在數學中，拓撲流形（ topological manifold ）是一個「局部上看起來像是 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 」的拓樸空間，是微分幾何的主要研究對象。所有其他類型的流形（ manifolds ）都是帶有額結構的拓撲流形。例如可微流形...

在数学中，流形（英語：manifold）是可以“局部欧几里得空间化”的一个拓扑空间，即在此拓扑空间中，每个点附近“局部类似于欧氏空间”。更精确地说，n维流形（n-manifold），简称n流形，是一个拓扑空间，其性质是每个点都有一个邻域，该邻域同胚于n维欧氏空间的一个开集。 流形...

光滑流形（英語：smooth manifold），或称 C∞-微分流形（differential manifold）、C∞-可微流形（differentiable manifold），是指一个被赋予了光滑结构的拓扑流形。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是 C∞ 类的微分流形。可微流形...

在数学中，低维拓扑是拓扑学中研究二、三、四维流形或更广义的拓扑空间的一个分支。有代表性的研究主题包括三维流形、四维流形（英语：4-manifold）、扭结和辫群等的结构理论。低维拓扑是几何拓扑学的一部分。 自1960年起，一系列的论文逐渐引起了数学界对低维拓扑...

在动力系统的研究中，不变流形是在动力系统的作用下不变的拓扑流形。慢流形（英语：Slow manifold）、中心流形、稳定流形、不稳定流形、次中心流形（subcenter manifold）和慣性流形（英语：Inertial manifold）都是不变流形的例子。 不变流形在从平衡点刚伸出来的时候，方向沿着动力系统...

代数拓扑（英語：Algebraic topology）是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支。其基本目标是通过寻找拓扑空间的具有代数结构的不变量，从而将拓扑空间分类（英语：Classification theorem）。 尽管代数拓扑学主要通过代数研究拓扑问题，但有时也可以使用拓扑...

數學上，3-流形（英語：3-manifold）是三維流形。在三維情況，拓撲流形、分段線性流形、光滑流形三個範疇都等價，因此很少會著意提及3-流形是屬於哪一類。 三維中的現象，不時會與其他維數中的現象有大出意外的差別，所以有不少極專門的技術處理三維情況，不能推廣至其他維數。3-流形的特殊性，使人發現3-流形...

structure）或可微结构（differentiable structure）是一个带有附加结构（使得我们可以在该流形上做微积分）的拓扑流形，使其成为一个n-维微分流形。如果M已经是一个拓扑流形，我们要求新拓扑与原来已有的拓扑相同。 对一个自然数n与可能为非负整数或无穷的某个k，一个n-维Ck微分结构是用一个Ck-图册...

坐标转换，是指在一个m维拓扑流形中一个坐标邻域到另一个坐标邻域的坐标的变换。形式上说，m维拓扑流形 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 上两个相交的坐标邻域 ( U , φ ) , ( V , ψ ) {\displaystyle (U,\varphi ),(V,\psi...

通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。 拓扑結構最實用的動機，在於怎麼去定義「一點的附近」，用以定義函數極限。 對於度量空间 ( M , d ) {\displaystyle (M,\,d)}...

拓扑量子场论（又称拓扑场论，简称TQFT）是一类计算拓扑不变量的量子场论。其共同特征是某些相关函数不依赖于背景时空流形的度量。 虽然拓扑量子场论由物理学家发明，但是在数学上也具有重要意义，与纽结理论、代数拓扑中的4-流形（英语：4-流形）、代数几何中的模空间等分支均有联系。西蒙·唐纳森、沃恩·琼斯、...

道路连通则总可延拓到1-骨架。由1-骨架延拓到2-骨架意味着在从X的三角形出发的边在Y中的像已经知时，将像填满为实心三角形。 在几何拓扑学中，阻碍理论关心的是当一个拓扑流形有一个逐片线性结构以及当逐片线性流形有一个可微结构。 在至多二维（Rado）与三维（Moise）时，拓扑流形的概念与逐片线性流形重合。在四维时它们是不同的。...

弦拓扑是近几年来兴起的一个数学学科，概括地说，它是关于流形的路径空间（path space）上的拓扑性质及其在微分几何，同调代数和数学物理等领域的应用的研究。 1999年美国数学家Moira Chas和Dennis Sullivan在网络上(www.arxiv.org...

许多对偶性将上述理论联系起来。两镜像流形上的A、B模型通过镜像对称联系起来，这被描述为3-环面上的T对偶。同一流形上的A、B模型有人猜测通过S对偶联系在一起，意味着存在几个新的膜，同NS5膜类比称作NS膜，包裹着与相反理论中的原膜相同的循环。此外，A模型的组合同B模型及其共轭之和通过一种维度减化与拓扑...

{GL} (n,\mathbf {R} ))=\mathbf {Z} /2} ：一个可逆实向量空间变换要么保持定向要么逆转定向。 这不仅对可微流形成立，对拓扑流形也同样成立，因为一个球面的自同伦等价空间有两个连通分支，可称为“保持定向”和“逆转定向”映射。 對稱群类似的概念是偶置换的交错群。 曲线定向（英语：Curve...

p+q=n} 是流形的维数。黎曼流形就是以 ( n , 0 ) {\displaystyle (n,0)} 作為符号。 伪黎曼流形的符号 ( p , 1 ) {\displaystyle (p,1)} 稱為洛伦兹度量。擁有洛伦兹度量的流形都是洛伦兹流形。除黎曼流形外，洛伦兹流形是伪黎曼流形...

y):=|y-x|} 的度量转换到度量空间。这一度量给出 R 上等价于序拓扑的拓扑。 作为拓扑空间，实数线是个 1 维的拓扑流形。 它既是可缩空间、局部紧致空间，也是仿紧致空间、第二可数空间。 它还具有标准可微结构，使它成为可微流形。 （由于可微同构，该拓扑空间只支持一个可微结构。） 事实上，R...

数学上，流形M的子流形是子集S，且本身也有流形的结构，并且内含映射S → M满足特定属性。根据具体所需的属性，有各种不同类型的子流形。不同作者经常采用不同的定义。 下面假设所有流形为Cr类微分流形，r ≥ 1，并且所有映射为Cr类可微。 流形M的浸入子流形是流形N，带有给定浸入f : N → M（f :...

微分几何中，辛流形是装备了闭非退化2-形式ω的光滑流形M，ω称为辛形式。辛流形的研究称为辛几何或辛拓扑。辛流形作为经典力学和分析力学中流形的余切丛自然出现，例如在经典力学的哈密顿表述中（这该领域的主要动机之一），系统所有可能构型的空间可以用流形建模，流形的余切丛描述了该系统的相空间。 一个辛流形...

數學上，閉流形是指無邊界的緊緻流形。如討論背景中的流形不可能有邊界，那麼緊緻流形都是閉流形。留意閉流形中的「閉」是指封閉，不是拓撲學概念的閉集。 閉流形從直觀意義來說是「有限」的。按照緊緻性的基本性質，一個閉流形是有限個連通閉流形的不交併。幾何拓撲學的根本目標之一，是瞭解可能出現的閉流形。 閉流形...

在數學中，一個解析流形（有時也記作 C ω {\displaystyle \mathbf {C} ^{\omega }} 流形）是一個拓撲流形 M {\displaystyle M} 配上一族坐標鄰域 ( U α , ϕ α ) α {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha...

数学的规范理论中，唐纳森理论是用反自偶瞬子的模空间进行的光滑4-流形的拓扑研究。西蒙·唐纳森 (1983)证明了唐纳森定理，限制了紧单连通4-流形的第二上同调群上可能的二次型。从定理可以导出，存在异R4，光滑h-配边定理在4维失效。因此，唐纳森理论的结果依赖于有微分结构的流形，对大部分拓扑4-流形不成立。...

在代数几何和交换代数中，扎里斯基拓扑是定義在代数簇上的拓扑。其由奥斯卡·扎里斯基首先提出，及後用作給出一般交换环的素理想集的拓撲結構，稱為環的谱。 有了扎里斯基拓扑，無論一個代數簇的基域是否一個拓撲域（即一個域，其上可定義一個拓撲，使得加法和乘法都是連續函數），都可應用拓扑学的工具到代数簇的研究上。这是概形...

代數拓撲學運用同調與同倫群等代數結構量測連通性的程度。 微分拓撲學研究在微分流形上的可微函數，與微分幾何密切相關，並一齊組成微分流形的幾何理論。 幾何拓撲學主要研究流形與其對其他流形的嵌入。幾何拓撲學中一個特別活躍的領域為「低維拓撲學」，研究四維以下的流形。幾何拓撲學亦包括「紐結理論」，研究數學上的紐結。...

辛几何（英語：Symplectic geometry），也叫辛拓扑（英語：Symplectic topology），是微分几何的一个分支。其研究對象為辛流形，亦即带有闭非退化2-形式的微分流形。辛拓扑源于经典力学的哈密顿表述，其中特定经典系统的相空间有辛流形的结构。 symplectic這個名詞，是赫爾曼·外...

在数学中，一个殆複流形（almost complex manifold）是在每个切空间上带有一个光滑线性複结构的光滑流形。此结构的存在性是一个流形成为複流形的必要条件，但非充分条件。即每个複流形是一个殆複流形，反之则不然。殆複结构在辛几何中有重要应用。 此概念由埃雷斯曼与霍普夫于1940年代引入。...

拓扑向量空间（譬如巴拿赫空间和希尔伯特空间）的加法群是拓扑群。 上面的例子都是阿贝尔群的例子。非交换群的例子有各种李群（是拓扑群也是流形）。例如，一般线性群GL(n,R)由所有可逆n×n实系数矩阵组成，可以视为拓扑群，其拓扑定义为将GL(n,R)作为欧几里得空间Rn×n的子空间得到的子空間拓撲。所有李群是局部紧的。...

算术拓扑（arithmetic topology）是结合了代数数论与拓扑学的数学领域。它在代数数域和封闭可定向的三维流形之间建立起类比。 以下是数域和三维流形之间的一些类比： 数域对应封闭、可定向的三维流形。 整数环的理想对应link，素理想对应扭结。 有理数域 Q {\displaystyle \mathbb...

微分拓撲是一個处理在微分流形上的可微函数的数学领域。很自然地，它是在研究微分方程理論的过程中被提出來的。微分幾何是用微積分來研究幾何的学问。这些领域非常接近，在物理学，特别在相对论方面有许多的应用。它们合在一起还建立了可从动力系统观点直接研究的、 可微流形的几何理论。...

几何拓扑学是数学中研究流形以及它们的嵌入的分支，俱代表性的主题有紐結理論和辫子群。紐結理論和辫子群是几何拓扑学研究范围的典型例子。随着时间的变迁几何拓扑学几乎等同于考虑二维、三维、或者四维的低维拓扑学。 1945年后拓扑学发展迅速，逐渐地数学家将这个学科分为三个分支： 代数拓扑学（伦移等问题） 几何拓...

代数几何与微分几何中，卡拉比–丘流形（Calabi–Yau manifold）是第一陈类为0的紧n维凯勒流形（Kähler manifolds），也叫做卡拉比–丘 n-流形。其是里奇平坦流形，在理论物理学中有应用；特别是在超弦理论中，时空的额外维度有时被猜测为6维卡拉比-丘流形的形式，从中产生了镜像对称等想法。“卡拉比-丘流形”的名称最早见于Candelas...