在数学的一个抽象分支范畴论中，范畴的等价（equivalence of categories）是两个范畴间的一个关系，在这种关系之下的范畴是“本质上一样的”。从数学的许多地方都有范畴等价的例子。建立一个等价涉及展示所考虑的数学结构间很强的相似性。在许多情形，这些结构表面或直觉上看并无关联，这样就使这...

的概念：范畴性“极限”和其“上极限”。 人们很自然地要问，在什么样的情形下，两个范畴“在本质上是相同”的，换一句话来说，对其中一个范畴成立的定理，可以既定地转换成另一个范畴的定理。用来描述这种情形的主要方法是“范畴的等价性”，由函子给出。范畴的等价性在数学中有很多的应用。 范畴和函子的定义只是范畴...

上定義一个等价关系（用 ∼ {\displaystyle \sim } 來表示），则 X {\displaystyle X} 中的某個元素 a {\displaystyle a} 的等价类就是在 X {\displaystyle X} 中等价于 a {\displaystyle a} 的所有元素所形成的子集:...

{\displaystyle G_{1}} 是所有态射的集合，两个箭头 G 1 → G 0 {\displaystyle G_{1}\to G_{0}} 代表源和目标。 更一般地，可以考虑任意范畴中的广群对象，其允许有限的纤维积。 代数定义与范畴论定义等价，下面证明。给定范畴论定义广群，令G为所有集合 G ( x...

的。 等变映射可以直截了当地推广到任意范畴。任何群 G 可以视为一个具有一个对象的范畴（这个范畴中的态射就是 G 的元素）。给定任意范畴 C，在这个范畴 C 中 G 的一个表示是从 G 到 C 的一个函子。这样一个函子选出 C 的一个对象和这个对象的自同构的一个子群。例如，一个 G-几何等价于从...

-模。阿林金与盖茨哥利根据他们的构造提出了范畴化几何朗兰兹纲领，将伽罗华表示与自守形式之间的关系解释为两个无穷范畴的等价关系。卡普斯汀与爱德华·威滕将黎曼曲面上的几何朗兰兹纲领解释为量子场论的S-对偶性。 根据安德烈·韦伊的想法，数域与黎曼曲面的函数域之间有密切的关系，而定义于有限域 F q {\displaystyle...

\mathbb {Q} } 都不等势（无理数比有理数“个数多”）。 两个有限集是等势的，当且仅当它们的元素个数相等。 等勢可構成一個等价关系。 在集合范畴中，带有函数作为态射的所有集合的范畴，在两个集合之间的同构正好是一个双射，而两个集合正好是等势的，如果它们在这个范畴中是同构的。 集合范畴 基数 (数学) 双射...

在数学、尤其是同伦论中，模型范畴是带有弱等价、纤维化和上纤维化这三类态射的范畴，是从传统的拓扑空间或链复形的同倫範疇（即导出范畴）中抽象化得来。模型范畴的概念最初由丹尼尔·奎伦引入。 近年来，模型范畴的语言应用到了代数K理论和代数几何的部分研究中。在这些分支中，使用同伦论的研究方法得出过深刻的结果。 模型范畴...

命名的。这样的一种语法就等同于将生成规则整合在词汇中的短语结构语法。AB语法和上下文无关文法的等价性由Bra-Hillel等人（1960）证明，这种范畴语法的形式化因为只包含两条函项应用规则，因此具有一定的局限性。 α : X / Y β : Y / Z α β : X / Z B > {\displaystyle...

的 R-模结构，其模作用定义为环中的乘法，所以通过模的进路更一般，能给出有用的信息。因此，我们经常通过研究环上的模范畴来研究环。 森田等价便采取这种观点，自然地定义环等价如果它们的模范畴是等价的。 两个环 R 与 S 称为森田等价如果 R 上的（左）模范畴 RM 与 S 上的（左）模范畴 SM...

的。这个词以引入图灵机概念的数学家艾伦·图灵命名。 还有一个相关概念是图灵等价 – 如果P可以模拟Q并且Q可以模拟P，则两台计算机P和Q称为等效计算机。 邱奇－图灵论题认为任何可以通过算法计算其值的函数都可以由图灵机计算，因此，如果任何真实世界的计算机都可以模拟图灵机，则其对图灵机是图灵等价的。...

的这两个李无穷代数实际上是同伦等价的，对于交换代数也是如此。因此我们可以说，李代数和交换代数是相互科祖对偶的。这个结论实际上是奎伦在有理同伦论中发现的，他还证明，在有理系数下，这两个代数组成的范畴都和拓扑中的有理同伦型（rational homotopy type）组成的范畴是等价的（有一些单连通性条件）。后来...

拓扑空间范畴的纤维化可放入更一般的框架中，所谓闭模型范畴。在这样的范畴中，有一些特殊的态射，所谓的“纤维化”、上纤维化与弱等价。某些公理，比如纤维化在复合与拉回下的稳定性，任何映射可分解为一个非周期上纤维化与一个纤维化或一个上纤维化与一个非周期纤维化的复合，这里词“非周期”表示相应的箭头不是一个弱等价...

在范畴论中，范畴这一概念代表一些数学对象及这些对象间的一些关系，以及这些关系之间的关系。利用范畴可以公式化抽象结构并保留结构上的关系，如运算。范畴几乎可以出现于现代数学的任意分支，同时也统合了这些分支的底层理念。对范畴本身的研究就称作范畴论。 一个范畴 C {\displaystyle {\mathcal...

为基点的环路的同伦类上的一个群结构，所得的群称为 X 在以 x0 为基点的基本群，通常记作 π1(X,x0)，这个群一般不可交换。 有一个有时很有用的范畴描述。任何拓扑空间 X 给出了一个范畴其对象是 X 中的点，态射是道路的同伦类。因为这个范畴中任意态射是同构态射，故这个范畴是一个群胚，称为 X 的基本群胚。这个范畴中的环路是自同态（事实上所有都是自同构）。点...

的对象的属性或操作的具体定义，单从结构上讲，同构的对象是完全等价的，也就是说，如果我们定义一个关系∼ ，使得只要V和W同构，那么 V ∼ W ,可知 ∼ 是一个等价关系。 自同构(automorphism )是一个结构到其自身的同构。当两个结构之间的同构是唯一的（例如满足某种泛性质的解的...

成立，则f称为一个同构。g称为f的逆态射，逆态射g如果存在就是唯一的，而且显而易见g也是一个同构，其逆为f。两个对象之间有一个同构，那么这两个对象称为同构的或者等价的。同构是范畴论中态射的最重要种类。 满同态（英语：epimorphism）（epimorphism）：令态射f : X → Y，如果对于所有Y → Z的态射g1，g2有...

广义的语法范畴还包括以下三种范畴： 词类，即按照语义、形态、句法等特征分类的词范畴，如名词、动词等； 句法范畴，即按照词类及其特征分类的句子成分范畴，是中心语词类在句法的扩展，如名词短语、动词短语等； 句法成分，即按语法功能（语法关系）分类的句子成分范畴，如主语、谓语、宾语等。 各种语言的语法范畴不大相同，常见的语法范畴及其语法意义有：...

的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构；也就是说，它们是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。如果两个空间之间存在同胚，那么这两个空间就称为同胚的，从拓扑学的观点来看，两个空间是相同的。 拓扑空间是一个几何物体，同胚就是把物体连续延展和弯曲，使其成为一个新的物体。因此，正方形和圆是同胚的...

{\displaystyle G} 的左伴隨，則複合 G ∘ F {\displaystyle G\circ F} 是單子。若 F {\displaystyle F} 與 G {\displaystyle G} 互為逆函子，則對應的單子是恆等函子。一般而言，伴隨關係並不等同范畴的等价，而可以聯繫不同性質的範疇...

(∞, 1)-范畴是∞-范畴，但不一定是准范畴。其中n-态射（n>1）都等价。有西格尔范畴、简单增广范畴、拓扑范畴、完全西格尔空间等几类。准范畴也是(∞, 1)-范畴。 模型结构 sSet-范畴上有模型范畴，提出了(∞,1)-范畴(∞,1)Cat。 同伦Kan扩展 同伦Kan扩展的...

2维TQFT的范畴与交换弗罗贝尼乌斯代数的范畴等价。 要同时考虑所有时空，我们必须将hBordM 替换成一个更大的范畴。因此设Bordn 为协边的范畴：态射为n 维带边流形，对象为n 维流形的边界的连通单元。（注意到所有(n−1)维流形都可以是Bordn 的对象。）与上节相仿，若两态射同伦等价，则视其为等价态射，并得到商范畴 hBordn...

在逻辑中，陈述p和q是逻辑等价的，如果它们有相同的逻辑内容。 p和q是语法等价的，如果每个都可以证明自另一个。p和q是语义等价的，如果它们在所有模型中有相同的真值。 逻辑等价经常混淆于实质等价。前者是在元语言中的一个陈述，断言关于目标语言中的陈述p和q的某个事情。而p和q的实质等价（常写为"p ↔...

微分叠'是代数几何中的代数叠在微分几何中的类似物，可描述为微分流形上的叠，也可描述为森田等价下的李群胚。 微分叠很适合处理有奇点的空间（如轨形、叶空间、商），它们自然出现在微分几何中，且不是可微流形。例如，微分叠在叶状结构、泊松流形和扭K理论中都有应用。 回想在广群中纤维化的范畴（或称广群纤维化），包含范畴 C {\displaystyle...

同调镜像对称是马克西姆·孔采维奇提出的数学猜想，为研究弦理论的物理学家首次观察到的镜像对称现象寻求一种系统的数学解释。 Kontsevich (1994)在苏黎世国际数学家大会上发言，推测一对卡拉比-丘流形X、Y的镜像对称可以解释为由X的代数几何构造的三角范畴（X上凝聚层的导出范畴）和由Y的辛几何构造得三角范畴（导出深谷范畴）的等价性。...

{\displaystyle B(H)} 的等距嵌入一同给出”。算子空间之间的适当态射是完备有界映射。 等价地，算子空间是C*-代数的子空间。 算子空间范畴包含算子系统与算子代数。对于算子系统，除了算子空间的诱导矩阵范数之外，还有诱导矩阵阶。对于算子代数，还有额外的环结构。 Paulsen, Vern....

在哲学中，范畴（希臘語：κατηγορια）概念被用于对所有存在的最广义的分类。比如说时间，空间，数量，质量，关系等都是范畴。在分类学中，范畴是最高层次的类的统称。它既不同于学术界对于学问按照学科的分门别类，又有别于百科全书式的以自然和人类为中心的对知识的分类，范畴论是着眼于存在的本质区别的...

）种不同的解，不考虑皇后间的不同排列组合（所对应的等价关系）。也就是说，我们将单个皇后的位置不同，但所有皇后所占棋盘位置集相同的解等价起来，并只考虑不同的等价类。 在上述解中，如果同时将可由棋盘旋转、翻转来互相转换的解等价起来，则只剩下12个不同的解（等价类）。 群论中，称G集中同一轨道上的元素up to群作用等价。 群论中，up...

价类组成）上定义一个拓扑使得：X/~中一个等价集合是开集当且仅当他们的并集在X中是开集。所得的拓扑称为在商集合X/~上的商拓扑（quotient topology）。 商拓扑可以由如下方式等價地定義：设q : X → X/~是将X的任何元素映为它的等价类的投影映射（ x ↦ [ x ] {\displaystyle...

等价： (A, φ)为从X到U的泛态射 (A, φ)为逗号范畴(X ↓ U)的始对象 (A, φ)为HomC(X, U—)的表示。 其对偶语句也同样等价： (A, φ)为从U到X的泛态射 (A, φ)为逗号范畴(U ↓ X)的终对象 (A, φ)为HomC(U—, X)的表示。 设(A1...

数学裡，单纯范畴（simplicial category）或序数范畴（ordinal category）是范畴论中用来定义单纯与余单纯对象的一个构造。 单纯范畴通常记作 Δ {\displaystyle \Delta } ，有时也写成 Ord。这个范畴有多个等价的描述。 Δ {\displaystyle...