n の最大公約数を表す）。慣例的にギリシャ文字の φ（あるいは ϕ {\displaystyle \phi } ）で表記されるため、オイラーの φ 関数（ファイかんすう、phi function）とも呼ばれる。また、簡略的にオイラーの関数と呼ぶこともある。 1761年にレオンハルト・オイラー...

の出現までほぼ一人で研究し続け、二次形式や原始根・フェルマーの小定理の拡張など、数々の功績を残した。現在でも、数論的関数の一つであるオイラー関数（オイラーのφ関数）に彼の名前が残っている。 またゼータ関数を初めて扱い（ゼータ関数の名称はリーマンによる）、後に解析的整数論の...

数学におけるリーマンゼータ関数（リーマンゼータかんすう、英: Riemann zeta function、独: Riemannsche zeta funktion、中: 黎曼泽塔函数）は、18世紀にバーゼル問題を解決したレオンハルト・オイラーによる（現在リーマンゼータ関数と呼ばれる）関数の...

\varphi )} （三角関数表示） と表すことができる。この表示式を極形式 (polar form) という。r は z の絶対値、φ は z の偏角である。0 を除いて、この表示は一意である。 極形式から元の直交座標を恢復するには、三角関数表示を展開すればよい。 オイラーの公式を用いれば、これを z...

も素数とすると、1 の倍数（すなわち他のすべての数）を消去し、残った唯一の数 1 を出力するので機能しない。さらに、1 以外の素数で成り立つ様々な性質がある（例えば、自然数とそれに対応するオイラーのφ関数や約数関数の値との関係など）。20世紀初頭までに 1...

a φ ( m ) − 1 ( mod m ) {\displaystyle b\equiv a^{\varphi (m)-1}{\pmod {m}}} （ここで φ はオイラーのφ関数）であり、逆に a と m が互いに素であれば、この式によって逆数が与えられる。特に、m が素数の場合以下の...

数学の複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、英: Euler's formula）とは、複素指数関数と三角関数の間に成り立つ、以下の恒等式のことである： e i z = cos ⁡ z + i sin ⁡ z {\displaystyle e^{iz}=\cos z+i\sin z}...

^{2}}}\right)=\delta (x)} と表現される。デルタ関数の表現に正規分布を用いたが、このことから、デルタ関数は正規分布の一種であると考えることが可能である。デルタ関数は、特殊な確率分布の表現に有用である。 Sinc関数から変数変換とスケーリングによって得られる関数族 ϕ k ( x ) = sin ⁡ k x...

など。三角関数に似た関係式を持つ。 逆双曲線関数: 双曲線関数の逆関数。 グーデルマン関数: 双曲線関数と逆三角関数の合成関数。 主に整数論で使われる関数の一覧。 σ 関数: 与えられた自然数の、各約数の累乗の総和。 オイラーの φ 関数: 与えられた自然数以下で、その自然数と互いに素な自然数の個数。 分割関数:...

2\end{matrix}}\right.} ここで φ はオイラーのφ関数である。例えば 327 は φ(327) = 216, φ(216) = 72, φ(72) = 24, φ(24) = 8, φ(8) = 4, φ(4) = 2, φ(2) = 1 と 1 になるまで次々と φ 関数の値を計算し、それらの総和が 216...

} に対して成り立つオイラーの公式 e i φ = cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi } の特別な場合である。ここで三角関数 sin と cos の引数 φ {\displaystyle...

調べる方法よりも、ユークリッドの互除法によって最大公約数を調べる方法のほうが遥に速い。 正の整数 n と互いに素となる（1 から n の間の）整数の個数は、オイラー関数 φ(n) によって与えられる。 三つの整数 a, b, c が互いに素であるとは、gcd(a, b, c) = 1 が成り立つことをいう。また、gcd(a...

nontotient）、ノントーシェントは、自然数の内、オイラーのトーシェント関数 φ の値域に含まれない数であり、φ(x) = n においてどのような自然数 x もこの方程式を満たさないような自然数 n のことである。言い換えると、全ての x において「x 以下の数で互いに素である自然数の個数」（=φ(x)）がn 個ではないような...

幾何学で、θに次いで角度を表す（球面座標系など）。 数学で正整数 n に対し1から n までの整数のうち互いに素なものの個数を与える関数: オイラー関数 φ(n) として使用される（なお，数学の集合においては，空集合の意味を表す）。 また、黄金比の記号としても用いられ、 φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi...

{n}}} が成立する。 ここで φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} はオイラーのφ関数である。 この定理はフェルマーの小定理の一般化であり、この定理をさらに一般化したものがカーマイケルの定理である。 nと互いに素なn以下の正の整数の集合を A = { b 1 , b...

number）、高度トーシェント数は、自然数のうち、オイラーのトーシェント関数 φ において φ(n) = k を満たす自然数 n の個数が全ての k 未満の数に対して多くなるような自然数kである。例えば 8 は φ(n) = 8 を満たす解 n が n = 15, 16, 20, 24, 30 と5個あり、k が7以下の φ(n) =...

として与えられる。 一般化座標は実際には起こらない運動の値も取りうるが、そこから実際の運動を導く方法が最小作用の原理である。すなわち、作用汎関数が最小となる運動が実際に起こる運動である。 作用の停留条件から、ラグランジュの運動方程式（オイラー＝ラグランジュ方程式） δ S [ q ] δ q i (...

f(4) のように表すことがある。後者の記法はそのまま任意階数の導関数に拡張され、f の n 階の導関数は f(n) のように表される。 Dxy D2f レオンハルト・オイラーによるオイラーの記法は、微分作用素 D を関数に前置する方法であり、関数 f の導関数は次のように書き記される。 従属変数 y...

}{n}}} は 1 の原始n乗根の一つであることが分かる。この時、ζn の共役複素数 ζn も 1 の原始n乗根である。n と互いに素な自然数 m に対して ξnm は 1 の原始n乗根であり、逆に 1 の原始n乗根はこの形に表せる。すなわち、1 の原始n乗根は、オイラーのφ関数を用いて、φ(n) 個だけ存在する。...

この定理は水面の波や音波の記述、あるいはクッタ・ジュコーフスキーの定理の導出に使われる。 渦なしの流れでは v = ∇ ϕ {\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\nabla \phi } と表せるので、オイラー方程式は ∇ { ∂ ϕ ∂ t + | ∇ ϕ | 2 2...

は絶対値を表し、太字の量はベクトル量を表す。 位置エネルギーは質点の位置に依存するエネルギーで、特に質点が持つ位置エネルギーは、その質点の位置を変数とする関数として定義される。 位置エネルギーを表す文字としては、しばしば V や U、Φ や φ が用いられる。 粒子の持つエネルギーを一般化して、1 つの力学系に対してエネルギーを定義できる。...

\{g_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }} が、任意の急減少関数 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} について lim n → ∞ ∫ − ∞ ∞ f n ( x ) ϕ ( x ) d x = lim n → ∞ ∫ − ∞ ∞ g n ( x ) ϕ ( x ) d x {\displaystyle...

リープ・フロッグ法 オイラー法の進化系 後退オイラー法 (en) en:semi-implicit Euler method en:Euler–Maruyama method (確率微分方程式に特化した解法) en:exponential integrator (行列指数関数を使う解法) 狙い撃ち法...

関数と微分積分法の基本公式による一般的な方法で解かれることになる。18世紀にはベルヌーイらやオイラーなどによる無限小解析の発展・整備によって計算技巧は大いに発達したが、19世紀に入るとフーリエ級数の厳密な研究などを通して、初めて積分自体の...

となる。各成分 r と φ に関するオイラー＝ラグランジュ方程式は、それぞれ、 d d t ( ∂ L ∂ r ˙ ) − ∂ L ∂ r = 0 ⇒ r ¨ − r φ ˙ 2 = 0 d d t ( ∂ L ∂ φ ˙ ) − ∂ L ∂ φ = 0 ⇒ φ ¨ + 2 r r ˙ φ ˙ = 0 {\displaystyle...

φ(n) はオイラーのφ関数で、1 から n までの整数のうち n と互いに素な整数の個数である。 約数の和が234になる数は3個ある。(90, 153, 233) 約数の和3個で表せる9番目の数である。1つ前は228、次は248。 連続自然数を昇順に並べてできる10番目の...

とも呼ばれる）。逆に、p ≤ 1 のときは発散する。p > 1 のとき、p-級数の和の値はリーマンゼータ関数の p における値 ζ (p) に等しい。 実数値凸関数 φ で lim sup u → 0 + φ ( u 2 ) φ ( u ) < 1 2 {\displaystyle \limsup _{u\to...

が成り立つことを示した。ここで、 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} は n {\displaystyle n} 以下の n {\displaystyle n} と互いに素な自然数の個数を表し、オイラー関数と呼ばれる。 特に n {\displaystyle n} が素数のときは、 φ ( n...

ワファーによって最初に示された。これらの式はオイラーの公式を用いて示すことが可能である。 上記の表において複号は同順とする。 加法定理によって、回転行列同士の積をまとめることができる。 ( cos ⁡ ϕ − sin ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ) ( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ...

ca/crux/v44/n5/.  ^ 折り紙で正十三角形が作図できて正十一角形が作図できない理由【数学 解説 / #豊穣ミノリ / VTuber】 - YouTube プロジェクト 数学 ポータル 数学 星型正多角形 正多面体 正多胞体 多角数 円分多項式 1の冪根 オイラーのφ関数 ピアポント素数 ガウス周期（英語版）...

(a)} はオイラーのφ関数である。これら φ ( a ) {\displaystyle \varphi (a)} 個の等差数列に素数はそれぞれほぼ均等に分布している。素数定理の拡張として、次のように書ける。 初項 b と公差 a が互いに素である等差数列に含まれる素数で、x 以下のものの数を π...