Przestrzeń mierzalna – przestrzeń wraz z wyróżnioną rodziną jej zbiorów nazywaną σ-ciałem lub σ-algebrą zbiorów lub ciałem przeliczalnie addytywnym ,...

Funkcja mierzalna – funkcja zachowująca strukturę przestrzeni mierzalnych; stanowi ona naturalny kontekst dla teorii całkowania (w szczególności całki...

rzeczywistej. Pozwala także na całkowanie funkcji określonych na innych przestrzeniach mierzalnych i w tym sensie wykracza poza tradycyjne rozumienie całki oznaczonej...

aksjomatycznej. Zobacz też: funkcja addytywna zbioru, przestrzeń mierzalna i miara. Konstrukcja przestrzeni probabilistycznej ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega...

F ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})} zwaną przestrzenią mierzalną. Przestrzeń mierzalna ( Ω , F ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})} uzupełniona...

liniowa przestrzeń metryczna przestrzeń mierzalna przestrzeń ośrodkowa przestrzeń probabilistyczna przestrzeń spójna przestrzeń topologiczna przestrzeń trójwymiarowa...

zmiennych losowych, określonych na pewnej przestrzeni probabilistycznej o wartościach w pewnej przestrzeni mierzalnej. Ogólnie procesem stochastycznym nazywa...

odpowiednio zbiorami typu Gδσ i zbiorami typu Fσδ itd. funkcja mierzalna miara Haara przestrzeń mierzalna zbiory analityczne zbiory rzutowe zbiór typu F-sigma zbiór...

jest funkcją mierzalną względem σ-ciała zbiorów borelowskich. (Wówczas również funkcja odwrotna f − 1 {\displaystyle f^{-1}} jest mierzalna). W szczególności...

{\displaystyle Y} o pożądanych właściwościach. Najczęściej jako przestrzeń mierzalną wykorzystuje się przestrzeń euklidesową, tj. Y = R n , n ∈ N + . {\displaystyle...

przyjęto stosować pojęcie wielkość mierzalna. W ramach tej nauki rozróżnia się prawdziwe (realne) wartości mierzalne zwane mezurandami, które nigdy nie...

będzie niepustym zbiorem, a ( Y , d Y ) {\displaystyle (Y,d_{Y})} oznacza przestrzeń metryczną, z metryką d Y {\displaystyle d_{Y}} . Ciąg ( f n ) n ∈ N {\displaystyle...

zbiorów, czy funkcji (zob. niżej). Zobacz też: funkcja mierzalna. Niech dana będzie przestrzeń z miarą ( X , F , μ ) . {\displaystyle (X,{\mathcal {F}}...

dowolną przestrzeń mierzalną ( X , Σ , μ ) . {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ).} Wtedy, twierdzenie przyjmuje postać: Niech dana będzie przestrzeń mierzalna (...

uogólnieniem tych pojęć dla podzbiorów przestrzeni R n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} które należą do przestrzeni mierzalnej generowanej przez przedziały n-wymiarowe...

Zbiór miary zero – zbiór mierzalny rozważanej przestrzeni mierzalnej ( X , M ) {\displaystyle (X,{\mathfrak {M}})} „nieistotny” z punktu widzenia zadanej...

ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna. Załóżmy więc, że są spełnione warunki (a)-(d). Jak wspomnieliśmy, f {\displaystyle f} jest mierzalna. Ponieważ ciąg...

L_{\infty }(\mu )} oznacza się przestrzeń funkcji prawie wszędzie ograniczonych, tj. takich zespolonych funkcji mierzalnych, że ess sup x ∈ Ω | f ( x ) |...

używaną definicją liczby mierzalnej.) Każda liczba mierzalna jest rzeczywiście mierzalna. W ZFC każda liczba rzeczywiście mierzalna jest granicą liczb słabo...

Otoczka mierzalna – dla danego podzbioru przestrzeni z miarą, zbiór mierzalny, który jest w pewnym sensie od niego niewiele większy. Otoczka mierzalna (o ile...

poprzez przypisanie wartości oczekiwanej każdej zmiennej losowej; przestrzeń mierzalna i miara prawdopodobieństwa z kolei powstają jako wynik zastosowania...

przestrzeni mierzalnej określonej na danej przestrzeni. (Jeśli dana przestrzeń jest przestrzenią topologiczną, to zwykle wymaga się, by mierzalne były...

miar, miara określona na produktowej przestrzeni mierzalnej, która iloczynowi kartezjańskiemu zbiorów mierzalnych (należących do odpowiednich σ {\displaystyle...

przeniesienie pewnej miary z jednej przestrzeni mierzalnej do innej za pomocą funkcji mierzalnej. Dla danych przestrzeni mierzalnych ( X , M ) {\displaystyle (X...

określona na przestrzeni mierzalnej ( Ω , A ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})} jest zupełna, gdy podzbiory zbiorów miary zero są mierzalne (a więc...

+1}^{0}} -mierzalna. I na odwrót, jeśli f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} jest Σ ξ + 1 0 {\displaystyle \Sigma _{\xi +1}^{0}} -mierzalna, to jest...

L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},P):=\{X:\Omega \to \mathbb {R} :X} jest mierzalna ∧   E | X | < + ∞ } . {\displaystyle \land \ \mathbb {E} |X|<+\infty \}...

ma ciekawszych zastosowań. Jeżeli rozpatrywana przestrzeń mierzalna jest lokalnie zwartą przestrzenią topologiczną, to definicję miary Radona można wyrazić...

Miara dyskretna (ang. discrete measure) – miara określona na przestrzeni mierzalnej ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})} , która danemu zbiorowi...

że f {\displaystyle f} jest funkcją mierzalną, jako że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna. oraz | f ( x ) | ⩽ g ( x ) {\displaystyle...

jest mierzalna w sensie Jordana. Dowolna skończona suma lub iloczyn, jak również różnica dwóch zbiorów mierzalnych w sensie Jordana, są mierzalne (jest...