[}x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}{\big ]}} 。 行向量的轉置是一個列向量，反之亦然。 所有的行向量的集合形成一个向量空間，它是所有列向量集合的對偶空間。 為簡化書寫、方便排版起見，有時會以加上轉置符號T的行向量表示列向量。 x = [ x 1 , x 2 , … , x m ] T {\displaystyle...

在另一些时候，由于向量的共性都具有大小和方向，会认为向量的起点和终点并不那么重要。两个起点不一样的向量，只要大小相等，方向相同，就可以称为是同一个向量。这样的向量被称为自由向量。在数学中，一般只研究自由向量，并且数学中所指的向量就是指自由向量。也就是只要大小以及方向一樣，即可視為同一向量，與向量...

行空间C(AT)中的所有向量均为矩阵A的行向量的某种线性组合，都为Rn上的向量（即n维向量）。 C(AT)的维度等于矩阵A的行秩，最大为min(m,n)。即： dim C(AT) = dim R(A) = rank(AT) ≤ min(m,n) 行空间C(AT)的一组自然基底是矩阵A的行向量的最大线性无关组。 列空间的定义非常类似于行空间。...

向量空間是一群可縮放和相加的數學實體（如實數甚至是函数）所構成的特殊集合，其特殊之處在於縮放和相加後仍屬於這個集合。這些數學實體被稱為向量，而向量空間正是線性代數的主要研究对象。 給定域 ( K , + , × ) {\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)}...

在数学上，特别是线性代数中，对于一个给定的方阵 A {\displaystyle A} ，它的特征向量（eigenvector，也譯固有向量、本征向量） v {\displaystyle v} 经过这个线性变换之后，得到的新向量仍然与原来的 v {\displaystyle v} 保持在同一條直線上，但其长度或方向也许會改变。即...

與 b 為向量，它們的外積 a ∧ b 即為一個二重向量，代表由 a 與 b 圍成的平行四邊形面積，其方向為 a 到 b 的時針方向。所以，外積是反對稱的，a ∧ b 的方向恰與 b ∧ a 相反。另外，a ∧ a 是一個「零二重向量」。 有時候，三維的二重向量被拿來當作一種偽向量。 二重向量与二维的复数以及三维的伪向量和四元数相关。...

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 表示；而其大小則用 r {\displaystyle r\,\!} 來表示。 在經典力學裏，拉普拉斯-龍格-冷次向量（Laplace–Runge–Lenz...

a_{2},...,a_{r}\in S} ，且r個向量為向量組 S {\displaystyle S} 的最大線性無關組，則此最大線性無關組的向量個數r，即為向量組 S {\displaystyle S} 的秩. 假设矩阵A的列秩为r，记矩阵A的列向量为 c 1 , c 2 , ⋯ , c n {\displaystyle...

在线性代数中，一个矩阵 A {\displaystyle A} 的列秩是列向量生成的最大线性无关组的向量个数。类似地，行秩是矩阵 A {\displaystyle A} 的线性无关的横行的个数。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A {\displaystyle A} 的秩（Rank）。通常表示为...

在数学和向量代数领域，外積（英語：external product）又称叉积（cross product）、叉乘、向量积（vector product），是对三维空间中的两个向量的二元运算，使用符号 × {\displaystyle \times } 。与点积不同，它的运算结果是向量。对于线性无关的两个向量...

在线性代数中，基（英語：basis，又稱基底）是向量空间裡某一群特殊的向量（称为基向量），使得向量空间中的任意向量，都可以唯一地表示成基向量的线性组合（或線性組合的極限）。 通过基底可以直接地描述向量空间 V {\displaystyle \mathrm {V} } 上定义的线性映射 f {\displaystyle...

向量邏輯是一種建基於矩陣代數的邏輯模型。它假設邏輯真值可成為一種向量，而一元和二元謂詞演算皆以矩陣的算法進行。 向量邏輯是人們在研究人工神經網絡模型所涉及的多維矩陣及向量時受到啟發而發展出來的理論系統。它把邏輯代數以矩陣和向量的形式表示。這種邏輯形式被用來發展一種以複數進行運算的模糊邏輯。另外，以...

这裡， b → T {\displaystyle {\vec {b}}^{T}} 是列向量 b → {\displaystyle {\vec {b}}} 的转置。 使用上面的例子，1×3矩阵（列向量）乘以3×1矩阵（行向量）的行列式就是结果(通过矩阵乘法得到1×1矩陣): [ 1 3 − 5 ] [ 4...

在線性代數中，線性泛函（英語：linear form）是指由向量空間到對應純量域的線性映射。在 ℝn中，向量空間的向量以行向量表示；線性泛函則會以列向量表示，在向量上的作用則為它們的矩陣積。一般地，如果 V {\displaystyle V} 是域 k {\displaystyle k} 上的向量空間，線性泛函 f {\displaystyle...

；即将邻近点连接或等价的一种方法。如果纤维丛是向量丛，则平行移动的概念要求线性。这样的联络等价于一个共变导数，共变导数是一个能对截面关于底流形的切方向求微分的算子。联络在这个意义下，对任意向量丛，推广了光滑流形切丛的线性联络概念，经常叫做线性联络。 向量丛上的联络也经常称为科斯居尔联络，以让-路易·...

在數學裡，任何向量空間V都有其對應的對偶向量空間（或簡稱為對偶空間），由V的線性泛函組成。此對偶空間俱有一般向量空間的結構，像是向量加法及純量乘法。由此定義的對偶空間也可稱之為代數對偶空間。在拓撲向量空間的情況下，由連續的線性泛函組成的對偶空間則稱之為連續對偶空間。 对偶空間是 row vector...

在矩阵论中，正交矩阵（英語：orthogonal matrix），又稱直交矩陣，是一個方块矩阵 Q {\displaystyle Q} ，其元素為实数，而且行向量與列向量皆為正交的单位向量，使得該矩陣的转置矩阵為其逆矩阵： Q T = Q − 1 ⇔ Q T Q = Q Q T = I . {\displaystyle...

对任意b属于Fn，Ax = b有唯一解。 Ax = 0只有平凡解。 ATA可逆。 A与单位矩阵行（列）等价。 A的行向量或列向量張成Fn 。 A的零空间只有零向量。 A的值域為Fn 。 A的行（列）向量构成Fn (Fn)中向量的线性无关集。 这裡，F为矩阵元素所属的域。通常，这个域为实数域或复数域。 存档副本...

}}M^{*}u=\sigma v.\,\!} 其中向量u和v分别为σ的左奇异向量和右奇异向量。 对于任意的奇异值分解 M = U Σ V ∗ {\displaystyle M=U\Sigma V^{*}\,\!} 矩阵Σ的对角线上的元素等于M的奇异值. U和V的列分别是奇异值中的左、右奇异向量。因此，上述定理表明： 一个m×n的矩阵至多有p =...

mn」；但兩岸對此卻以不同的稱呼；在中國大陸，橫向的元素组称為「行」，縱向称為「列」，而在臺灣則相反，橫向称為「列」，縱向称為「行」。 行数是1或列数是1的矩阵又可分别称为行向量和列向量，在有限維的情況下，向量可用其分量表示成行数或列数是1的矩阵。 B = [ i + 2 j ] 2 × 3 {\displaystyle...

A是可逆矩阵，当且仅当A*可逆，且有(A*)−1 = (A−1)* 。 A*的特征值是A的特征值的复共轭。 <Ax,y> = <x, A*y>，其中A为m列n行的矩阵，复向量x为n维行向量，复向量y为m维行向量，<·,·>为复数的内积。 从上面给出的最后一个性质可以推出，如果我们把A视为从希尔伯特空间Cn到Cm的线性变换，则矩阵A...

A 的零化度(nullity)。这可以计算为在矩阵 A 的行阶梯形矩阵中不包含支点的纵列数。秩-零化度定理声称任何矩阵的秩加上它的零化度等于这个矩阵的纵列数。 对应于零奇异值的 A 的右奇异向量形成了 A 的零空间的基。 A 的零空间可以用来找到和表达方程 Ax = b 的所有解(完全解)。如果...

product），在线性代数中一般指两个向量的张量積，其結果為一矩陣；與外积相對，兩向量的內積結果為純量。 外積也可視作是矩陣的克羅內克積的一種特例。注意到：一些作者將「張量的外積」作為張量積的同義詞。 向量的外积是矩阵的克罗内克积的特殊情况。 给定 m × 1 {\displaystyle m\times 1} 列向量 u {\displaystyle...

的方式，把矩阵记法的效用发挥到最大。接下来我们用不同字体来区分标量、向量和矩阵。我们使用M(n,m)来表示包含n行m列的n×m实矩阵的空间。该空间中的一般矩阵用粗体大写字母表示，例如A，X，Y等。而若该矩阵属于M(n,1)，即列向量，则用粗体小写字母表示，如a，x，y等。特别地，M(1...

在線性代數中，矩陣A的轉置（英語：transpose）是另一个矩陣AT（也寫做Atr, tA, At或A′）由下列等價動作建立： 把A的行寫為AT的列 把A的列寫為AT的行 形式上說，m × n矩陣A的轉置是n × m矩陣 A i j T = A j i {\displaystyle A_{ij}^{\mathrm...

在线性代数和泛函分析中，投影是从向量空间映射到自身的一种线性变换 P {\displaystyle P} ，满足 P 2 = P {\displaystyle P^{2}=P} ,也就是说，当 P {\displaystyle P} 两次作用于某个值，与作用一次得到的结果相同（幂等）。是日常生活中...

{\displaystyle n} 维空间中的向量，这样的向量（即n元组）用来表示数据非常有效。由于作为n元组，向量是 n {\displaystyle n} 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用8维向量来表示8个国家的国民生产总值（GNP）。当...

decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。 N 维非零向量 v 是 N×N 的矩阵 A 的特征向量，当且仅当下式成立： A v = λ v {\displaystyle \mathbf...

\left({}^{t}{M}\right)} ， 也就是说矩阵的行列式既可以看作 n {\displaystyle n} 个行向量的行列式，也可以看作 n {\displaystyle n} 个列向量的行列式。因此也可以通过行向量组来定义矩阵行列式，并且得到的定义是等价的。 证明： 矩阵 A {\displaystyle A}...

个向量来描述每个观察值，L < M。进一步假设，该数据被整理成一组具有N个向量的数据集，其中每个向量都代表M 个变量的单一观察数据。 x 1 … x N {\displaystyle \mathbf {x} _{1}\ldots \mathbf {x} _{N}} 为列向量，其中每个列向量有M 行。...

在向量分析中，旋度（英語：curl）是一个向量算子，表示在三维欧几里德空间中的向量场的无穷小量旋转。在向量场每个点上，点的旋度表示为一个向量，称为旋度向量。这个向量的特性（长度和方向）刻画了在这个点上的旋转。 旋度的方向是旋转的轴，它由右手定则来确定，而旋度的大小是旋转的量。如果向量...