斯通-魏尔施特拉斯逼近定理（Stone–Weierstrass theorem）有两个： 闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近。 闭区间上周期为 2 π {\displaystyle 2\pi } 的连续函数可用三角函数级数一致逼近。 第一逼近定理可以推广至 R n {\displaystyle...

Functionen (1856) 发音：[ˈvaɪ̯ɐʃtʁaːs]，姓氏可寫作Weierstrass 魏尔施特拉斯逼近定理 魏尔施特拉斯函數（處處連續，但處處不可微之函數。可說是最早的碎形之一。） 魏尔施特拉斯判别法 魏尔施特拉斯分解定理 魏尔施特拉斯椭圆函数 （一类椭圆函数） 魏尔施特拉斯代换...

A {\displaystyle A} 内一致收敛（常规意义下，以一致收敛的柯西逼近形式證明）。 如果函数 { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} 的陪域是任何一个巴拿赫空间，则魏尔施特拉斯判别法的一个更一般的形式仍然成立，但要把 | f n | ≤ M n {\displaystyle...

(a,b)} 使得 f ( c ) = u {\displaystyle f(c)=u} 。 介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明，在這個證明中，他附帶證明了波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理。 設 I = [ a , b ] {\displaystyle I=[a,b]} ，其中 a <...

伯特兰-切比雪夫定理 贝亚蒂定理 贝叶斯定理 博特周期性定理 闭图像定理 伯恩斯坦定理 不动点定理 布列安桑定理 布朗定理 贝祖定理 博苏克-乌拉姆定理 巴拿赫不动点定理 布尔素理想定理 贝尔纲定理 布劳威尔不动点定理 本迪克森-杜拉克定理 本原元定理 垂径定理 陈氏定理 采样定理 迪尼定理 等周定理 代数基本定理...

斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem），也被称作广义斯托克斯定理、斯托克斯–嘉当定理（Stokes–Cartan theorem）、旋度定理（Curl Theorem）、开尔文-斯托克斯定理（Kelvin-Stokes theorem），是微分几何中关于微分形式的积分的定理...

另外一个方法是使用拉格朗日型的插值多项式，得到的结果公式马上就表明在满足上面定理所定义条件下存在插值多项式。 伯恩斯坦形式最初是謝爾蓋·納塔諾維奇·伯恩施坦在魏尔施特拉斯逼近定理的建设性证明中所用的形式，如今它在计算机图形学的贝塞尔曲线中得到了非常重要的应用。 用 n 阶多项式在节点 x0、...、xn 对函数 f 插值的误差为：...

古爾丁定理（英語：Guldinus theorem），最初由古希臘的帕普斯發現，後來在16世紀保羅·古爾丁（英语：Paul Guldin）又重新發現了這個定理。 有一條平面曲線，跟它的同一個平面上有一條軸。由該平面曲線以該條軸與旋轉而產生的旋轉曲面的表面積 A {\displaystyle A} ，等於曲線的長度...

中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。 微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，内容粗略的说是指平面上一段固定端點的可微曲线，兩端點之中必然有一点，它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同（严格的数学表达参见下文）。 當提到均值定理時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理。 如果函数...

以法国数学家米歇尔·罗尔命名的罗尔中值定理（英語：Rolle's theorem）是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，叙述如下：如果函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 满足 在闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上连续；...

斯托尔兹－切萨罗定理（英語：Stolz–Cesàro theorem）是数学分析学中的一個用于證明數列收歛的定理。该定理以奥地利人奥托·施托尔茨（英语：Otto Stolz）和意大利人恩纳斯托·切萨罗命名。 令 ( a n ) n ≥ 1 {\displaystyle (a_{n})_{n\geq...

高斯公式（Gauss's law），又称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem）、散度定理（Divergence Theorem）、高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过闭合...

夾擠定理（英語：Squeeze theorem），又稱夹逼定理、夹极限定理、三明治定理、逼近定理、迫敛定理，是有關函數的極限的数学定理。指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，则第三個函數在該點的極限也相同。 設 I {\displaystyle I} 為包含某點 a...

定理的第二部分，称为微积分第二基本定理或牛顿-莱布尼茨公式，表明某函數的定积分可以用該函數的任意一個反導函數来计算。这一部分是微積分或數學分析中相當關鍵且應用很廣的一個定理，因为它大大简化了定积分的计算。 该定理的一个特殊形式，首先由詹姆斯·格里高利（1638-1675）证明和出版。定理的一般形式，则由艾萨克·巴罗完成证明。...

生成的酉群对应于系统的时间演化。 我们还可以使用博雷尔函数演算来抽象地解决一些线性初值问题，例如热方程或麦克斯韦方程组。 具有上述函数演算性质的映射的存在性需要证明。对于有界自伴算子 T {\displaystyle T} ，博雷尔函数演算的存在性可以用初等的方式叙述如下： 首先利用魏尔施特拉斯逼近定理...

圓周率π 化圓為方 林德曼-魏尔斯特拉斯定理 希尔伯特第七问题 格尔丰德-施奈德定理 埃尔德什-波温常数 刘维尔数 連分數 Khinchin 常数 非普遍连分数 克罗内克定理 圖埃–西格爾–羅特定理 Prouhet-Thue-Morse 常数 格尔丰德-施奈德常数 贝亚蒂定理 李特尔伍德猜想（英语：Littlewood...

\epsilon -\delta } 定义只要把波尔查诺在其证明里的写法中“事先给定的量”用 ϵ {\displaystyle \epsilon } 来代替就可以了。这个现代定义第一次公开发表在刊物上是1874年由魏尔斯特拉斯的一个学生海涅根据魏尔斯特拉斯的讲义写的。 单一连续 一致连续 有界线性算子...

在物理學與數學中，格林定理给出了沿封閉曲線 C 的線積分與以 C 為邊界的平面區域 D 上的雙重積分的联系。格林定理是斯托克斯定理的二維特例，以英國數學家喬治·格林（George Green）命名。 设闭区域 D {\displaystyle D} 由分段光滑的简单曲线  L {\displaystyle...

梯度定理（英語：gradient theorem），也叫线积分基本定理，是说标量场梯度沿曲线的积分可用标量场在该曲线两端的值之差来计算。 设函数 φ : U ⊆ R n → R {\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb...

xx'+yy'=0.\,} 在物理学的应用中，I和J通常不仅是连续的，也是连续可微的。施瓦茨定理（也称为克莱罗定理）提供了势函数存在的一个必要条件。对于定义在单连通集合上的微分方程，这个条件也是充分的，我们便得出以下的定理： 给定以下形式的微分方程： I ( x , y ) d x + J ( x , y...

integration（英语：Shell integration） 托里拆利小號 雅可比矩阵 海森矩阵 曲率 格林公式 高斯散度定理 斯托克斯定理 级数 泰勒级数, 泰勒级数 傅里叶级数 欧拉-麦克劳林求和公式 Adequality（英语：Adequality） 無窮小量 Archimedes' use of...

自從17世紀起，許多數學家都對微分学有所貢獻。在19世紀時，在奧古斯丁·路易·柯西（1789年–1857年）、波恩哈德·黎曼（1826年–1866年）及卡尔·魏尔斯特拉斯（1815年–1897年）等數學家的貢獻下，微分學已更加的嚴謹。微分學也在此一時期擴展到欧几里得空间及复平面。...

雷諾傳輸定理也稱為萊布尼茲-雷諾傳輸定理或雷諾输运定理，是以積分符號內取微分聞名的萊布尼茲積分的三維推廣。 雷諾傳輸定理得名自奧斯鮑恩·雷諾（1842–1912），用來調整積分量的微分，用來推導連續介質力學的基礎方程。 考慮在時變的區域 Ω ( t ) {\displaystyle \Omega (t)}...

( a ) {\displaystyle \sigma (a)} 上的多项式函数演算推广到谱上的连续函数，似乎有一个明显的思路：依照魏尔施特拉斯逼近定理用多项式来逼近连续函数，然后将多项式中的数换成 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中成员 a {\displaystyle...

换元积分法，又稱變數變換法（英語：Integration by substitution），是求积分的一种方法，由链式法则和微积分基本定理推导而来。 设 f ( x )   {\displaystyle f(x)\ } 为可积函数， g = g ( x )   {\displaystyle g=g(x)\...

π 是超越的，因为 eπi 是代数的，因此否定了化圓為方的可能。卡尔·魏尔施特拉斯进一步擴展了他们的工作，并最终在1885年證明了林德曼-魏尔斯特拉斯定理。 1900年，大卫·希尔伯特提出了他著名的問題集。其中的第七个，也是希尔伯特估计最困難的問題中的一个，询问了 a b 形式的数字的超越性，其中...

與 ∇ ⋅ ( ∇ × F ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0} 皆是外微分第三性質—— d 2 = 0 {\displaystyle d^{2}=0\,} 的特例。 外共变导数 格林定理 斯托克斯定理...

\|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|} 是C*-代数。 近似单位 卡普兰斯基猜想 算子代数 希洛夫界 证明：由于交换C*-代数的元素都是正规的，所以盖尔范德表示是等距的；特别是，其是单射，像是闭的。盖尔范德表示的像由魏尔施特拉斯逼近定理是稠密的。 Conway 1990，Example VII.1.8....

^{n}} 中有界，拉普拉斯算子的特征函数时希尔伯特空间 L 2 ( Ω ) {\displaystyle L^{2}(\Omega )} 下的一组标准正交基。这主要是因为紧自伴随算子的谱定理，适用于拉普拉斯的逆算子（根据庞加莱不等式和Rellich-Kondrachov定理...

尔·魏尔斯特拉斯的工作，实现了对无穷小的記號的回避。微分和积分的基础终于被打下了。在柯西的著作中，可以看到一系列的基础進路嘗試，包括通过无穷小来对连续进行定义，和在微分定義中一个不太精确的函數極限原型。而在魏尔斯特拉斯的著述中，對极限概念作了形式化，回避了无穷小的使用。继魏尔斯特拉斯...

{fn} 都弱收斂到  0. 此為贝塞尔不等式的結果。根據一致有界原理，每個弱收斂序列 {xn} 都有界。 反之，希爾伯特空間中的每個有界序列，都有一個弱收斂子序列，此謂巴拿赫-阿拉奧盧定理。 這可用作證明某些連續凸泛函的最小值的存在性，正如波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理適用於 ℝd 上的連續函數。一個較簡單的結果是：...