1/3,\dots \}} 在实数集上是无处稠密集），但一定是包含在一个无处稠密的闭集（即它的闭包）内。确实，一个集合是无处稠密集，当且仅当它的闭包是无处稠密集。 无处稠密的闭集的补集是一个稠密的开集，因此无处稠密集的补集是内部为稠密的集合。 一个无处稠密集并不一定就是可忽略的。例如，如果X位于单位区间[0...

稠密。直观上，如果X中的任一点x可以被A中的点很好的逼近，则称A在X中稠密。 等价地说，A在X中稠密当且仅当X中唯一包含A的闭集是X自己。或者说，A的閉包是X，又或者A的补集的内部是空集。 在度量空间(E,d)中，也可以如下定义稠密集。当X的拓扑由一个度量给定时，在X中A的闭包...

X 为实数的欧几里得空间 R，则 cl((0, 1)) = [0, 1]。 若 X 为实数的欧几里得空间 R，则有理数集合 Q 的闭包是全空间 R。也就是，Q 在 R 中是稠密的。 若 X 为複平面 C = R2，则 cl({z 属于 C : |z| > 1}) = {z 属于 C : |z| ≥...

稠密子空間。若施於一個內積空間，得到的則是希爾伯特空間，原空間依然是其稠密子空間。 完备与闭：前面讲，完备类似于闭，那么，“完备”与“闭”的区别在何处呢？它们的区别在于，完备是空间或集合的性质，而闭是子集的性质。通常我们说某个集合是闭集或开集，实际上是指该集合是R1或某个拓扑空间的闭子集或开子集。例如，开区间(0...

设 U n {\displaystyle U_{n}} 为一个开稠密子集的集合。我们希望证明交集 ⋂ U n {\displaystyle \bigcap U_{n}} 是稠密的。一个子集 A {\displaystyle A} 是稠密的当且仅当空间中任意一个非空的开集都与 A {\displaystyle...

a\leq b} 或 b ≤ a {\displaystyle b\leq a} 满足全序关系的集合叫做全序集合、线性序集合、简单序集合或链。 链还常用来描述偏序集合的全序子集。 全序关系的完全性可以如下这样描述：集合中的任何一对元素都是可相互比较的。 注意完全性条件蕴涵了自反性： a ≤ a {\displaystyle...

有理數集的序還滿足稠密性（英语：dense order）：若 a < b {\displaystyle a<b} ，则必存在有理数 c {\displaystyle c} ，满足 a < c {\displaystyle a<c} ，且 c < b {\displaystyle c<b} 。 集合 Q {\displaystyle...

值）。近似特征值集合（包含点谱）被称为T的近似点谱，记为σap(T)。 如果λI-T值域不稠密，则λ∈σ(T)。这样的λ的集合被称为压缩谱，记为σcp(T)。它的子集，使得λI-T值域不稠密但是单射的λ的集合，被称为T的剩余谱，记为σr(T)。 注意到近似点谱和剩余谱不一定不相交（但点谱和剩余谱不相交）。...

一個拓撲空間的所有非空開集的搜集是至多可數的這條件又稱為蘇斯林性質。 任何滿足條件1至4但「不」同構於實數線的全序集合又稱作蘇斯林線；而蘇斯林猜想所講的是沒有蘇斯林線，也就是說所有具有可數鏈條件且沒有上下界的稠密完備線性序列與實數線同構；而一個等價的陳述是任何高度為 ω 1 {\displaystyle \omega...

在實數 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上是闭集。 康托尔集是一个独特的闭集，它包含所有边界点，并且没有一处是稠密的。 仅包含一个点的集合（显然它是有限集）在豪斯多夫空间内是闭集。 如果 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 是拓扑空间，而...

集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。...

X称为可分的，当且仅当它拥有一个可数的稠密子集。 第一可数 X称为第一可数的，当且仅当其任何一个点都有一个可数的局部基。 第二可数 X称为第二可数的，当且仅当其拥有一个可数的基。 连通 X称为连通的，当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。（或等价地，该空间的闭开集（既开又闭的集合）只有空集和全空间两者）。 局部连通...

如果在B1上定义域稠密，算子 T被稠密定义。这同样包括定义在整个 B1 上的算子, 因为整个空间本身稠密。 定义域的稠密是转置与伴随函数存在的充分必要条件。 若T : B1 → B2为闭集, 在它的定义域上稠密且连续, 则它定义在B1上. 如果 T + a 是实数 a的正算符，希尔伯特空间 H 上稠密定义的算符...

所有集合除了X的内部都是空集。 所有X的非空子集的闭包都是X。在另一种方式下：所有X的非空子集都是稠密的，这个性质刻画了密着拓扑空间。 如果S是任何带有多于一个元素的X的子集，则所有X的元素都是S的极限点。如果S是单元素集合，则所有X \ S的点仍是S的极限点。 X是Baire空间。...

的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim-Skolem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超实数的集合远远大于 R {\displaystyle R} ，但也同样满足和 R {\displaystyle R} 一样的一阶逻辑命题。满足和...

在模型論中，型是一階邏輯中的一個相容的公式集合。一個完備型是這類集合中的一個極大元素。 首先固定以下對象： L {\displaystyle {\mathcal {L}}} ：一個一階語言 T {\displaystyle T} ：一個 L {\displaystyle {\mathcal {L}}}...

所有二进分数组成的集合在实数轴上是稠密的：任何实数 x {\displaystyle x} 都可以用形为 ⌊ 2 i x ⌋ / 2 i {\displaystyle \lfloor 2^{i}x\rfloor /2^{i}} 的二进分数无限逼近。与实数轴上的其它稠密集，例如有理数相比，二进分数是相对“小”的稠密...

μ)中的连续函数构成的集合在Lp(S, μ)中稠密。对于更具体的空间，可以证明更加强的结果。比如说当S是n维欧几里德空间，而μ是S上的正则博雷尔测度的时候，可以证明，所有紧支撑的光滑函数的集合在Lp(S, μ)中稠密。 以昂利·勒貝格命名(Dunford & Schwartz...

space）。若是任何可數個稠密開集的交集還是稠密，那麼這個空間被稱為贝尔空间。 基（base）。令B是一組開集。如果拓扑T中的任何開集都是B中開集的聯集，那麼我們稱B是T的基。換句話說，T是包含B的最小拓扑。也可稱B生成拓扑T。 博雷尔代数（Borel algebra）。博雷尔代数是包含所有開集的最小σ-代数。 博雷尔集合（Borel...

是“至少共有一个 V-小集合”的所有极小柯西滤子的对 (F,G) 的集合。集合 C(V) 可以被证实形成了基础周围系统；如此就定义了配备了这个一致结构的 Y。 集合 i(X) 因此是 Y 的稠密子集。如果 X 是豪斯多夫空间，则 i 是到 i(X) 的同构，因此 X 可用它的完全的稠密子集来识别。此外，i(X)...

分离公理中，“豪斯多夫条件”是最常使用和讨论的。它蕴涵了序列、网和滤子的极限的唯一性。直观地讲，这个条件可用个双关语来形容：如果某空间中任两点可用开集合将彼此“豪斯多夫”开来，该空间就是“豪斯多夫”的。 豪斯多夫得名于拓扑学的创立者之一费利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫最初的拓扑空间定义把豪斯多夫条件包括为公理。...

稠密子空间（而不是整个空间）的集合。 注意，在没有定义内积的空间中，“正交基”一词是没有意义的。因此，一个具有正交基的巴拿赫空间，就是一个希尔伯特空间。 在欧几里德空间 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 中，集合：{e1=(1,0,0)...

{\hat {G}}} 的无穷远处为0。 定理的证明大致是基于一类基本或初等的函数在可积函数集合 L 1 ( R ) {\displaystyle {\mathsf {L}}^{1}(\mathbb {R} )} 中的稠密性。这些函数都是能够简单的推出定理的成立，例如阶梯函数或足够光滑的函数（如 C 1 {\displaystyle...

\varnothing } 更甚者，R 在 X 中稠密。原因是，R 在 X 中的補集是 ∪Xn, 故為閉集 Xn 的可數並。按照定理的證明過程，每個 Xn 都无处稠密，故 ∪Xn 為第一綱集。所以 R 是貝爾空間中一個第一綱集的補集。根據貝爾空間的定義，這樣的集（稱為剩餘集）是稠密的。如此推理可得奇點凝聚原理，即：...

{\displaystyle C([a,b])} 中稠密（關於一致範數（英语：uniform norm）拓撲）。此為斯通-魏爾施特拉斯定理的推廣。 未解決的數學問題：若正整數集不含任意有限長的等差數列，則其倒數和是否必收斂？ 艾狄胥提出一個著名問題，問不含任意長度等差数列的集合，是否必為小集。他為此懸賞3000美元，高於自己其他猜想（英语：Erdős...

{\displaystyle \left[0,1\right]} 是一個緊緻豪斯多夫空間，因此是個可分空間並滿足可數鏈條件。這集合沒有孤立點，因此其中的點是無處稠密的；但這集合是 2 ℵ 0 = c {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}} 這麼多的點的聯集。（也可參見下述的與...

在集合論中，連續統是一個擁有多於一個元素的線性序集，而且其序滿足如下性質： 稠密：在任意兩個元素之間存在第三個元素 無洞：有上界的非空子集一定有上確界 實數集即為連續統的例子；實際上它是連續統的原型。以下是連續統的幾個例子： 序結構與實數集同構（序同構）的集合，例如實數集裡的任何開區間...

集合一樣具有相同的基數，而有理數的集合是密集而且可數的。他還表明了線性稠密可數的、而沒有終點的序，和有理數集合是同構的。康托爾介紹了集合論的基本結構，如 A {\displaystyle A} 集合的冪集，是對於 A {\displaystyle A} 集合其中所有元素，各種組合而構成的一個子集。他後來證明了即使...

U(s)} 内。 有了这些集合以后，我们便定义 f ( x ) = inf x ∈ U ( r ) r {\displaystyle f(x)=\inf _{x\in U(r)}r} 对于所有 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 。利用二进有理数是稠密的事实，便不难证明 f {\displaystyle...

在数学中，史密斯-沃尔泰拉-康托尔集（SVC），胖康托尔集，或ε-康托尔集是实直线 ℝ 上的无处稠密点集（不包含任何区间），同时具有非零测度。史密斯-沃尔泰拉-康托尔集得名于数学家亨利·史密斯，维多·沃尔泰拉和乔治·康托尔。它同胚于康托尔三分点集，也是一个分形。 类似于康托尔集，史密斯-沃尔泰拉-康托尔集也是通过从单位区间...

集合的可数无限搜集，它的成员我们称为“内在集合”，而由内在数和内在集合组成的这个论域满足实数和实数集合所满足的所有一阶句子。特别是，它有效的满足一种最小上界公理： 有“内在”上界的所有非空“内在”集合都有最小“内在”上界。 所有内在数的集合的可数性（联合上这些形成稠密的有序集合...