数学の線型代数学や函数解析および関連する分野における準ノルム（じゅんノルム、英: quasinorm）とは、ノルムと類する概念であり、三角不等式を除いたノルムの公理を満たす。また三角不等式の成立は、ある K > 1 {\displaystyle K>1} に対する不等式 ‖ x + y ‖ ≤ K...

を満たすような可測関数 f 全体の成すベクトル空間である。 上でやったのと同様に p-ノルム ‖ f ‖p ≔ Np(f)1/p を導入しようとするのだけれども、いまの場合 ‖ • ‖p は三角不等式を満たさず、したがって準ノルムを定めるにとどまる。a ≥ 0 および b ≥ 0 に対して不等式 (a + b)p ≤...

Functional Analysis, New York: McGraw-Hill, ISBN 0-070-54236-8  ノルムの一般化: 準ノルム / 擬ノルム（ドイツ語版） / Fノルム etc. Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Semi-norm”, Encyclopedia...

代数体 K には体のノルム N（各代数的な元 α をその共軛元（英語版）全ての積へ写す写像）の絶対値による標準ノルム写像が存在する。このノルムは数体 K の整数環 OK を非負有理整数全体の成す集合のなかへ写すから、この環上のユークリッド函数の候補となり得る。このノルムがユークリッド函数の公理を満足するならば、数体...

数学における位相線型空間がノルム付け可能であるとは、そのもともとの位相が適当なノルムの誘導する位相（ドイツ語版）に一致するときに言う。ノルム付け可能な位相線型空間はノルム化可能線型空間あるいは短くノルム化可能空間（ノルムかかのうくうかん、英: normable space; ノルム可能空間）と呼ぶ。ノルム...

を満たす唯一の線型写像 f ′(a): Rn → Rm と定義される。ただし、h ∈ Rn だから分母におけるノルムは Rn における標準ノルムであり、他方 f ′(a)h ∈ Rm であり分子のノルムは Rm の標準ノルムである。v が a を始点とするベクトルならば、f ′(a)v は f による v の押し出しと呼ばれ、f∗v...

数学の特に函数解析学におけるノルム環（ノルムかん）またはノルム代数（ノルムだいすう、英: normed algebra; ノルム多元環、ノルム線型環）A は適当な位相体 K（とくに実数体 R または複素数体 C）上のノルム空間かつ多元環であって、そのノルムが 劣乗法性: ‖ x y ‖ ≤ ‖ x ‖...

内の超函数 f の Hp-準ノルム ||f ||Hp は、MΦf の Lp ノルムとして定義される（これは Φ の選択に依存するが、異なるシュワルツ超函数 Φ を選んでも同値なノルムが与えられる）。Hp-準ノルムは p ≥ 1 のときノルムであるが、p < 1 のときはノルムではない。 1 < p <...

型空間を）考えるならば、全ての線型写像は果たして連続であるか、という問いを考えることに意味が生まれる。そして、無限次元位相線型空間（例えば無限次元ノルム空間）上で定義される線型写像を考えるとき、この問いの答えは一般には否であって、不連続線型写像（ふれんぞくせんけいしゃぞう、英: discontinuous...

数学の分野における作用素ノルム（さようそノルム、英語: Operator norm）とは、線形作用素の大きさを測る際に用いられるある種の指標のことを言う。より正式には、与えられた二つのノルム線形空間の間の有界線形作用素からなる空間上に定義されるノルムのことを言う。 与えられた二つのノルム線形空間 V および...

R（つまり自分自身）の上の一次元ベクトル空間である。このベクトル空間は標準内積を持ち、ユークリッド空間の構造を示す（ここでいう内積は単に実数の通常の乗法のことである）。R 上の標準ノルムは絶対値に他ならない。 実数直線にはルベーグ測度という標準的な測度を入れることができる。ルベーグ測度は R...

空間のように、それは函数の「大きさ」に関する情報を表すノルム（正確には準ノルム）によって特徴づけられる。そのような函数の大きさに関する基本的な定性的概念として次の二つがある：その函数のグラフの高さがどの程度か、またそれがどの程度広がっているか、である。ローレンツノルムは、値域 ( p {\displaystyle...

内積はそれに付随するノルムを自然に導き、内積空間はノルム空間の構造を持つ。内積に付随するノルムの定める距離に関して完備となる空間はヒルベルト空間と呼ばれ、必ずしも完備でない内積空間は（内積の導くノルムに関する完備化がヒルベルト空間となるから）前ヒルベルト空間 (pre-Hilbert...

x ↦ ‖ x ‖ ≔ d(0, x) はひとつの F-ノルムを定める（一般の F-ノルムには完備性は仮定しない）。平行移動不変性により、もとの距離函数はこの F-ノルムから恢復可能である。したがって、K 上の F-空間は、完備 F-ノルムを備えた K-線型空間と言っても同じことである。...

ベクトル空間では、ノルムの概念を定義する事ができ、ベクトル空間上の距離としてはノルムから定まるものを考える事が多い。本節ではまずノルムの定義を振り返り、ノルムから定まる距離を定義し、その距離から定まる位相の性質を見る。 まずノルムとは何かを簡単に説明する： 定義 (ノルム) ―  Kを R {\displaystyle...

ベクトルの「測度」は、ベクトルの長さを測るノルムや、ベクトルの間の角を測る内積を決めることによって与えられる。ノルムが定義されたベクトル空間をノルム空間とよび、ノルムを |v| のように表す。内積が定義されたベクトル空間を内積空間と呼び、 内積は⟨v, w⟩ のように表す。内積空間は付随するノルム | v | := ⟨...

数学における C*-環（シースターかん、英: C*-algebra）とは複素数体上の完備なノルム環で複素共役に類似の作用をもつものであり、フォン・ノイマン環と並ぶ作用素環論の主要な研究対象である。C*-代数（シースターだいすう）とも呼ばれる。1943年のGel'fand-Naimarkと1946年...

ノルムから位相を入れたベクトル空間（ノルム空間）に対してはリースの補題から直接的に次の事実が従う： 命題 ―  R {\displaystyle \mathbb {R} } もしくは C {\displaystyle \mathbb {C} } 上のノルム...

バナッハ空間のようなノルム線型空間では、線型写像がノルムの定める距離に関して連続となることと、そのノルムに関して有界となることとが同値である。 ノルム空間 X 上の可微分函数全体の成す空間 C1(X) に上限ノルムを入れて考えるとき、函数の微分は作用素として有界でない（つまり、0-値函数の微分が常に...

バナッハ代数、バナッハ多元環、バナッハ線型環）は、完備ノルム体（ふつうは実数体 R または 複素数体 C）上の結合多元環 A であって、バナッハ空間（ノルムが存在し、ノルムの誘導する位相（ドイツ語版）に関して完備）ともなる。バナッハ代数におけるノルムは乗法に関して 劣乗法性: ‖ x y ‖   ≤ ‖...

注意  ノルム空間へと応用される場合、この節での定義はノルム空間に対する回帰性の定義と一致する。実際、バナッハ空間 X の双対 X ′ 上のノルム位相は、強位相 β(X ′, X) と一致し、したがって、位相ベクトル空間としてのノルム空間 X ′ は X の強双対となる。また、X 上のノルム位相は β(X...

列に対して一般化する際に積のトレースが現れるのはこのような事情による。 この内積に対応するノルムをフロベニウスノルムと呼ぶ。これは実際、行列を単に長さ m × n のベクトルと見做したときのユークリッドノルムである。 したがって時に A, B が同じサイズの半正定値行列ならば 0 ≤ tr ⁡ (...

]。文献によっては、この一般化された距離の概念を、半ノルムから導かれることを以て「半距離」と呼ぶ場合があるので注意。 いくつかの文献では、準距離 (quasimetric) 函数を対称性を除く全ての距離の公理を満足する函数として定義する。即ち、準距離の公理は d(x, y) ≥ 0 d(x, y)...

x\rVert :={\sqrt {\langle x,x\rangle }}} と定めると、1 つのノルム ‖ ⋅ ‖ が定義できる。これを内積が誘導するノルムまたは内積が定めるノルムと呼ぶ。ノルムは与えられた内積ではかった "ベクトルの大きさ" であり、 cos ⁡ θ = ⟨ a , b ⟩ ‖...

は通常の虚数単位）から乗法性を示すこともできる。 このノルムを使って、四元数 p と q の間の距離 d⁡(p, q) を、それらの差のノルム (d⁡(p, q) = ‖ p − q ‖) として定義することができる。これにより H は距離空間となり、加法と乗法はこの距離位相に関して連続になる。 ノルムが 1 の四元数を単位四元数という。0...

（片方がもう片方の真部分集合）となる。 トレースクラス作用素には、トレースノルム ||T||1 = Tr [ (T*T)½ ] = ∑i αi が与えられる。ヒルベルト＝シュミット内積に対応するノルムは ||T||2 = (Tr T*T)½ = (∑iαi2)½ である。また、通常の作用素ノルムは ||T|| = supi(αi) である。適切な...

出来ることを，あるいは0の任意の近傍が「より小さい」近傍を含むことを意味する．この条件はすべての半ノルム p に対して確かめる必要はない；位相を生成する半ノルムの集合，つまり位相の準基底となる半ノルムの集合について確かめれば十分である． 抽象的なバナッハ空間と核作用素を用いる代わりに，ヒルベルト空...

も含まれる。付随する二次形式は N(x) = xx* として与えられ、しばしばその合成代数のノルムと呼ばれる（その意味で合成代数を「ノルム多元環」ともいうが、関数解析学にいうノルム代数とは同じものでないことに注意）。 合成代数 (A, ∗, N) は多元体（ノルム多元体）か、さもなくば分解型多元環 (split algebra)...

上記の全てではないがいくつかは無限次元ヒルベルト空間上の正規作用素に対しても一般化される。例えば、上記の極分解に関する条件を満足する有界作用素は準正規作用素であることまでしか言えない。 正規行列 N の作用素ノルムは N の数域半径（英語版）およびスペクトル半径に等しい（この事実は正規作用素に対して一般化できる）。これを明示的に書けば、...

{\displaystyle X} 上のすべての下半連続半ノルムが連続である。 X 内の 0-近傍基と、 E β ′ {\displaystyle E_{\beta }'} 内の有界集合の基本族は、極性によってお互い対応する。 さらに すべての点列完備な準樽型空間は、樽型である。...

群の項を見よ）は、一意であるという普遍性をもつ点で「普遍的」であり、アーベルモノイドのアーベル群への任意の他の埋め込みに準同型である。 考えている加群が付加的な構造（例えばノルムや内積）をもっていれば、加群の直和もしばしばこの付加的な構造をもつようにできる。この場合、付加的な構造をもっているすべて...