龐加萊在1895年的論文《Analysis Situs》中嘗試用他創造的拓撲相交理論去證明定理。波爾·赫高對這篇論文的批評，令龐加萊發現他的證明有重大錯誤。龐加萊在論文的附錄首兩篇中，用對偶三角剖份給出新證明。 直至1930年代上同調概念出現，龐加萊對偶...

對偶性還有另一個重要的結果。過去研究弦論的人發現了五種不同的超弦理論，現在卻發現這些看似不同的弦論，其實互為對偶、擁有相同的物理性質。換句話說，我們只有一個理論，但它有五種不同的表示方法。這個唯一的理論，現在被稱為M理論。 常見的對偶性有：S對偶、T對偶、U對偶，次外尚有镜像对称性、AdS/CFT對偶等。...

French) 维基共享资源上的相关多媒体资源：亨利·龐加萊 维基语录上的亨利·龐加萊语录 维基文库中该作者的作品： 儒勒·昂利·庞加莱 Henri Poincaré的作品 - 古騰堡計劃 互联网档案馆中亨利·龐加萊的作品或与之相关的作品 來自亨利·龐加萊的LibriVox公共領域有聲讀物 Henri Poincaré's...

3, 1 霍奇对偶在两个三维空间之间建立起一个同构，一个是 V 自己，另一个是 V 中两个向量的楔积。具体细节参见例子一节。叉积只是三维的特殊性质，但霍奇对偶在所有维数都有效。 由于一個向量空間上 k 個變量的交錯線性形式空間自然同構于那個向量空間上的 k-向量空間的對偶，霍奇對偶...

1934年，列夫·庞特里亚金证明了庞特里亚金对偶性定理，这是关于拓扑群的一个结果。这（在相当特殊的情形下）提供了用群特征解释庞加莱对偶和亚历山大对偶的方法。 1935年的莫斯科一次学术会议上，安德雷·柯尔莫哥洛夫和亚历山大引入了上同调，并试图建立上同调积结构。 1936年，诺曼·斯廷罗德通过对偶化切赫同调，构造了切赫上同调。...

n_{0}} 以外为0时有意义。 两个同伦的拓扑空间有同构的同调群，所以有相同的欧拉示性数。 从这个定义和庞加莱对偶性，可以得到所有闭合奇数维流形的欧拉数为0的结论。 如果M和N是拓扑空间，则它们的积空间M × N的欧拉示性数为 χ ( M × N ) = χ ( M ) ⋅ χ ( N ) {\displaystyle...

超過了360度，但可以在一個雙曲拋物面上構造，因此正七邊形鑲嵌也是羅式幾何或雙曲幾何中討論的幾何構造。 一個正七邊形鑲嵌 (黑線)在龐加萊半平面模型上 一個正七邊形鑲嵌 (藍線)在雙曲拋物面的龐加萊圓盤模型上 正七邊形鑲嵌在拓扑上与一系列用施萊夫利符號{n,3}與{7,n}表示的（广义）多面体一直延伸到双曲镶嵌： 當n大於2時，所有{7...

六階六邊形鑲嵌本身具備自身對偶的特性，其扭歪無限面體對應拓樸結構也具備自身對偶的特性，也就是說，六角六片三角孔扭歪無限面體的對偶多面體也是六角六片三角孔扭歪無限面體。 六角六片三角孔扭歪無限面體 每個頂點都是6個六邊形的公共頂點 該鑲嵌在拓樸學中也和每個頂點有著六個面的多面體及鑲嵌相關，施萊夫利符號皆為{n...

龐加萊圓盤模型投影邊界的圓。 就如同三階六邊形鑲嵌，每一個三階無限邊形鑲嵌都有三種半正表面塗色，皆屬於不同的反射三角群域： 即使無限邊形的邊數已經是最多的了，但仍可以利用偽多邊形群構造更多邊數的圖形，即邊數使用虛數表示其所包含的邊數量比無限大還要多。他們的對偶...

表明，在超引力理论中，超对称是一种局域对称性（这点与非引力超对称理论例如最小超对称标准模型相反）。因为超对称（SUSY）的生成元会与庞加莱群相结合形成复杂的超庞加莱代数（英语：Super-Poincaré algebra），超引力理论能够很自然地从超对称性产生出来。。...

品：子簇（所謂代數圈）構成了它的元素，而其乘法結構來自子簇的相交。事實上，兩環間有一自然映射，它保持了二者都有的幾何概念（例如陳類、相交配對以及龐加萊對偶）。周環的優勢在於其幾何定義不需使用非代數概念。並且，使用了純拓撲情況下不可用的代數工具後，某些兩環都有的構造在周環中更簡單。...

在不超过六维时，逐片线性流形与可微流形的概念重合。 割补理论中两个基本问题是：一个具有庞加莱对偶性的n-维拓扑空间是否同伦等价于一个n-维流形；以及n-维流形之间的同伦等价是否同伦于微分同胚。在这两种情形，对n>4都存在两个阻碍，首先是关于向量丛存在性的拓扑K-理论阻碍：如果它消失则存在一个正规映射（英语：normal...

Y}(z)=P_{X}(z)P_{Y}(z).} 對於 n {\displaystyle n} -維可定向閉流形 X {\displaystyle X} ，龐加萊對偶定理給出貝蒂數的對稱性 b k ( X ) = b n − k ( X ) {\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X)} 在微分幾何及微分拓撲中，所論的空間...

正無限邊形的邊會合於雙曲面面上的無窮遠處（龐加萊模型的圓周上）在施萊夫利符號中用{∞}表示，並存在外接圓：雙曲極限圓。 施萊夫利符號為{∞,3}的雙曲正鑲嵌圖具有無限邊形的面。雙曲的無限邊形也存在僅等邊的無限邊形或半正無限邊形，像是截角無限邊形t{∞}，例如施萊夫利符號為tr{∞...

环绕同痕到另一个横截相交，交点数的符号和也不会改变（交点可以用模2计数，忽略符号，这样得到更粗的不变量）。这就产生了任意维度同调类的双线性交积，庞加莱对偶于上同调上的上积。与上积类似，交积也是分次交换的。 最简单的非平凡例子是曲面上的弧。当且仅当两弧交点不是切点，即在曲面切平面内的切线不同时，两弧是横截相交的。...

個數為無限多個，由於每個頂點都是無限多個三角形的公共顶点，因此最理想的狀態是每個頂點都位於龐加萊雙曲盤投影的邊界上，即無窮遠處，否則將無法繪製出包含無限多個三角形的頂點。無限階三角形鑲嵌是三階無限邊形鑲嵌的對偶鑲嵌，因此每個三角形的公共顶点包含的三角形數量為可數集的數量，因此若要計算其角度總合的話將會計算出正無窮大，有時會被記為...

數拓撲（單純形同調）與抽象代數（合衝模）在十九世紀末的發展，這兩門理論各自由龐加萊與希爾伯特開創。 同調代數的發展與範疇論的出現密不可分。大致說來，同調代數是（上）同調函子及其代數結構的研究。「同調」與「上同調」是一對對偶的概念，它們滿足的範疇論性質相反（即：箭頭反向）。數學很大一部分的內在構造可...

對偶」。在三維投影空間裡，點與平面間也存在著對偶關係，允許任何定理將「點」與「平面」互換，「包含」與「包含於」互換。更一般性地，對一 N 維投影空間，R維與 N-R-1 維的子空間對偶。當 N=2 時，即為最常見的點與線之對偶。對偶性原理亦由讓-維克托·彭賽列獨立發現。 要證明一維度具有對偶性...

指的是客體在廣義座標變換下是採怎樣的轉變方式。較易造成混淆的一點是：協變與逆變四維矢量都可以是勞侖茲協變量。 另有將此概念做推廣，以涵蓋龐加萊協變性與龐加萊不變性。 一般來說，一個勞侖茲張量的本質可以利用它帶有指標（含上、下標）的數量來辨識。若不帶有指標則表示它是個純量，若帶有一個指標則表示它是個向量，同理類推。...

系数在任意交换环而非域中时，庞加莱对偶性可以很自然地表述为上同调到博雷尔–摩尔同调的同构。 韦迪耶对偶是很广的推广。对任意有限维局部紧空间X与任意域k，在X上层的导出范畴 D ( X ) {\displaystyle D(X)} 中有对象 D X {\displaystyle D_{X}} ，称作对偶化复形（dualizing...

其中，「 ↔ π {\displaystyle {\ce {<->[\pi]}}} 」表示互為皮特里對偶；「 ↔ δ {\displaystyle {\ce {<->[\delta]}}} 」表示互為對偶多面體。 大十二面體與小星形十二面體對應相同的正則地區圖，皆由10個面、30條邊和12個頂點組成，...

Design）中，认为M理论可能是宇宙的终极理论。 爱德华·威滕其他重要物理学的贡献包括規範/重力對偶。1997年，阿根廷理论物理学家胡安·马尔达西那首先提出了在反德西特空间背景下某些超引力理论和边界上共形场论的对偶关系，即AdS/CFT对偶猜想。这一革命性的发现为过去15年中佔据了理论物理的主导地位，对于威滕的研究产生非常重要的影响。...

对于一个几何和它的群，群的一个元素有时叫做该几何的一个作用。例如，可以通过基于双曲运动的一个发展来学习双曲几何的庞加莱半平面模型。 经常，两个或者更多的不同的几何有同构的自同构群。这就产生了从爱尔兰根纲领的抽象群解读出具体的几何的问题。...

的平方是不存在的，因为两个相乘的分布的奇支集必须不相交）。 支撑族是一个抽象的拓扑概念，昂利·嘉当在一个层中定义了这个概念。在将庞加莱对偶性推广到非紧的流形上的时候，在对偶的一个方面上引入紧支撑的概念是自然的。 Bredon的书《Sheaf Theory》(第二版 1997)中给出了这些定义。 X {\displaystyle...

方形的內角，因此此結構在歐氏幾何中得到矛盾無法存在，只能存在於羅氏幾何中。 在艾雪的《圓極限 IV（天堂和地獄）》作品用了此種鑲嵌將蝙蝠與天使畫在龐加萊圓盤模型上，天使和蝙蝠的頭部與翅膀皆位於八角化六階正方形鑲嵌的頂點上，其中翅膀的位置是经过精心设计计算的，正好位於六階正方形鑲嵌或四階六邊形鑲嵌的...

在幾何學中， 無限階無限邊形鑲嵌是一種雙曲面的正鑲嵌。其施萊夫利符號為{∞,∞}， 代表其有著無限個無限邊形圍繞於其所有的無窮遠點。 該鑲嵌的對偶鑲嵌代表*∞∞對稱性的基本域。 該鑲嵌可以在[(∞,∞,∞)]對稱性中以三種不同的位置進行交錯塗色。 該鑲嵌及其對偶鑲嵌的複合圖形能以正交的紅線及藍線區分。而其組合定義了*2∞2∞基本域的線。...

如果我們選擇了正則量子化，我們有用愛因斯坦-希爾伯特作用量將度規僅當作是動態量，以得到惠勒-得衛特方程式嗎？ 抑或我們將度規與仿射聯絡各自處理？ 抑或我們是否擁有整個龐加萊群以作為規範群，並以愛因斯坦-嘉當理論作為起點？ 抑或我們有用活動標架的嘉當方法以及帕拉丁尼作用量，以得到第二類約束?...

从初级到高级的工具包括： 余维数 贝祖定理 舒伯特积分，以及上同调中的示性类 交点计数与上同调的联系源于庞加莱对偶性 曲线、映射等几何对象的模空间的研究，有时通过量子上同调进行。量子上同调、格罗莫夫-威滕不变量和镜像对称的研究在克莱门斯猜想中取得了重大进展。 枚举几何与相交理论关系密切。...

在幾何學中，五階無限邊形鑲嵌是一種雙曲面的正鑲嵌，由無限邊形組成，在施萊夫利符號中用{∞, 5}表示，即每個頂點周為皆有五個無限邊形，頂點圖可計為∞5。每個無限邊形都內接在極限圓上。 該鑲嵌的對偶鑲嵌代表[∞,5*]對稱性的基本域。其代表軌型符號（英语：orbifold notation） *∞∞∞∞∞...

不易製作或繪製，因此需要投影，然投影過程扭曲了直線成了曲線，因此要檢視其形狀可以透過平移所需要的點到龐加萊雙曲圓盤的中心來檢視其幾何結構，此時曲線會接近直線。 不同的表面塗色方式可以得到不同的對稱性，並代表著不同的幾何結構，例如： 圓極限III中包含了交錯八邊形鑲嵌的結構。圓極限III是一個M. C...

艾雪似乎相信他的木刻中的白色曲線，他們平分了每一條在雙曲平面中的雙曲直線的魚，整個雙曲平面被以龐加萊圓盤模型的形式建構在歐幾里得平面上，龐加萊圓盤模型使每條雙曲直線垂直於圓盤的邊界。事實上，艾雪寫道，魚是垂於於邊界移動的。然而，由於考克斯特證明並沒有面為交替的正方形和...