龐加萊在1895年的論文《Analysis Situs》中嘗試用他創造的拓撲相交理論去證明定理。波爾·赫高對這篇論文的批評，令龐加萊發現他的證明有重大錯誤。龐加萊在論文的附錄首兩篇中，用對偶三角剖份給出新證明。 直至1930年代上同調概念出現，龐加萊對偶...

French) 维基共享资源上的相关多媒体资源：亨利·龐加萊 维基语录上的亨利·龐加萊语录 维基文库中该作者的作品： 儒勒·昂利·庞加莱 Henri Poincaré的作品 - 古騰堡計劃 互联网档案馆中亨利·龐加萊的作品或与之相关的作品 來自亨利·龐加萊的LibriVox公共領域有聲讀物 Henri Poincaré's...

1934年，列夫·庞特里亚金证明了庞特里亚金对偶性定理，这是关于拓扑群的一个结果。这（在相当特殊的情形下）提供了用群特征解释庞加莱对偶和亚历山大对偶的方法。 1935年的莫斯科一次学术会议上，安德雷·柯尔莫哥洛夫和亚历山大引入了上同调，并试图建立上同调积结构。 1936年，诺曼·斯廷罗德通过对偶化切赫同调，构造了切赫上同调。...

3, 1 霍奇对偶在两个三维空间之间建立起一个同构，一个是 V 自己，另一个是 V 中两个向量的楔积。具体细节参见例子一节。叉积只是三维的特殊性质，但霍奇对偶在所有维数都有效。 由于一個向量空間上 k 個變量的交錯線性形式空間自然同構于那個向量空間上的 k-向量空間的對偶，霍奇對偶...

對偶性還有另一個重要的結果。過去研究弦論的人發現了五種不同的超弦理論，現在卻發現這些看似不同的弦論，其實互為對偶、擁有相同的物理性質。換句話說，我們只有一個理論，但它有五種不同的表示方法。這個唯一的理論，現在被稱為M理論。 常見的對偶性有：S對偶、T對偶、U對偶，次外尚有镜像对称性、AdS/CFT對偶等。...

品：子簇（所謂代數圈）構成了它的元素，而其乘法結構來自子簇的相交。事實上，兩環間有一自然映射，它保持了二者都有的幾何概念（例如陳類、相交配對以及龐加萊對偶）。周環的優勢在於其幾何定義不需使用非代數概念。並且，使用了純拓撲情況下不可用的代數工具後，某些兩環都有的構造在周環中更簡單。...

系数在任意交换环而非域中时，庞加莱对偶性可以很自然地表述为上同调到博雷尔–摩尔同调的同构。 韦迪耶对偶是很广的推广。对任意有限维局部紧空间X与任意域k，在X上层的导出范畴 D ( X ) {\displaystyle D(X)} 中有对象 D X {\displaystyle D_{X}} ，称作对偶化复形（dualizing...

性数。 从这个定义和庞加莱对偶性，可以得到所有闭合奇数维流形的欧拉数为0的结论。 如果 M {\displaystyle M} 和 N {\displaystyle N} 是拓扑空间，则它们的积空间 M × N {\displaystyle M\times N} 的欧拉示性数为 χ (...

的平方是不存在的，因为两个相乘的分布的奇支集必须不相交）。 支撑族是一个抽象的拓扑概念，昂利·嘉当在一个层中定义了这个概念。在将庞加莱对偶性推广到非紧的流形上的时候，在对偶的一个方面上引入紧支撑的概念是自然的。 Bredon的书《Sheaf Theory》(第二版 1997)中给出了这些定义。 X {\displaystyle...

在不超过六维时，逐片线性流形与可微流形的概念重合。 割补理论中两个基本问题是：一个具有庞加莱对偶性的n-维拓扑空间是否同伦等价于一个n-维流形；以及n-维流形之间的同伦等价是否同伦于微分同胚。在这两种情形，对n>4都存在两个阻碍，首先是关于向量丛存在性的拓扑K-理论阻碍：如果它消失则存在一个正规映射（英语：normal...

环绕同痕到另一个横截相交，交点数的符号和也不会改变（交点可以用模2计数，忽略符号，这样得到更粗的不变量）。这就产生了任意维度同调类的双线性交积，庞加莱对偶于上同调上的上积。与上积类似，交积也是分次交换的。 最简单的非平凡例子是曲面上的弧。当且仅当两弧交点不是切点，即在曲面切平面内的切线不同时，两弧是横截相交的。...

數拓撲（單純形同調）與抽象代數（合衝模）在十九世紀末的發展，這兩門理論各自由龐加萊與希爾伯特開創。 同調代數的發展與範疇論的出現密不可分。大致說來，同調代數是（上）同調函子及其代數結構的研究。「同調」與「上同調」是一對對偶的概念，它們滿足的範疇論性質相反（即：箭頭反向）。數學很大一部分的內在構造可...

Y}(z)=P_{X}(z)P_{Y}(z).} 對於 n {\displaystyle n} -維可定向閉流形 X {\displaystyle X} ，龐加萊對偶定理給出貝蒂數的對稱性 b k ( X ) = b n − k ( X ) {\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X)} 在微分幾何及微分拓撲中，所論的空間...

从初级到高级的工具包括： 余维数 贝祖定理 舒伯特积分，以及上同调中的示性类 交点计数与上同调的联系源于庞加莱对偶性 曲线、映射等几何对象的模空间的研究，有时通过量子上同调进行。量子上同调、格罗莫夫-威滕不变量和镜像对称的研究在克莱门斯猜想中取得了重大进展。 枚举几何与相交理论关系密切。...

庞加莱对偶性。交上同调的引入是个重大进步，产生于用层恢复对偶性的尝试。最初的想法产生了诸多联系与应用，例如同调代数中的错致层概念。 上述理论与数学奇点的概念并无直接关系，后者是指函数没有定义的点，参见孤立奇点、本质奇点、可去奇点。不过，复数域中微分方程奇点周围的单值性...

對偶」。在三維投影空間裡，點與平面間也存在著對偶關係，允許任何定理將「點」與「平面」互換，「包含」與「包含於」互換。更一般性地，對一 N 維投影空間，R維與 N-R-1 維的子空間對偶。當 N=2 時，即為最常見的點與線之對偶。對偶性原理亦由讓-維克托·彭賽列獨立發現。 要證明一維度具有對偶性...

超過了360度，但可以在一個雙曲拋物面上構造，因此正七邊形鑲嵌也是羅式幾何或雙曲幾何中討論的幾何構造。 一個正七邊形鑲嵌 (黑線)在龐加萊半平面模型上 一個正七邊形鑲嵌 (藍線)在雙曲拋物面的龐加萊圓盤模型上 正七邊形鑲嵌在拓扑上与一系列用施萊夫利符號{n,3}與{7,n}表示的（广义）多面体一直延伸到双曲镶嵌： 當n大於2時，所有{7...

正無限邊形的邊會合於雙曲面面上的無窮遠處（龐加萊模型的圓周上）在施萊夫利符號中用{∞}表示，並存在外接圓：雙曲極限圓。 施萊夫利符號為{∞,3}的雙曲正鑲嵌圖具有無限邊形的面。雙曲的無限邊形也存在僅等邊的無限邊形或半正無限邊形，像是截角無限邊形t{∞}，例如施萊夫利符號為tr{∞...

指的是客體在廣義座標變換下是採怎樣的轉變方式。較易造成混淆的一點是：協變與逆變四維矢量都可以是勞侖茲協變量。 另有將此概念做推廣，以涵蓋龐加萊協變性與龐加萊不變性。 一般來說，一個勞侖茲張量的本質可以利用它帶有指標（含上、下標）的數量來辨識。若不帶有指標則表示它是個純量，若帶有一個指標則表示它是個向量，同理類推。...

艾雪似乎相信他的木刻中的白色曲線，他們平分了每一條在雙曲平面中的雙曲直線的魚，整個雙曲平面被以龐加萊圓盤模型的形式建構在歐幾里得平面上，龐加萊圓盤模型使每條雙曲直線垂直於圓盤的邊界。事實上，艾雪寫道，魚是垂於於邊界移動的。然而，由於考克斯特證明並沒有面為交替的正方形和...

}}\cong {\underline {\mathbf {R} }}[n].} 这种计算，以及函子与对偶性的相容性（见韦迪耶对偶性）蕴含着对庞加莱对偶性的高深见解。在概形上的准凝聚层中，有类似的对偶性，称作凝聚对偶性。 错致层是 D ( X ) {\displaystyle D(X)}...

对于一个几何和它的群，群的一个元素有时叫做该几何的一个作用。例如，可以通过基于双曲运动的一个发展来学习双曲几何的庞加莱半平面模型。 经常，两个或者更多的不同的几何有同构的自同构群。这就产生了从爱尔兰根纲领的抽象群解读出具体的几何的问题。...

六階六邊形鑲嵌本身具備自身對偶的特性，其扭歪無限面體對應拓樸結構也具備自身對偶的特性，也就是說，六角六片三角孔扭歪無限面體的對偶多面體也是六角六片三角孔扭歪無限面體。 六角六片三角孔扭歪無限面體 每個頂點都是6個六邊形的公共頂點 該鑲嵌在拓樸學中也和每個頂點有著六個面的多面體及鑲嵌相關，施萊夫利符號皆為{n...

表明，在超引力理论中，超对称是一种局域对称性（这点与非引力超对称理论例如最小超对称标准模型相反）。因为超对称（SUSY）的生成元会与庞加莱群相结合形成复杂的超庞加莱代数（英语：Super-Poincaré algebra），超引力理论能够很自然地从超对称性产生出来。。...

性条件，改用Z/2Z系数。 这些形式是重要的拓扑不变量。例如，迈克尔·弗里德曼的一个定理指出，在同胚意义上，单连通紧4维流形（几乎）由其相交形式决定。 由庞加莱对偶性，我们可以从几何角度思考这个问题。试为a、b的庞加莱对偶择有代表性的n维子流形A、B，则λM (a...

{Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i-1}.} 对于有向闭连通n维流形X，这一推论与庞加莱对偶性相结合，得出 β i ( X ) = β n − i ( X ) {\displaystyle \beta _{i}(X)=\beta _{n-i}(X)}...

龐加萊圓盤模型投影邊界的圓。 就如同三階六邊形鑲嵌，每一個三階無限邊形鑲嵌都有三種半正表面塗色，皆屬於不同的反射三角群域： 即使無限邊形的邊數已經是最多的了，但仍可以利用偽多邊形群構造更多邊數的圖形，即邊數使用虛數表示其所包含的邊數量比無限大還要多。他們的對偶...

A\cap B} 又是余维是i + j的子流形。将这些流形的基本同调类的像置于包含（inclusion）之中，就可以得到同调上的双线性积，与上积是庞加莱对偶的，即取庞加莱对 [ A ] ∗ , [ B ] ∗ ∈ H i , H j {\displaystyle [A]^{*},[B]^{*}\in H^{i}...

非欧几里得几何 橢圓幾何 球面幾何學 Sphere-world（英语：Sphere-world） 球面三角學 双曲几何 雙曲空間 双曲面模型 庞加莱圆盘模型 庞加莱半平面模型 庞加莱度量 Angle of parallelism（英语：Angle of parallelism） 本原測地線（英语：Prime geodesic）...

Design）中，认为M理论可能是宇宙的终极理论。 爱德华·威滕其他重要物理学的贡献包括規範/重力對偶。1997年，阿根廷理论物理学家胡安·马尔达西那首先提出了在反德西特空间背景下某些超引力理论和边界上共形场论的对偶关系，即AdS/CFT对偶猜想。这一革命性的发现为过去15年中佔据了理论物理的主导地位，对于威滕的研究产生非常重要的影响。...

個數為無限多個，由於每個頂點都是無限多個三角形的公共顶点，因此最理想的狀態是每個頂點都位於龐加萊雙曲盤投影的邊界上，即無窮遠處，否則將無法繪製出包含無限多個三角形的頂點。無限階三角形鑲嵌是三階無限邊形鑲嵌的對偶鑲嵌，因此每個三角形的公共顶点包含的三角形數量為可數集的數量，因此若要計算其角度總合的話將會計算出正無窮大，有時會被記為...