帶有額結構的拓撲流形。例如可微流形是一個帶有額外的「微分結構」的拓撲流形；而光滑流形則要求這個「微分結構」要是無窮可微的。 一個 n {\displaystyle n}...

賦環空間 （ringed space） 在數學上係指一個拓撲空間配上一個交換環層，其中特別重要的一類是局部賦環空間。此概念在現代的代數幾何學佔重要角色。 一個賦環空間是一組資料 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} ，其中 X {\displaystyle...

為單位切向量場，比如都指向逆時針方向。n 維環面也可以平行化，因為可以看作是圓周的笛卡爾積。譬如取 n=2，將正方形坐標紙的對邊粘貼起來便組成了一個環面，取每個點的兩個切方向即可。更一般地，任何李群 G 可平行化，因為在單位元的切空間上一組基可以通過變換群 G 在 G 上的作用移到任何一點。（任何變換是一個微分同胚從而這些微分同胚誘導了...

微分幾何中，黎曼幾何（英語：Riemannian geometry）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注于角度、弧線長度及體積。把每个微小部分加起來而得出整體的數量。 19世紀，波恩哈德·黎曼把這個概念加以推广。 任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分...

数学学科分类标准采用分级的分类方案, 具有三个等级. 分类的第一级由一个两位数表示, 第二级由一个字母表示, 第三级由另外的两位数表示. 例如: 53 代表微分几何 53A 代表经典微分几何 53A45 代表向量和张量分析 一個有效的分類可以有兩個、三個或五個字元，視乎使用了多少級分類。 63个顶级数学学科由唯一的两位数字标识...

域論上，從一個域E到另一個域F中的一個嵌入，是一個環同態σ: E → F。因為環同態的核是一個理想，而域的理想只有0及整個域本身，又σ(1)=1，故其核不能為整個域，即知核為0。因此這個環同態必定是單態射，而E和在F中的σ(E)同構。所以可稱兩個域之間的任何同態為嵌入。...

S^{m}} 為單位元；亦即， M # S m {\displaystyle M\#S^{m}} 會同胚(或微分同構)於M。 閉球面的分類，在拓撲學上的一基本及重大結果，其描述为：任一閉曲面均可表示成g个環面和k個實射影平面的連通和。 設 M 1 {\displaystyle M_{1}} 和 M 2 {\displaystyle...

在數學中，局部環是只有一個極大理想的交換環。 局部環的概念由 Wolfgang Krull 於1938年引入，稱之為 Stellenringe，英譯 local ring 源自扎裡斯基。 設 R {\displaystyle R} 為交換含幺環。若 R {\displaystyle R} 僅有一個極大理想...

微分幾何中有多種不同的的內含映射，例如子流形的嵌入；由此可導出某些反變對象（例如微分形式）的「限制映射」，其方向恰好相反。在代數幾何中的內含映射則稍複雜，此時不僅須考慮底層拓撲空間的映射，也須考慮結構層的同態，例如以下兩個交換環譜的包含映射 Spec ⁡ ( R /...

theorem）、旋度定理（Curl Theorem）、开尔文-斯托克斯定理（Kelvin-Stokes theorem），是微分几何中关于微分形式的积分的定理，因為維數跟空間的不同而有不同的表現形式，它的一般形式包含了向量分析的几个定理，以乔治·加布里埃尔·斯托克斯爵士命名。 设 S...

{D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}} ，它们称为反导子。 反导子的例子包含作用在微分形式上的外导数与内乘。 超代数（即：Z2-分次代数）的分次导子经常称为超导子。 在初等微分几何中导子是切向量； 凯勒微分 Bourbaki, Nicolas, Algebra I, Elements of mathematics...

零化子（annihilator）可能指： 零化子 (環論)（英语：Annihilator (ring theory)） 向量子空間的子集的零化子 吸納法（英语：Annihilator method）（annihilator method），一種微分算符，用於一些解微分方程的方法 回歸分析中的消滅矩陣（英语：Annihilator...

中，根据希尔伯特零点定理，一个仿射代数簇的一点对应于坐标环上的一个极大理想，仿射概形上的子簇则对应于坐标环的素理想。而在概型论中，概型的点集包含了经典情况代数簇的点集，以及所有子簇的信息。这种方法使得经典代数几何（主要涉及闭点）同时联系起了微分几何、数论等主流分支的问题研究。...

{\displaystyle \Omega (f)} 中稠密。 满足A公理的微分同胚称为A公理微分同胚。若M是二维曲面，则非游荡集的双曲性蕴含了周期点的稠密性，但对三维以上的流形则不成立。尽管如此，A公理微分同胚有时仍被称作双曲微分同胚，因为M上发生有趣的动力学的部分，即 Ω ( f ) {\displaystyle...

在數學的拓撲學中，偽阿諾索夫（Аносов）映射是曲面的一種同胚或微分同胚，是環面上的線性阿諾索夫微分同胚的推廣。偽阿諾索夫映射的定義用到威廉·瑟斯頓提出的測度葉狀結構概念。「偽阿諾索夫映射」這一名詞，也是他證明曲面的微分同胚分類時所創。 一個閉曲面S上的測度葉狀結構，是S上的一個幾何結構，包含一個...

在微分拓扑中，莫尔斯理论使人们能通过流形上的可微函数分析流形的拓扑。根据马斯顿·莫尔斯的基本见解，流形上的可微函数在典型的情况下，直接反映了该流形的拓扑。莫尔斯理论允许人们在流形上找到CW结构和柄分解，并得到关于它们的同调的信息。 在莫尔斯之前，阿瑟·凯莱和麦克斯韦在测绘学中发展了莫尔斯理论中的一些...

2 {\displaystyle \pi /2} 。 每一個 τ {\displaystyle \tau } -坐標曲面都是不相交的環面。每一個環面都包圍著焦圓。環面半徑為 z 2 + ( x 2 + y 2 − a coth ⁡ τ ) 2 = a 2 sinh 2 ⁡ τ {\displaystyle...