在数学中，流形（英語：manifold）是可以“局部欧几里得空间化”的一个拓扑空间，即在此拓扑空间中，每个点附近“局部类似于欧氏空间”。更精确地说，n维流形（n-manifold），简称n流形，是一个拓扑空间，其性质是每个点都有一个邻域，该邻域同胚于n维欧氏空间的一个开集。 流形...

在數學中，拓撲流形（ topological manifold ）是一個「局部上看起來像是 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 」的拓樸空間，是微分幾何的主要研究對象。所有其他類型的流形（ manifolds ）都是帶有額結構的拓撲流形。例如可微流形...

代數拓撲學運用同調與同倫群等代數結構量測連通性的程度。 微分拓撲學研究在微分流形上的可微函數，與微分幾何密切相關，並一齊組成微分流形的幾何理論。 幾何拓撲學主要研究流形與其對其他流形的嵌入。幾何拓撲學中一個特別活躍的領域為「低維拓撲學」，研究四維以下的流形。幾何拓撲學亦包括「紐結理論」，研究數學上的紐結。...

數學上，3-流形（英語：3-manifold）是三維流形。在三維情況，拓撲流形、分段線性流形、光滑流形三個範疇都等價，因此很少會著意提及3-流形是屬於哪一類。 三維中的現象，不時會與其他維數中的現象有大出意外的差別，所以有不少極專門的技術處理三維情況，不能推廣至其他維數。3-流形的特殊性，使人發現3-流形...

光滑流形（英語：smooth manifold），或称 C∞-微分流形（differential manifold）、C∞-可微流形（differentiable manifold），是指一个被赋予了光滑结构的拓扑流形。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是 C∞ 类的微分流形。可微流形...

∞)则不是。几何拓扑学研究流形（此类中的另一种），它们与欧氏空间局部同胚（并满足一些额外条件）。低维流形在同胚意义上有完全的分类。 线性结构和拓扑结构都蕴含于拓扑向量空间（或拓扑线性空间）结构。线性拓扑空间是具有连续线性运算的拓扑空间，因此，同样是拓扑的线性空间一般不是线性拓扑空间。 有限维线性空间都是线性拓扑...

代数拓扑（英語：Algebraic topology）是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支。其基本目标是通过寻找拓扑空间的具有代数结构的不变量，从而将拓扑空间分类（英语：Classification theorem）。 尽管代数拓扑学主要通过代数研究拓扑问题，但有时也可以使用拓扑...

{GL} (n,\mathbf {R} ))=\mathbf {Z} /2} ：一个可逆实向量空间变换要么保持定向要么逆转定向。 这不仅对可微流形成立，对拓扑流形也同样成立，因为一个球面的自同伦等价空间有两个连通分支，可称为“保持定向”和“逆转定向”映射。 對稱群类似的概念是偶置换的交错群。 曲线定向（英语：Curve...

通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。 拓扑結構最實用的動機，在於怎麼去定義「一點的附近」，用以定義函數極限。 對於度量空间 ( M , d ) {\displaystyle (M,\,d)}...

在数学中，低维拓扑是拓扑学中研究二、三、四维流形或更广义的拓扑空间的一个分支。有代表性的研究主题包括三维流形、四维流形（英语：4-manifold）、扭结和辫群等的结构理论。低维拓扑是几何拓扑学的一部分。 自1960年起，一系列的论文逐渐引起了数学界对低维拓扑...

n_{0}} 以外为0时有意义。 两个同伦的拓扑空间有同构的同调群，所以有相同的欧拉示性数。 从这个定义和庞加莱对偶性，可以得到所有闭合奇数维流形的欧拉数为0的结论。 如果 M {\displaystyle M} 和 N {\displaystyle N} 是拓扑空间，则它们的积空间 M × N {\displaystyle...

geometry）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注于角度、弧線長度及體積。把每个微小部分加起來而得出整體的數量。 19世紀，波恩哈德·黎曼把這個概念加以推广。 任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓扑問題。它成為伪黎曼流形複雜結構的入門。其中大部分都是廣義相對論的四維研究对象。...

辛几何（英語：Symplectic geometry），也叫辛拓扑（英語：Symplectic topology），是微分几何的一个分支。其研究對象為辛流形，亦即带有闭非退化2-形式的微分流形。辛拓扑源于经典力学的哈密顿表述，其中特定经典系统的相空间有辛流形的结构。 symplectic這個名詞，是赫爾曼·外...

單連通是拓撲學中拓撲空間的一種性質。直觀地說，單連通空間中所有閉曲線都能連續地收縮至一點。此性質可以由空間的基本群刻劃。拓扑空间的基本群是一个空间是否为单连通的标志：当且仅当空间的基本群是當然群时，道路连通的拓扑空间是单连通的。 考慮道路連通的拓撲空間X。若拓撲空間X 中的任意閉曲線皆同倫等價於一個點，則稱該空間為單連通的。...

在数学，特别是在拓扑学中，一个图册（英語：atlas）描述了一个流形如何装备一个微分结构。每一小块由一个卡（英語：chart）给出（也称为坐标卡，coordinate chart，或局部坐标系，local coordinate system）。以圖冊來定義流形的概念是由夏尔·埃雷斯曼於1943年所提出。...

这些构造及其后代在目前的辛流形、切触流形及（光滑）3、4维流形的拓扑学发挥着重要作用。 弗洛尔同调的定义通常是将无限维流形与其上的实值函数关联起来。在辛的背景下，这是辛流形的自由闭路空间与辛作用泛函。3维流形的（瞬子）版本，则是3维流形上带陈-西蒙斯泛函的SU(2)-联络空间。粗略地讲，弗洛尔同调是无限维流形...

拓扑量子场论（又称拓扑场论，简称TQFT）是一类计算拓扑不变量的量子场论。其共同特征是某些相关函数不依赖于背景时空流形的度量。 虽然拓扑量子场论由物理学家发明，但是在数学上也具有重要意义，与纽结理论、代数拓扑中的4-流形（英语：4-流形）、代数几何中的模空间等分支均有联系。西蒙·唐纳森、沃恩·琼斯、...

n} 。 在现代数学中，欧几里得空间形成了其他更加复杂的几何对象的原型。特别是流形，它是逻辑上同胚于欧几里得空间的豪斯多夫拓扑空间。 n {\displaystyle n} 维欧氏空间是n维流形的典型例子，事实上也就是光滑流形。对于 n ≠ 4 {\displaystyle n\neq 4} ，任意与...

代数几何与微分几何中，卡拉比–丘流形（Calabi–Yau manifold）是第一陈类为0的紧n维凯勒流形（Kähler manifolds），也叫做卡拉比–丘 n-流形。其是里奇平坦流形，在理论物理学中有应用；特别是在超弦理论中，时空的额外维度有时被猜测为6维卡拉比-丘流形的形式，从中产生了镜像对称等想法。“卡拉比-丘流形”的名称最早见于Candelas...

道路连通则总可延拓到1-骨架。由1-骨架延拓到2-骨架意味着在从X的三角形出发的边在Y中的像已经知时，将像填满为实心三角形。 在几何拓扑学中，阻碍理论关心的是当一个拓扑流形有一个逐片线性结构以及当逐片线性流形有一个可微结构。 在至多二维（Rado）与三维（Moise）时，拓扑流形的概念与逐片线性流形重合。在四维时它们是不同的。...

黎曼流形（Riemannian manifold）是一個微分流形，其中每點p的切空間都定義了點積，而且其數值隨p平滑地改變。它容許我們定義弧線長度、角度、面積、體積、曲率、函數梯度及向量域的散度。 每個Rn的平滑子流形可以导出黎曼度量：把Rn的點積都限制於切空間內。實際上，根据纳什嵌入定理，所有黎曼流形都可以這樣产生。...

數學上的希爾伯特-史密斯猜想，是關於流形的變換群，特別是忠實地作用在一個拓撲流形上的拓撲群的限制。這猜想說若一個局部緊的拓撲群G有一個連續且忠實的群作用在拓撲流形M上，則G必定是一個李群。 基於G的結構的已知結果，僅需證明當G是p進數Zp的加法群時（p是素數），G無忠實的群作用在拓撲流形上。 這個猜想以大衛·希爾伯特和美國拓撲學家Paul...

坐标转换，是指在一个m维拓扑流形中一个坐标邻域到另一个坐标邻域的坐标的变换。形式上说，m维拓扑流形 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 上两个相交的坐标邻域 ( U , φ ) , ( V , ψ ) {\displaystyle (U,\varphi ),(V,\psi...

广义上的同调理论（其他代数或几何结构的不变式，而不是拓扑空间的不变式）包括：代数K理论，李代数同调，晶体同调等。 奇异上同调是拓扑学中一个强大的不变量，将分次交换环同任意拓扑空间联系起来。每个连续映射 f :   X → Y {\displaystyle f:\...

数学中，浸没（submersion）是微分流形之间的可微映射，其微分处处为满射。这是微分拓扑中的一个基本概念。浸没与浸入对偶。 令M、N是微分流形， f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} 是它们间的可微映射。映射f是点 p ∈ M {\displaystyle...

structure）或可微结构（differentiable structure）是一个带有附加结构（使得我们可以在该流形上做微积分）的拓扑流形，使其成为一个n-维微分流形。如果M已经是一个拓扑流形，我们要求新拓扑与原来已有的拓扑相同。 对一个自然数n与可能为非负整数或无穷的某个k，一个n-维Ck微分结构是用一个Ck-图册...

数学上，霍奇理论是光滑流形M的代数拓扑的研究的一个方面。更精确的讲，它寻找M的实系数上同调群在和M上的黎曼度量相关的一般化的拉普拉斯算子的偏微分方程理论中的应用。 它由霍奇于1930年代作为德拉姆上同调的扩展而发展出来，并在三个层次上有重要应用： 黎曼流形 凯勒流形 複射影簇的代数几何 最初的发展过程中，M...

在拓扑学和相关的数学分支中，豪斯多夫空间、分离空间或T2空间（Hausdorff space, separated space or T2 space）是其中的点都“由邻域分离”的拓扑空间。在众多可施加在拓扑空间上的分离公理中，“豪斯多夫条件”是最常使用和讨论的。它蕴涵了序列、网和滤子的极限的唯一...

许多对偶性将上述理论联系起来。两镜像流形上的A、B模型通过镜像对称联系起来，这被描述为3-环面上的T对偶。同一流形上的A、B模型有人猜测通过S对偶联系在一起，意味着存在几个新的膜，同NS5膜类比称作NS膜，包裹着与相反理论中的原膜相同的循环。此外，A模型的组合同B模型及其共轭之和通过一种维度减化与拓扑...

微分几何中，辛流形是装备了闭非退化2-形式ω的光滑流形M，ω称为辛形式。辛流形的研究称为辛几何或辛拓扑。辛流形作为经典力学和分析力学中流形的余切丛自然出现，例如在经典力学的哈密顿表述中（这该领域的主要动机之一），系统所有可能构型的空间可以用流形建模，流形的余切丛描述了该系统的相空间。 一个辛流形...

里奇-哈密顿流，一般称为里奇流（英語：Ricci flow）在微分几何中是指一种固有的几何学流动，它的主要思想是让流形随时间变形，即是让度规张量随时间变化，观察在流形的变形下，里奇曲率是如何变化的，以此来研究整体的拓扑性质。它的核心是里奇-哈密顿流方程，是一个拟线性抛物型方程组。 里奇流...