在数学的一个抽象分支范畴论中，范畴的等价（equivalence of categories）是两个范畴间的一个关系，在这种关系之下的范畴是“本质上一样的”。从数学的许多地方都有范畴等价的例子。建立一个等价涉及展示所考虑的数学结构间很强的相似性。在许多情形，这些结构表面或直觉上看并无关联，这样就使这...

的概念：范畴性“极限”和其“上极限”。 人们很自然地要问，在什么样的情形下，两个范畴“在本质上是相同”的，换一句话来说，对其中一个范畴成立的定理，可以既定地转换成另一个范畴的定理。用来描述这种情形的主要方法是“范畴的等价性”，由函子给出。范畴的等价性在数学中有很多的应用。 范畴和函子的定义只是范畴...

在数学、尤其是同伦论中，模型范畴是带有弱等价、纤维化和上纤维化这三类态射的范畴，是从传统的拓扑空间或链复形的同倫範疇（即导出范畴）中抽象化得来。模型范畴的概念最初由丹尼尔·奎伦引入。 近年来，模型范畴的语言应用到了代数K理论和代数几何的部分研究中。在这些分支中，使用同伦论的研究方法得出过深刻的结果。 模型范畴...

上定義一个等价关系（用 ∼ {\displaystyle \sim } 來表示），则 X {\displaystyle X} 中的某個元素 a {\displaystyle a} 的等价类就是在 X {\displaystyle X} 中等价于 a {\displaystyle a} 的所有元素所形成的子集:...

在范畴论中，范畴这一概念代表一些数学对象及这些对象间的一些关系，以及这些关系之间的关系。利用范畴可以公式化抽象结构并保留结构上的关系，如运算。范畴几乎可以出现于现代数学的任意分支，同时也统合了这些分支的底层理念。对范畴本身的研究就称作范畴论。 一个范畴 C {\displaystyle {\mathcal...

的 R-模结构，其模作用定义为环中的乘法，所以通过模的进路更一般，能给出有用的信息。因此，我们经常通过研究环上的模范畴来研究环。 森田等价便采取这种观点，自然地定义环等价如果它们的模范畴是等价的。 两个环 R 与 S 称为森田等价如果 R 上的（左）模范畴 RM 与 S 上的（左）模范畴 SM...

在哲学中，范畴（希臘語：κατηγορια）概念被用于对所有存在的最广义的分类。比如说时间，空间，数量，质量，关系等都是范畴。在分类学中，范畴是最高层次的类的统称。它既不同于学术界对于学问按照学科的分门别类，又有别于百科全书式的以自然和人类为中心的对知识的分类，范畴论是着眼于存在的本质区别的...

在逻辑中，陈述p和q是逻辑等价的，如果它们有相同的逻辑内容。 p和q是语法等价的，如果每个都可以证明自另一个。p和q是语义等价的，如果它们在所有模型中有相同的真值。 逻辑等价经常混淆于实质等价。前者是在元语言中的一个陈述，断言关于目标语言中的陈述p和q的某个事情。而p和q的实质等价（常写为"p ↔...

广义的语法范畴还包括以下三种范畴： 词类，即按照语义、形态、句法等特征分类的词范畴，如名词、动词等； 句法范畴，即按照词类及其特征分类的句子成分范畴，是中心语词类在句法的扩展，如名词短语、动词短语等； 句法成分，即按语法功能（语法关系）分类的句子成分范畴，如主语、谓语、宾语等。 各种语言的语法范畴不大相同，常见的语法范畴及其语法意义有：...

导出范畴是同调代数中的一种构造。导出范畴的概念推广并深化了传统同调代数中导出函子的理论。这一构造是格罗滕迪克在20世纪60年代初提出的，他的学生让-路易·韦迪耶在其指导下发展了相关理论。今天，导出范畴被广泛应用于代数几何和D-模理论。 构造导出范畴的直接动机，是给出导出函子的一种新的定义。 导出函子的...

范畴其实就是幺半范畴，所以双范畴也可以说是“有许多物件的幺半范畴”。弱3-范畴也称作三范畴，再往上泛化，定义会越来越难明确。高阶范畴互相等价的条件与意义，已经成为范畴论中新的研究对象。 准范畴是满足弱Kan条件的单纯集合。André Joyal指出它们是高阶范畴论的...

的同伦论。进一步，集合实现与奇异函子给出闭模型范畴之间的一个奎伦等价，这包含了单纯集合的同伦论与 CW 复形的通常同伦论之间的等价： |•|: Ho(S) ↔ Ho(Top) : S. 范畴 C 中的一个单纯对象 X 是一个反变函子 X: Δ → C 或等价地共变函子： X: Δop...

張量範疇（tensor category），或曰幺半範疇（monoidal category）， 直覺地講，是個配上張量積的阿貝爾範疇（abelian category），可當作環的範疇化。 數學中，一個張量範疇（tensor category，或稱幺半範疇 monoidal...

-模。阿林金与盖茨哥利根据他们的构造提出了范畴化几何朗兰兹纲领，将伽罗华表示与自守形式之间的关系解释为两个无穷范畴的等价关系。卡普斯汀与爱德华·威滕将黎曼曲面上的几何朗兰兹纲领解释为量子场论的S-对偶性。 根据安德烈·韦伊的想法，数域与黎曼曲面的函数域之间有密切的关系，而定义于有限域 F q {\displaystyle...

的。 等变映射可以直截了当地推广到任意范畴。任何群 G 可以视为一个具有一个对象的范畴（这个范畴中的态射就是 G 的元素）。给定任意范畴 C，在这个范畴 C 中 G 的一个表示是从 G 到 C 的一个函子。这样一个函子选出 C 的一个对象和这个对象的自同构的一个子群。例如，一个 G-几何等价于从...

在數學中，一個範疇C的子範疇是一個範疇S，其物件為C內的物件，態射為C內的態射，且有相同的單位態射與態射複合。直觀上來看，C的子範疇是一個從C中「移去」部份物件和態射的範疇。 令C為一範疇。C的子範疇S給定於 C中物件的子類，標記為ob(S)， C中態射的子類，標記為hom(S)。使得 對每個在ob(S)內的...

命名的。这样的一种语法就等同于将生成规则整合在词汇中的短语结构语法。AB语法和上下文无关文法的等价性由Bra-Hillel等人（1960）证明，这种范畴语法的形式化因为只包含两条函项应用规则，因此具有一定的局限性。 α : X / Y β : Y / Z α β : X / Z B > {\displaystyle...

{\displaystyle G_{1}} 是所有态射的集合，两个箭头 G 1 → G 0 {\displaystyle G_{1}\to G_{0}} 代表源和目标。 更一般地，可以考虑任意范畴中的广群对象，其允许有限的纤维积。 代数定义与范畴论定义等价，下面证明。给定范畴论定义广群，令G为所有集合 G ( x...

中，以此來做為一具體範疇。 3.物件為集合且態射為關係的範疇Rel第一眼看起來會是可具體的。然而，其會等價於一個物件為完全格且態射為上確界保持映射的範疇Sup。後者是具體的，所以可將Rel置於Rel → Sup → Set中。若這樣做的話，則Rel的物件（即集合）的「源集合」不會是它本身，而是它的冪集。在此意思之下，關係...

(∞, 1)-范畴是∞-范畴，但不一定是准范畴。其中n-态射（n>1）都等价。有西格尔范畴、简单增广范畴、拓扑范畴、完全西格尔空间等几类。准范畴也是(∞, 1)-范畴。 模型结构 sSet-范畴上有模型范畴，提出了(∞,1)-范畴(∞,1)Cat。 同伦Kan扩展 同伦Kan扩展的...

数学裡，单纯范畴（simplicial category）或序数范畴（ordinal category）是范畴论中用来定义单纯与余单纯对象的一个构造。 单纯范畴通常记作 Δ {\displaystyle \Delta } ，有时也写成 Ord。这个范畴有多个等价的描述。 Δ {\displaystyle...

等价： (A, φ)为从X到U的泛态射 (A, φ)为逗号范畴(X ↓ U)的始对象 (A, φ)为HomC(X, U—)的表示。 其对偶语句也同样等价： (A, φ)为从U到X的泛态射 (A, φ)为逗号范畴(U ↓ X)的终对象 (A, φ)为HomC(U—, X)的表示。 设(A1...

同调镜像对称是马克西姆·孔采维奇提出的数学猜想，为研究弦理论的物理学家首次观察到的镜像对称现象寻求一种系统的数学解释。 Kontsevich (1994)在苏黎世国际数学家大会上发言，推测一对卡拉比-丘流形X、Y的镜像对称可以解释为由X的代数几何构造的三角范畴（X上凝聚层的导出范畴）和由Y的辛几何构造得三角范畴（导出深谷范畴）的等价性。...

\mathbb {Q} } 都不等势（无理数比有理数“个数多”）。 两个有限集是等势的，当且仅当它们的元素个数相等。 等勢可構成一個等价关系。 在集合范畴中，带有函数作为态射的所有集合的范畴，在两个集合之间的同构正好是一个双射，而两个集合正好是等势的，如果它们在这个范畴中是同构的。 集合范畴 基数 (数学) 双射...

为基点的环路的同伦类上的一个群结构，所得的群称为 X 在以 x0 为基点的基本群，通常记作 π1(X,x0)，这个群一般不可交换。 有一个有时很有用的范畴描述。任何拓扑空间 X 给出了一个范畴其对象是 X 中的点，态射是道路的同伦类。因为这个范畴中任意态射是同构态射，故这个范畴是一个群胚，称为 X 的基本群胚。这个范畴中的环路是自同态（事实上所有都是自同构）。点...

也會是一個開集。 以上的性質促使人們在不依託度量情況下，去定義一個描述「一點的附近」的結構，換句話說，去抽象的定義一群開集是這麼樣的特殊集合，任二開集的交集是開的且任意開集的聯集也是開的。 拓扑结构一词涵盖了开集系，闭集系，邻域系，开核，閉包，导集，滤子等若干概念。可以从这些概念出发，给出若干种等价結構，但大部分書籍都以開集系為準。...

微分叠'是代数几何中的代数叠在微分几何中的类似物，可描述为微分流形上的叠，也可描述为森田等价下的李群胚。 微分叠很适合处理有奇点的空间（如轨形、叶空间、商），它们自然出现在微分几何中，且不是可微流形。例如，微分叠在叶状结构、泊松流形和扭K理论中都有应用。 回想在广群中纤维化的范畴（或称广群纤维化），包含范畴 C {\displaystyle...

等价的。 假设 X 和 Y 是集合。如果记它们的交为 Z，则由包含给出态射 f : Z → X 与 g : Z → Y 。f 与 g 的推出是 X 与 Y 的并集附加从X 和 Y的包含态射。 黏着空间的构造是拓扑空间范畴中的推出。更准确地说，如果 Z 是 Y 的子空间且 g : Z...

的这两个李无穷代数实际上是同伦等价的，对于交换代数也是如此。因此我们可以说，李代数和交换代数是相互科祖对偶的。这个结论实际上是奎伦在有理同伦论中发现的，他还证明，在有理系数下，这两个代数组成的范畴都和拓扑中的有理同伦型（rational homotopy type）组成的范畴是等价的（有一些单连通性条件）。后来...

的对象的属性或操作的具体定义，单从结构上讲，同构的对象是完全等价的，也就是说，如果我们定义一个关系∼ ，使得只要V和W同构，那么 V ∼ W ,可知 ∼ 是一个等价关系。 自同构(automorphism )是一个结构到其自身的同构。当两个结构之间的同构是唯一的（例如满足某种泛性质的解的...

图论中的图子式关系（羅伯遜-西摩定理（英语：Robertson–Seymour theorem）） 多種經濟學模型的偏好。 二元关系 偏序关系 全序关系 等价关系 有向集合 预序范畴 良擬序——一種預序，其中無窮序列必有先後兩項遞增 Schröder, Bernd S. W., Ordered Sets: An Introduction...